Определение дуальных и двойных чисел

В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.

Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.

Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).

Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).

В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.

Глава I. Определение дуальных и двойных чисел

1.1 Дуальные числа

Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:

(1)

Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа на другое число будет вещественным лишь в том случае, когда; если, то последнее равенство можно записать в виде. Вещественным, в частности, является произведение чисел и :

(2)

Число называют сопряжённым числу (и обратно, сопряжено); корень квадратный из произведения (совпадающий с полусуммой сопряжённых чисел и) называют модулем дуального числа и обозначают через (отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным). Сумма двух сопряжённых чисел является вещественной; разность является числом чисто мнимым (т.е. отличается от лишь вещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число тогда и только тогда совпадает со своим сопряжённым, когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чисел формулы (3)

, , (3)

полностью остаются в силе для дуальных чисел.

Правило деления на дуальное число мы теперь можем записать так:

. (4)

Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число необходимо, чтобы модуль этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные и являются числами новой природы, которые условимся обозначать через и; введём также в рассмотрение всевозможные числа вида, где вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:

при; .

Правила действий над символом определяются следующими формулами:

, ,, , (5)

здесь — произвольное число, причём в среднем равенстве, а во втором и в двух последних (в этих формулах может быть и числом вида); правила действий над числами определяются так:

(6)

Положим ещё

; (6а) тогда для расширенного (введением чисел ,) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство и все правила (3).

Число нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число, равное, произведение которого на число равняется нулю:

. (7)

Поэтому эти числа называют делителями нуля.

Дуальные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа:

. (8)

Здесь есть модуль числа, а отношение называется аргументом этого числа и обозначается через Arg z (r может быть произвольным вещественным числом, отличным от нуля; - произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряжённые дуальные числа и имеют одинаковый модуль r и противоположные аргументы и .

Форма (8) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,

; (9)

следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей Это утверждение остаётся в силе и в том случае, когда модуль одного или обоих сомножителей равен нулю (т. к. если, то и; так, например,)., а аргумент произведения — сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного — разности соответствующих аргументов:

. (10)

Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:

(11)

(из последней формулы вытекает, что корень нечётной степени из дуального числа при определяется однозначно; корень же чётной степени не существует, если r<0, и имеет два значения, если r>0 Нетрудно видеть, что корень целой степени n>1 из дуального числа, модуль которого равен нулю (из числа, являющегося делителем нуля), извлечь нельзя.).

1.2 Двойные числа

В полной аналогии со всем изложенным выше назовём двойные числа и сопряжёнными, если они имеют вид

и .

Сумма и произведение сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа, знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a и b, называется модулем числа и обозначается через. Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство характеризует вещественные числа, а равенство — чисто мнимые числа .

Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами

(12)

Отсюда следует, что и здесь деление на возможно лишь в тех случаях, когда. Двойные числа, модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные, и числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения и новых чисел и на всевозможные вещественные числа c и частные и. Правила действия над символами, ,, и определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например:

(13)

и т. д. Естественно также положить

, ,, (13а) что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства и всех соотношений (3).

Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть — модуль двойного числа; далее

.

Из определения модуля следует, что и что большая (по абсолютной величине) из дробей и положительна. Отсюда вытекает, что

или, , (14)

где есть некоторое число (определённое формулами (14)), а и — гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .

Таким образом, имеем

или. (15)

величина называется аргументом двойного числа z и обозначается через Arg z В некоторых случаях удобно считать, что аргумент двойных чисел, имеющих вторую из форм (15), является обыкновенным комплексным числом

Arg{r(sh+ech)}=i.

Это соглашение удобно тем, что в таком случае всегда

z|z|[ch(Arg z)+esh(Arg z)].

Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что

(16)

Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения — сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:

;

. (17)

Из формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n:

при

n нечётном, при n чётном;

Глава II.

2.1 Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.

Две ориентированные прямые будем называть параллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле и направления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямые противоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).

а б Рис. 1

Под расстоянием от прямой a до не пересекающей её прямой b будем понимать ориентированное расстояние {a,b} от a до b, т. е. ориентированное расстояние от произвольной точки прямой a до прямой b; очевидно, что {a,b}=-{b,a}, если a и b параллельны, и {a,b}={b,a}, если a и b противопараллельны.

Полярные координаты точек плоскости определяются заданием некоторой точки O (полюса системы координат) и проходящей через O ориентированной прямой o (полярной оси); координатами точки M служат расстояние r=OM этой точки от полюса и угол ={o,m}, образованный с o ориентированной прямой m, соединяющей O и M. Аналогично этому можно определить полярные координаты ориентированных прямых плоскости, для задания которых надо также указать некоторую ориентированную прямую o (полярную ось) и лежащую на o точку O (полюс); координатами прямой l служат угол ={o,l}, образованный l с полярной осью o, и ориентированное расстояние s={O,L} от O до точки L пересечения l и o (рис. 2, а). Очевидно, что координата s ориентированной прямой l может иметь любое значение, заключённое между и; координата — любое значение, заключённое между 0 и 2. Естественно считать, что =0 для прямых, параллельных полярной оси o, и = для прямых, противопараллельных o; если прямая не пересекает оси o, то координаты s она не имеет (можно считать, что в этом случае).

Условимся сопоставлять ориентированной прямой l с полярными координатами и s дуальное число

, (19)

(рис. 2). При этом параллельным o прямым, для которых =0, естественно относить числа нулевого модуля, т. е. делители нуля. Чтобы установить точное соответствие между параллельными o прямыми и делителями нуля, заметим, что расстояние d={O,l} не параллельной o прямой l от полюса O равно

(20)

(рис. 2, а). Чтобы формула (20) сохранила силу и для параллельной o прямой m, отстоящей от o на расстоянии {o,m}=d, то этой прямой нужно сопоставить число

(т.е., где u=0 и).

Двум пересекающим o прямым l и l, отличающимся только направлением и, следовательно, имеющим полярные координаты () и (), отвечают дуальные числа и

.

Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых, не пересекающих o, условимся относить противопараллельной o прямой m, отстоящей от o на расстоянии {o,m}=d, число

(заметим, что если расстояние {o,m} от o до параллельной o прямой m, совпадающей по положению на плоскости с прямой m, равно d, то d=-d). Прямой o, отличающейся только направлением от полярной оси o (противооси), мы сопоставим число .

Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, включая сюда также и числа вида w, где w0 вещественно, и число .

Очевидно, что вещественным числам отвечают проходящие через полюс O прямые; числам модуля 1 — перпендикулярные o прямые; чисто мнимым числам v (числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуля w отвечают параллельные и противопараллельные оси o прямые. Сопряжённым числам и отвечают прямые симметричные относительно полюса O; противоположным числам и — прямые, симметричные относительно полярной оси o (т.е. прямые, пересекающие o в одной и той же точке L и образующие с o равные углы {o,z}={-z,o}; см. рис. 2, б); числам z и отвечают прямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства

(а), (б), (в) (21)

можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O, симметрии относительно прямой o и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).

Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).

Параллельный перенос вдоль o на расстояние t переводит прямую, которой отвечает дуальное число

в прямую, которой отвечает число

(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос можно записать так:

где, (22)

(т.к.).

Параллельный перенос на расстояние t в направлении, перпендикулярном o, переводит прямую в прямую

(рис. 3, б). Но

.

Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что

;

таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой

где,. (22, а) Отсюда вытекает, что произвольный параллельный перенос, т. е. перенос на расстояние t в направлении o и на расстояние t в направлении lo, записывается формулой

, ,

или, если ввести обозначение (т.е.) и воспользоваться тем, что, ,, формулой

(23)

где, ,, .

Перейдём теперь к вращениям плоскости. Очевидно, что поворот вокруг O на угол переводит прямую в прямую, где (рис. 4). Таким образом,

(24)

(здесь используется то, что если z и z— дуальные числа, то, и). Далее, если d и d? — расстояния прямых z и z? от полюса, то

поэтому

.

С другой стороны, поскольку, то

. (24а) Из (24) и (24а) следует, что наше вращение записывается формулой

(25)

где, .

Наконец, самое общее движение представляет собой поворот (25) вокруг O на некоторый угол, причём это вращение может сопровождаться ещё параллельным переносом (33):

.

В другом виде это преобразование можно записать так:

(26а) где, .

Возможно, также, что исходное движение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o, сопровождаемую преобразованием (36а) (вращением вокруг O и параллельным переносом):

. (26б) Наконец, движение может представлять собой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или (36б):

(26в) где, , или

(26г) где, .

Очевидно, что ориентированный угол {} между прямыми и равен (рис. 5, а) Это можно записать так:

.

Полученный результат можно также представить в следующей симметричной форме:

. (27)

Найдём теперь ориентированное расстояние d={[],[]} между точками [] и [] пересечения определённой прямой с двумя другими прямыми и (рис. 5, б). Очевидно, что расстояние d между точками пересечения прямой o с прямыми и равно

.

Пример движения, переводящего данную прямую в прямую o, даётся формулой

;

это движение переводит прямые и в прямые и. Отсюда получаем

.(28)

Условием того, что прямые, и пересекаются в одной точке, является равенство нулю расстояния между точками пересечения и с, т. е., в силу формулы (28), вещественность отношения .

Это условие можно переписать ещё так:

. (29)

Следовательно, «уравнение точки», т. е. условие, которому удовлетворяют прямые, проходящие через одну точку [], имеет вид

или

A — чисто мнимое (30)

(здесь ,).

Найдём теперь условие того, что четыре ориентированные точки, , и принадлежат одной ориентированной окружности. При этом под ориентированной окружностью мы здесь понимаем совокупность всех ориентированных прямых l, ориентированное расстояние {O,l} которых от данной точки O (центра окружности) имеет фиксированное значение r. Число r называется радиусом окружности; таким образом, радиус ориентированной окружности может быть как положительным, так и отрицательным. Из определения ориентированного расстояния {O,l} от точки O до прямой l следует, что радиус ориентированной окружности будет положительным, если направление обхода противоположно направлению вращения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Можно показать, что четыре ориентированные прямые, , и в том и только в том случае принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку, если

{[],[]}{[],[]}={[],[]}{[],[]}. (31)

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на котором изображены четыре ориентированные касательные, , и ориентированной окружности S, касающиеся S соответственно в точках M, N, P и Q; точки [], [], [] и [] обозначены через A, B, C и D. При этом, очевидно, имеем

{A,B}{C,D}={A,P}{P,B}{C,Q}{Q,D}

и

{D,A}{B,C}={D,M}{M,A}{B,N}{N,C}

В силу известного свойства касательных к окружности

{A,P}={M,A}, {P,B}={B,N}, {C,Q}={N,C}, {Q,D}={D,M},

значит, во всех случаях выполняется условие (31)

{A,B}{C,D}={D,A}{B,C}.

Нетрудно убедиться и в том, что если равенство (31) имеет место, то четыре прямые, , и принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку.

Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:

или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,

.

Но и

(т.к. и)

Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:

. (32)

Дуальное число естественно называть двойным отношением четырёх прямых, , и; обозначать его будем символом W(,). Таким образом, условием того, что четыре прямые, , и принадлежат одной ориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль — точке), является вещественность двойного отношения W(,)= этих четырёх прямых.

Последнему условию можно придать вид:

=, (33)

откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой), определяемой тремя данными прямыми, , и, имеет вид

=. (34)

Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):

A и C — чисто мнимые. (35)

Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).

Прямую уравнение (35) выражает при

. (36)

2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского

В полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o ориентированной прямой l, имеющей полярные координаты, s, двойное число

(37)

а расходящейся с o прямой m, направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ, — число

(37а) где d={m,o}={P,Q} - кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми m и o, т. е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых m и o, s'={O,Q} - ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 6).

Далее, так как из формулы (37) вытекает, что двум пересекающим o прямым l и l, отличающимся только направлением, соответствуют двойные числа и

то прямой m, отличающейся только направлением от отвечающей числу (37а) расходящейся с o прямой m, сопоставим число

. (37б) Прямые, параллельные оси o, можно рассматривать как предельный случай пересекающих o прямых, отвечающий равенству нулю угла, или как предельный случай расходящихся с o прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d. Так как из формул (37) и (37а) следует, что, соответственно, то естественно отнести параллельным o прямым, направленным в ту же сторону, что и o, делители нуля, т. е. числа вида. При этом прямым, параллельным o в положительном или отрицательном направлении, отвечают числа, для которых или, т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение равносильно равенству или, а соотношение — равенству или. Из формул неевклидовой тригонометрии следует, что ориентированное расстояние p={O,l} от полюса O до пересекающей o прямой l (рис. 6), отвечающей двойному числу, находится из соотношения

. (38)

Поэтому двум параллельным o прямым n и n', удалённым от O на расстояние {O, n}={O, n'}=p, надо отнести числа (где), для которых, т. е. числа

и .

Наконец, исходя из соотношения, связывающего двойные числа z и z, отвечающие пересекающим ось o или расходящимся с o прямым, отличающимся одна от другой лишь направлением, сопоставим противопараллельным o прямым n и n (т.е. прямым, параллельным o и противоположно направленным), удалённым от O на расстояние {O, n}={O, n}=p, числа

и ,

где и — числа, обратные делителям нуля:, (если n и n — две прямые, отличающиеся только направлением, то p={O, n}=-{O, n}=-p). Полярной оси o и противооси o (т.е. прямой, отличающейся от o только направлением) сопоставим числа 0 и ?.

Пока у нас не отвечают никаким прямым такие двойные числа z, что (т.к. и ни при каком d).

Чтобы распространить соответствие между прямыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все числа, введём в рассмотрение бесконечно удалённые прямые плоскости Лобачевского, которые можно представить, как касательные к абсолюту модели Клейна (рис. 7). Эти прямые не имеют ориентации.

Такая прямая k, не параллельная o (т.е. отличная от касательных к в точках пересечения с o), характеризуется тем, что d={k,o}=; при этом следует считать, что d=, если отвечающая k бесконечно удалённая точка S плоскости Лобачевского расположена справа от o, и d=- в противном случае. Общим перпендикуляром k и o естественно считать прямую SQ, перпендикулярную o; при этом величина s'={O,Q} может принимать любое значение и соответственно этому каждому двойному числу, такому, что, можно сопоставить определённую бесконечно удалённую прямую k. Бесконечно удалённым прямым i и i, параллельным o (рис. 7), сопоставим числа и .

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел (дополненным числами, ,, и). При этом прямые l, пересекающие полярную ось o, отвечают двойным числам, для которых, т. е. числам, изображаемым на (u,v)_плоскости точками области, помеченной на рис. 8 цифрой I. Прямые m, расходящиеся с o и направленные в ту же сторону, что и o, от общего перпендикуляра o и m, отвечают числам z, для которых, т. е. числам, изображаемым на рис. 8 точками области II. Расходящиеся с o прямые m, направленные в противоположную по сравнению с o сторону от общего перпендикуляра m и o, отвечают числам z, для которых, т. е. числам, изображаемым точками области III. Наконец, параллельные o прямые n отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя прямыми, а противопараллельные o прямые n отвечают числам, (эти числа не имеют изображений на (u,v)_плоскости); бесконечно удалённые прямые k отвечают таким числам z, что, т. е. числам, изображаемым точками гиперболы, и ещё двум числам, .

Очевидно, что как и в случае евклидовой плоскости, соотношения

(а), (б), (в) (21)

выражают симметрию относительно точки O, симметрию относительно прямой o и переориентацию (изменение направлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можно показать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:

или, или, или ;

только в качестве переменных z', z и коэффициентов P, Q здесь фигурируют не дуальные, а двойные числа, в связи с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение было положительно (если P и Q — дуальные числа, то последнее условие выполняется автоматически, т.к. произведения и не могут быть отрицательны). Также и ориентированный угол {z, z} между прямыми z и z и ориентированное расстояние d={[ z z],[ z z]} между точками пересечения прямых z и z с прямой z определяются формулами (27) и (28):

(27)

. (28)

Из (28) следует, что условием того, что три прямые z, z и z пересекаются в одной точке, является вещественность отношения. Отсюда вытекает, что уравнение точки неевклидовой геометрии Лобачевского имеет вид

A — чисто мнимое. (30)

Циклом множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:

а)-в) совокупность прямых, касающихся ориентированного цикла, т. е. окружности, предельной линии или эквидистанты;

г) пучок равного наклона, т. е. пучок всех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол с фиксированной осью пучка;

д) параллельный пучок, т. е. пучок всех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;

е) неориентированную бесконечно удалённую окружность .

При таком понимании термина цикл мы получаем, что необходимым и достаточным условием того, что четыре ориентированные прямые z, z, z и z плоскости Лобачевского принадлежат одному циклу, является вещественность двойного отношения этих четырёх прямых. Отсюда снова вытекает, что уравнение каждого цикла можно записать в форме:

A и C — чисто мнимые. (35)

Чтобы решить, является ли цикл (35) окружностью, предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или пучком постоянного наклона, надо выяснить, сколько общих прямых имеет этот цикл с бесконечно удалённой окружностью (абсолютом) (т.е. сколько решений имеет система ,) и будет ли вещественным или мнимым угол (27) между двумя соседними прямыми цикла. Воспользовавшись этим, получаем:

цикл (35) является окружностью, если

(39а) цикл (35) является предельной линией, если

, (39б) является эквидистантой, если

(39в) параллельным пучком, если

(39г) пучком равного наклона, если

(39д) цикл (35) представляет собой абсолют, если

(39е) Точку (обыкновенную, бесконечно удалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет место соотношение:

. (36)

Заключение

дуальное число модуль сопряженный В нашей работе мы определили операции сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля и сопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширив множество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа, и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n. Аналогичным образом определили двойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат, установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашли условие того, что четыре ориентированные точки принадлежат одной ориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнение ориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установили взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывели формулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получили необходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямых плоскости Лобачевского.

Эти результаты могут быть приложены к доказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многом упрощает доказательство различных теорем.

Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. — М.: Физматгиз, 1963

Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Наука, 1979