Определение основных законов кинематики механических систем, их применение для изогнутой балки с консольным участком, материальной точки, плоского механизм

Вариант 54

Контрольное задание С-1

Жёсткая изогнутая балка с консольным участком установлена на двух опорах, А и В. Опора, А — это неподвижный шарнир; опора В — стержень ВВґ, прикреплённый неподвижными шарнирами к балке и к основанию — неподвижной опоре.

На балку действует пара сил с моментом М = 100 Н· м; неравномерно распределённая нагрузка q₁ = 15 Н/м; сила F₄= 40 Н, приложенная в точке К на конце консоли и сила F₂= 20 Н, приложенная в точке Е.? = 0,5 м.

Определить реакции в опорах, А и В.

Рис. 1 Заданная схема изогнутой балки Рис. 2 Расчётная схема балки Составим уравнения равновесия:

_А = 0; - X_B· 2 + q· 1,5 + M — F₂· sin30°·0,5 — F₂· cos30°·0,5 + F₃· sin60°·0,5 = 0, откуда

X_B =[ q· 1,5 + M — F₂· sin30°·0,5 — F₂· cos30°·0,5 + F₃· sin60°·0,5]/2 = [15· 1,5 + 100 — 20· 0,5·0,5 — 20· 0,866·0,5 + 30· 0,866·0,5]/2 = 60,92 H.

??F_Y = 0; Y_A + F₂· sin30°- F₃· sin60° = 0, откуда

Y_A = - F₂· sin30°+ F₃· sin60° = - 10,0 + 30,0· 0,866 = 15,98 Н.

??F_Х = 0; - X_B — X_A + q· 1 — F₂· cos30° - F₃· cos60° = 0, откуда

X_A = - X_B + q· 1 — F₂· cos30° - F₃· cos60 = -60,92 + 15 — 20· 0,866 — 30· 0,5 = - 78,24 Н,

реакция направлена в противоположную сторону, принятую ранее.

Ответ: X_A = 78,24 Н;

Y_A = 15,98 Н;

X_B = 60,92 Н.

Контрольное задание К-1

Точка С движется по плоскости хОу. Закон движения точки С задан двумя уравнениями:

х = f₁(t). y = f₂(t),

где х и у выражены в сантиметрах, t — в секундах.

х = 2sin (t) — 3;

у = 8cos (t) — 3; (1)

Определить уравнение траектории точки С, определить скорость, ускорение точки С, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в точке С траектории для момента времени t₁ = 1с и всё изобразить графически.

Решение.

Исключим из системы уравнений время t.

Считая б = t, получим х = 2sinб — 3; sinб = ;

Воспользуемся формулой cos2б = 1 -2 sin²б. тогда

y = 9cos²б = 8[1 -2 ()²] - 3 = - 4x² — 24x — 31, это уравнение параболы, т. е. y = - 4x² — 24x — 31.

Изобразим параболу на чертеже

Далее определим положение точки С на траектории в момент времени t₁ = 1c.

Для этого в уравнения (1) подставим значение t = 1с. Получим х = 2sin (t) — 3 = 2· 0,5 — 3 = -2;

у = 8cos (t) — 3 = 8· 0,5 — 3 = 1;

х_с = -2; у_с = 1; т. е. С (-2; 1), обозначим т. С на траектории.

Далее определим две составляющие скорости т. С по осям Х и У:

V_x = xґ = dx/dt = .

V_y = yґ = dy/dt = - 8.

При t = 1с V_x = cм/с;

V_y =- - 8 = -8 = - 7,25 см/с.

Модуль скорости V_с = (V_x² + V_y²) = (0,91² + 7,25²) = 7,31 см/с.

Изобразим все три вектора на чертеже.

Из построения видно, что скорость V_с направлена по касательной к траектории в данной точке С. По вектору V_с проведём линию в обе стороны — получим касательную ось ф.

Аналогично определим составляющие ускорения т. С:

а_хс = Vґ_x = dV_x/dt = - р²/18· (sin;

а_ус = Vґ_у = dV_у/dt = - cos ;

При t = 1с, а_хс = - 0,274 см/с²; а_ус = - 4,38 см/с².

а_с = (а²_хс + а²_ус) = (0,274² + 4,38²) = 4,39 см/с².

Касательное ускорение определим по формуле а_ф = (V_x· a_x + V_y· a_y)/V = [0,91· (- 0,274) +(- 7,25)· (- 4,38)/7,31 = 4,31 см/с².

Точка С в момент t = 1с движется по траектории с ускорением.

Нормальное ускорение

а_сn = (a²_c — a²_ф) = (4,39² — 4,31²) = 0,833 см/с².

Радиус кривизны

с = V²/a_n; с = 7,31²/0,83 = 64,38 см;

Контрольное задание K-2

Плоский механизм состоит из четырёх стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В (рис.К-2.5 Методические указания).

щ₁ = 4 с^-1; ?₁ = 0,3 м; ?₂ = 1,2 м; ?₃ = 1,5 м; ?₄ = 0,5 м.

Т.к. щ₁ = 4 с^-1, то вращение ведущего кривошипа 1 происходит против часовой стрелки.

Найти: V_B, V_E, щ₃ .

Решение.

Определяем линейную скорость точки А

V_A = щ₁ · ?₁ = 4· 0,3 = 1,2 м/с;

Согласно теореме: проекции векторов V_A и V_Е на прямую АЕ равны и направлены в одну сторону. Поэтому определяем линейную скорость V_Е :

V_A· cos30° = V_E· cos60°, 1,2· 0,866 = V_E· 0,5; V_E = м/с;

Для определения скорости поршня В необходимо определить величину и направление скорости точки D, которая находится на середине АЕ.

Определим мгновенный центр скоростей звена 2. Для этого проведём два перпендикуляра к известным векторам V_A и V_Е.

щ_С2 = V_A/0,600 = V_D/0,600, откуда V_D = (V_A· 0,600)/0,600 = (1,5· 0,600)/0,600 =1,2 м/с;

Далее определяем линейную скорость ползуна В. Для этого также используем теорему о равенстве проекций скоростей.

V_В = V_D· cos60° = 1,2· 0,5 = 0,6 м/с;

Определим мгновенный центр скоростей звена 3. Для этого проведём два перпендикуляра к известным векторам V_D и V_B, которые образуют две параллельные линии, а значит мгновенный центр скоростей V_B и V_D находится в бесконечности, т. е. щ₃ = 0.

Ответ: V_В = 0,6 м/с;

V_E = м/с;

щ₃ = 0.

Контрольное задание Д-2

Механическая система состоит из сплошного катка 1, ступенчатого шкива 2 и груза 3, соединённых в единую систему тел с помощью невесомых нитей, намотанных на ручьи шкива 2.

Из положения равновесия систему выводит сила F. Определить один из кинематических параметров движения системы, когда система под действием силы F передвинулась на расстояние S₁ (соответствующую перемещению тела 1).

f_тр = 0,2; R₂ = 0,3 м; r₂ = 0,2 м.

m₁ = 10 кг; m₂ = 1,0 кг; m₃ = 8,0 кг;

М₂ = 0,5 Н· м; F = f (S) = 30(5 + 4S); S₁ = 0,6 м;

Найти щ₂.

Решение.

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы.

Т — Т₀ = _i^e. (1)

Кинетическая энергия движущейся системы равна сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Т = Т₁ + Т₂ + Т₃. (2)

Тело 1 движется плоскопараллельно, т. е. его кинетическая энергия:

Т₁ = · V²_c1 + J_c1· щ²₁,

где V_c1 — скорость центра 1;

J_c1 — момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс, т. е. — т. С₁;

щ₁ — угловая скорость вращения катка относительно оси, проходящей через т. С₁.

Шкив 2 вращается постоянно относительно неподвижности в центре точки О₂, т. е. кинетическая энергия: Т₂ = · J₂·щ²₂,

где J₂ — момент инерции шкива относительно оси, проходящей через точку О₂;

щ₂ — угловая скорость шкива относительно оси, проходящей через точку О₂.

Груз 3 движется поступательно, т. е. его кинетическая энергия: Т₃ = m₃· V²₃

Все скорости выражаем через искомую угловую скорость щ₂, т. е. V_с1 = щ₂· R₂. следовательно:

щ₂ = V_с1/ R₂. щ₁ = V_с1/ R₂.

V_с3 = щ₂· r₂ .

Моменты инерции: сплошного цилиндрического катка: J_c1 = 0,5m₁· r²₁; шкива с периферийной массой: J₂ = m₂· R₂². Всё подставляем в выражение (2):

Т = · V²_c1 + J_c1· [V_с1/ R₂]² + · J₂·[(V_c1/ R₂)]² + m₃· [ V_с1(r₂/ R₂)]² = щ²₂ · R²₂ + J_c1[(щ₂· R₂)/R₂]² + · J₂·[(щ₂· R₂)/R₂]²+ m₃· [(щ₂· R₂)· (r₂/ R₂)]² = [ · R²₂ + J_c1 + · J₂ + m₃· r²₂ ] · щ²₂ = [ · 0,09 + 0,2 + · 0,09 + 8· 0,04 ] · щ²₂ = 0,755 щ²₂ .

Далее определим сумму работ всех действующих внешних сил на соответствующих перемещениях тел системы.

Реакции N₁, N₂, N₃, а также m₁· g, m₂· g, mg· cos30° на направлениях перемещений имеют проекции равные нулю, поэтому работ не совершают.

F_{тр, 1} — приложенная в точке касания катка 1, не производит работы, т.к. эта точка — мгновенный центр скоростей и тело 1 катится по плоскости без скольжения, т. е. без сопротивления.

Положительные работы производят:

1) Сила F на перемещении S₁, т. е. инициирующая движение всей системы сила:

А (F) = = 150· S₁ +120· S²₁ = 150· 0,6 + 120· 0,36 = 133,2 Н· м, Отрицательные работы производят:

2) Сила m₃g· sin30° (скатывающая составляющая G₃) на перемещении S₃ даёт отрицательную работу, т.к. направлена против движения системы:

А (G₃) = - m₃g· sin30°· S₃ = - m₃g· sin30°·r₂·?₂ = - m₃g· sin30°·(r₂/ R₂)· S₁ = - 8· 10·0,5··0,6 = - 16 Н· м.

3) Тормозной момент шкива 2 даёт отрицательную работу:

А (М₂) = - М₂· ?₂ = - М₂· (S₁/R₂) = - 0,5· (0,6/0,3) = - 1,0 Н· м.

4) Сила F_{тр, 3} создаёт отрицательную работу (работу силы сопротивления) на том же перемещении S₃:

А (F_{тр, 3}) = - f_тр· m₃· g· cos30°· S₃ = - 0,2· 8· 10· 0,866· (0,2/ 0,3)· 0,6 = - 5,54 Нм.

Сумма работ всех сил: ^e = 133,2 — 16 — 1,0 — 5,54 = 110,66 Нм.

Окончательно из выражения (1) находим:

0,755 щ²₂ = 110,66, щ₂ = = 12,1 м/с.

Ответ: Угловая скорость шкива 2 щ₂ = 12,1 рад/с.

Контрольное задание Д-3

балка точка ускорение инерция Вертикальный невесомый вал вращается с постоянной угловой скоростью щ = 5 1/с. Вал имеет две опоры: подпятник, А и цилиндрический подшипник В. К валу жёстко прикреплён невесомый стержень 1 длиной ?₁ = 0,6 м с сосредоточенной массой m₁ = 6 кг на его конце, а также однородный стержень 2 длиной ?₂ = 0,8 м с массой m₂ = 8 кг.

Пренебрегая весом вала и считая b = 0,3 м, определить реакции опор: подпятника, А и шарнира В. б = 60°, в = 45°.

Решение.

К вращающей системе (вал, стержни, груз) применим принцип Даламбера.

Рассмотрим систему тел в плоскости хА (обозначим оси координат) и приложим (изобразим) все силы, действующие на систему:

Реакции R_B; R_Ax; R_Ay.

Внешние силы: G₁ = m₁· g; G₂ = m₂· g; силы инерции стержня F_u2 и груза F_u1.

Для определения сил инерции стержня и груза определим ускорения их центров масс точек C₁ и С₂. Т. к. вращение вала равномерное (щ = const), то ускорения равны центростремительным, то есть нормальным составляющим ускорения

а_hc1 = щ²· h_c1; а_hc2 = щ²· h_c2; H₁ = 0,6· cos60° = 0,6· 0,5 = 0,3 м;

а_hc1 = щ²· h_c1 = 5²· 0,52 = 13,0 м/с²;

h_c2 = 0,8· cos45° = 0,8· 0,707 = 0,566 м;

а_hc2 = щ²· h_c2 = 5²· 0,566 = 14,15 м/с²;

Векторы сил F_u1. и F_u2 направлены в противоположную сторону направлениям а_hc1 и а_hc2.

Н₂ = · 0,566 = 0,377 м; H₁ = 0,3 м;

F_u1 = m₁· а_hc1 = 6· 13,0 = 78,0 H.

F_u2 = m₂· а_hc2 = 8· 14,15 = 116 H.

Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

=0; = 0; =0;

= 0, R_Ax — R_B + F_u1 + F_u2; (1)

=0, R_Aу — G₁ — G₂; (2)

=0, R_b· 0,6 — G₁· h_c1 — F_u1· (H₁ + 0,3) — G₂· h_c2 — F_u2· (0,9 + H₂) = 0. (3)

Из (2) находим R_Aу = G₁ + G₂ = (6 + 8)· 10 = 140 Н.

Из (3) находим R_В = [G₁· h_c1 + F_u1· (H₁ + 0,3) + G₂· h_c2 + F_u2· (0,9 + H₂)]/0,6 =

= [60· 0,52 + 78,0· (0,3 + 0,3) + 80· 0,566 + 116· (0,9 + 0,377)]/0,6 = 45,2 H.

R_Ax = R_B — F_u1 — F_u2 = 45,2 — 78,0 — 116 = -148,8 H, направлена в противоположную сторону от первоначального.

Ответ: R_Ax = 148,8 H. R_Aу = 140 Н. R_В = 45,2 H.