Определение напряженно-деформированного состояния многозамкнутого тонкостенного подкреплённого стержня из КМ

" ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОЗАМКНУТОГО ТОНКОСТЕННОГО ПОДКРЕПЛЁННОГО СТЕРЖНЯ ИЗ КМ"

• 1. Исходные данные
• 1.1 Геометрические характеристики
• 1.2 Значение и вид нагружения конструкции
• 1.3 Физико-механические свойства материала подкрепляющих элементов
• 1.4 Физико-механические свойства материала обшивок ТС
• 1.5 Физико-механические свойства материала стенок ТС
• 2. Определение ФМХ элементов конструкции
• 2.1 Определение ФМХ подкрепляющих элементов
• 2.2 Определение ФМХ стенок конструкции
• 2.3 Определение ФМХ обшивок конструкции
• 3. Определение центра жесткости и главных осей координат
• 3.1 Определение координат центра жесткости
• 3.2 Определение величины изгибной жесткости относительно главных осей системы координат
• 4. Напряженное состояние в сосредоточенных элементах конструкции
• 4.1 Определение распределения перерезывающей силы и изгибающего момента по длине конструкции
• 4.2 Определение напряженного состояния сосредоточенных элементов
• 5. Напряженное состояние в стенках и обшивках ТС
• 5.1 Распределение нормальных напряжений по стенкам конструкции
• 5.2 Распределение нормальных напряжений по обшивкам конструкции
• 6. Распределение механического статического момента по контуру поперечного сечения конструкции
• 7. Определение потока касательных усилий в поперечном сечении
• стержень поперечный сечение касательный
• Введение
• В данной работе рассматривается конструкция, имеющая двухзамкнутый контур в поперечном сечении. Примем за расчетную, модель тонкостенного стержня. Схема нагружения представлена на рис. 1.2. Данная конструкция состоит из стенок со структурой [±45°], верхней и нижней обшивки со структурою [0°, ±45°]. В данной конструкции присутствуют и сосредоточенные элементы в количестве шести стрингеров.
• Целью данной работы является определение НДС полок, стенок и сосредоточенных элементов, которое возникает в результате действия распределенного по длине рассматриваемой конструкции поперечного усилия.

1. Исходные данные

1.1 Геометрические характеристики

Рисунок 1.1 Поперечное сечение конструкции

Длина конструкции… L_к=3300 мм;

площадь сосредоточенного элемента… f₁=70 ммІ;

площадь сосредоточенного элемента… f₂=40 ммІ;

площадь сосредоточенного элемента… f₃=40 ммІ;

длина стенки… h₁=80 мм;

длина стенки… h₂=120 мм;

длина стенки… h₃=120 мм;

длина первого контура… b₁=160 мм;

длина второго контура… b₂=160 мм;

толщина стенки … мм;

толщина стенки … мм;

толщина стенки … мм;

толщина обшивки… мм;

толщина обшивки… мм;

количество расчетных сечений…2

1.2 Значение и вид нагружения конструкции

Рисунок 1.2- Схема нагружения конструкции

Значение равномерно распределенного давления… Р=650Па;

1.3 Физико-механические свойства материала подкрепляющих элементов

Материал: AS4/APC2 Carbon/PEEK.

Модуль упругости вдоль волокна …;

модуль упругости поперек волокна …;

модуль упругости на сдвиг …;

коэффициент Пуассона …;

предел прочности на растяжение вдоль волокна …;

предел прочности на сжатие вдоль волокна…;

предел прочности на растяжение поперек волокна …;

предел прочности на сжатие поперек волокна …;

предел прочности на сдвиг …

1.4 Физико-механические свойства материала обшивок и стенок

Материал

Модуль упругости вдоль волокна …;

модуль упругости поперек волокна …;

модуль упругости на сдвиг …;

коэффициент Пуассона …;

предел прочности на растяжение вдоль волокна …;

предел прочности на сжатие вдоль волокна…;

предел прочности на растяжение поперек волокна .;

предел прочности на сжатие поперек волокна …;

предел прочности на сдвиг …

1.5 Физико-механические свойства материала стенок ТС

Модуль упругости вдоль волокна …;

модуль упругости поперек волокна …;

модуль упругости на сдвиг …;

коэффициент Пуассона …;

предел прочности на растяжение вдоль волокна …;

предел прочности на сжатие вдоль волокна…;

предел прочности на растяжение поперек волокна …;

предел прочности на сжатие поперек волокна …;

предел прочности на сдвиг …

2. Определение ФМХ элементов конструкции

2.1 Определение ФМХ подкрепляющих элементов

Так как стрингеры изготовлены из однонаправленного материала то:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

2.2 Определение ФМХ стенок конструкции

Структура стенок конструкции заранее задана и представляет собою укладку [±45?]. Для определения модулей упругости необходимо определить:

коэффициент Пуассона в поперечном направлении монослоя

(2.4)

приведенные модули упругости в продольном и в поперечном направлении монослоя

(2.5)

(2.6)

определяем коэффициенты матрицы жесткости стенки с углами армирования ±45?.

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Определяем модули упругости стенок, через выше рассчитанные приведенные коэффициенты матрицы жесткости стенки (2.7−2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

2.3 Определение ФМХ обшивок конструкции

Структура обшивок конструкции заранее задана и представляет собою укладку [0;±45?] при ш=0,5, где ш— отношение толщины слоев с углом угладки «0» к суммарной толщине пакета. Для определения модулей упругости обшивок необходимо определить:

коэффициент Пуассона в поперечном направлении монослоя

(2.16)

приведенные модули упругости в продольном и в поперечном направлении монослоя

(2.17)

(2.18)

определяем коэффициенты матрицы жесткости обшивок с углами армирования [0;±45?]

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Определяем модули упругости обшивок, через выше рассчитанные приведенные коэффициенты матрицы жесткости обшивок (2.19−2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

3. Определение центра жесткости и главных осей координат

3.1 Определение координат центра жесткости

Зная, что конструкция симметрична относительно горизонтальной плоскости, проходящей через середины стенок, выберем произвольную систему координат пересечение осей которой расположено на середине крайней левой стенки конструкции, как показано на (рис. 1.1). Горизонтальная ось— ось Х, вертикальная ось— ось У.

Определим осевую жесткость конструкции по формуле (3.1)

(3.1)

где: — модули упругости стрингера, обшивки, стенки;

— сосредоточенные площади стрингеров;

— контурная координата.

Определим механический статический момент инерции относительно оси У по формуле (3.2)

(3.2)

где: — модули упругости стрингера, обшивки, стенки;

— сосредоточенные площади стрингеров;

— контурная координата.

храсстояние от элемента до оси Х.

урасстояние от элемента до оси У.

.(3.2)

Ввиду симметрии конструкции относительно оси Х механический статический момент инерции равен нулю

.

Зная осевую жесткость и статический момент инерции относительно оси Y определим координату центра жесткости сечения относительно оси Х по формуле (3.3):

(3.3)

Зная осевую жесткость и механический статический момент относительно оси Х определим координату центра жесткости сечения относительно координаты У по формуле (3.4):

(3.4)

3.2 Определение величин изгибных жесткостей относительно главных осей системы координат

Определим изгибную жесткость относительно выбранной системы координат по формуле (3.5)

(3.5)

Определим изгибную жесткость относительно выбранной системы координат по формуле (3.6)

(3.6)

Определим крутильную жесткость относительно выбранной системы координат по формуле (3.7)

. (3.7)

Ввиду того, что данная конструкция симметрична относительно оси Х значение крутильной жесткости равно нулю.

Определим изгибные и крутильную жесткости в главных центральных осях по формулам (3.8), (3.9), (3.10):

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Тогда коэффициент несимметрии поперечного сечения вычисляется по формуле (3.11). Его равенство единице говорит о нулевом угле поворота главных осей.

4. Напряженное состояние в сосредоточенных элементах конструкции

4.1 Определение распределения перерезывающей силы и изгибающего момента по длине конструкции

Внешней нагрузкой действующей на консольно закрепленную конструкцию является давление, которое равномерно распределено по двум верхним панелям. Зная геометрические размеры верхних панелей, определим равномерно распределенное усилие от статически прикладываемого давления по формуле (4.1)

(4.1)

где :

— ширина крайних левых обшивок,

— угол наклона крайних левых обшивок,

— ширна крайних правых обшивок,

— угол наклона крайних правых обшивок,

Зная значение равномерно распределенного усилия, определим значение перерезывающей силы при z=0, z=0,25L_k, z=0,5L_k

(4.2)

Q (0)=924,589Н; Q (1м)=693,441Н; Q (2м)=462,294Н

Рис. 4.1 Эпюра перерезывающей силы

Зная значение перерезывающей силы, определим значение изгибающего момента при z=0, z=0,25L_k, z=0,5L_k

(4.3)

М (0)=1849Нм; М (1м)=1040Нм; М (2м)=462,294Нм

Рис. 4.2 Эпюра изгибающего момента

4.2 Определение напряженного состояния сосредоточенных элементов

Зная закон изменения изгибающего момента, модуль упругости сосредоточенных элементов и их изгибную жесткость, определим нормальные напряжения в стрингерах. Причем, верхние стрингеры будут сжиматься, а нижние растягиваться.

Общая формула для напряжений в подкрепляющих элементах:

(4.4)

1. Определим напряжения в подкрепляющих элементах в первом сечении при z=0

В верхних стрингерах:

(4.5)

(4.6)

(4.7)

В нижних стрингерах:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

2. Определим напряжения в подкрепляющих элементах во втором сечении при z=0,25L_k

В верхних стрингерах:

(4.11)

(4.12)

(4.13)

В нижних стрингерах:

(4.14)

(4.15)

(4.16)

3 Определим напряжения в подкрепляющих элементах в третьем сечении при z=0,5L_k

В верхних стрингерах:

(4.17)

(4.18)

(4.19)

В нижних стрингерах:

(4.20)

(4.21)

(4.22)

На рис. 4.3 изображено изменение напряжений в верхних и нижних подкрепляющих элементов по длине участка конструкции.

Рис. 4.3. Изменение напряжений в подкрепляющих элементах по длине

5. Напряженное состояние в стенках и обшивках ТС

5.1 Распределение нормальных напряжений по стенкам конструкции

Запишем закон изменения напряжений по длине стенок и обшивок

(5.1)

1. Определим значение напряжения в стенках в первом сечении при z=0

(5.2)

(5.3)

(5.4)

2. Определим значение напряжения в стенках во втором сечении при z=0,25L_k

(5.5)

(5.6)

(5.7)

3. Определим значение напряжения в стенках в третьем сечении при z=0,5L_k

(5.8)

(5.9)

(5.10)

5.2 Распределение нормальных напряжений по обшивкам конструкции

1. Определим значение напряжения в обшивках в первом сечении при z=0. В верхних обшивках (сжатие)

(5.11)

(5.12)

В нижних обшивках (растяжение)

(5.13)

(5.14)

2. Определим значение напряжения в обшивках в первом сечении при z=0,25L_k

В верхних обшивках (сжатие)

(5.15)

(5.16)

В нижних обшивках (растяжение)

(5.17)

(5.18)

3. Определим значение напряжения в обшивках в первом сечении при z=0,5L_k. В верхних обшивках (сжатие)

(5.19)

(5.20)

В нижних обшивках (растяжение)

(5.21)

(5.22)

Рассмотрим распределение нормальных напряжений в панельных элементах в сечении z=0

Рис. 5.1 Эпюра распределения напряжений в панелях при z=0

Рис. 5.2 Эпюра распределения напряжений в панелях при z=0,25L_k

Рис. 5.3 Эпюра распределения напряжений в панелях при z=0,5L_k

6. Распределение механического статического момента по контуру поперечного сечения конструкции

Распределение потока механического статического момента не меняется по длине конструкции, так как не изменяется геометрия поперечного сечения по всей длине конструкции. Определим распределение статического момента по поперечному сечению в корневой части конструкции. Направление обхода представлено на рис. 7.1.

Рис. 7.1- Направление обходов многозамкнутого поперечного сечения

Статический момент определяется по формуле:

участок 1

участок 2

участок 3

участок 4

участок 5

участок 6

участок 7

участок 8

участок 9

участок 10

Рис. 7.1- Распределение механического статического момента по контуру поперечного сечения ТС.

7. Определение потока касательных усилий в поперечном сечении

Основная особенность определения НДС в тонкостенном стержне проявляется при определении потока касательных напряжений, для которого справедливо равенство. Так как контур трехзамкнутый, то необходимо сделать три разреза— введем эти разрезы по оси симметрии

Определяем ПКС от перерезывающей силы в сечении на каждом участке по формуле :

(8.1)

Рассчитаем в корневом сечении

При

участок 1

участок 2

участок 3

участок 4

участок 5

участок 6

участок 7

участок 8

участок 9

участок 10

Построим распределение ПКС в рассматриваемом нами сечении конструкции рис. 8.1.

Рис. 8.1 Распределение потока касательных усилий от перерезывающей силы в корневом сечении.

Запишем потенциальную энергию контура:

— касательные напряжения.

Деформация контура единичной длины определяется:

где:

q= суммарный поток касательных сил;

G и д— модули сдвига и толщина обшивки.

Запишем уравнение моментов:

(8.5)

где:

— удвоенная площадь i контура.

Обозначим это уравнение как А.

Тогда запишем функционал:

(8.6)

Согласно смешанному вариационному принципу Лагранжа множитель представляет собой обобщенное перемещение при действии соответствующей силе.

Согласно принципу минимума потенциальной энергии деформации, уравнения совместности деформации могут быть получены в результате минимизации U по q_0i. Предварительно необходимо учесть, что потоки q_0i связаны уравнением моментов. С помощью этого один из потоков можно исключить из энергии, однако лучше воспользоваться методом условной минимизации функционала.

Для определения потоков, необходимо составить четыре уравнения. Первое уравнение — это уравнение равновесия моментов относительно точки 0, создаваемых ПКС. Остальные три уравнения—это углы закручивания контуров. Так как контуры деформируются совместно, то угол закручивания первого, второго и третьего контуров равны между собой.

(8.7)

Решим систему уравнений (8.7) получим:

где:

— удвоенная площадь первого контура;

— удвоенная площадь второго контура.

Запишем общие формулы для коэффициентов

(8.8)

(8.9)

Запишем численное значение угла закручивания в поперечном сечении конструкции

Решая систему уравнений (8.7), получим:

Построим распределение потоков q01, q02 в рассматриваемом сечении конструкции рис. 8.2.

Рис. 8.2 Распределение потоков касательных усилий q01, q02 в корневом сечении.

Определим суммарный поток касательных усилий, зная, q01, q02, построим его распределение по контуру поперечного сечению рис. 8.3.

Рис. 8.3 Распределение суммарного потока касательных усилий в корневом сечении.

Заключение

В данной работе было определено НС полок, стенок и сосредоточенных элементов, которое возникает в результате действия распределенного по длине рассматриваемой конструкции поперечного усилия. Определили суммарный поток касательных усилий, который возникает в результате того, что на многозамкнутый тонкостенный стержень действует нагрузка распределенная по всей длине конструкции.

Список используемой литературы

1. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. Машиностроение 1988, 272 стр.

2. Конспект лекций по курсу Механика и прочность конструкций из КМ.

3. Образцов И. Ф. Строительная механика летательного аппарата. М. Машиностроение 1986, 536 стр.