Закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической механики Курсовая работа По разделу «Динамика»

Выполнил:

студент гр. 622 131 Жарков Д.О.

Научный руководитель:

доц. Ткач О. А.

Тула

СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления (- скорость центра масс тела 1) и возмущающая гармоническая сила. Трением качения и скольжения пренебречь. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Схема механической системы, а также инерционные и геометрические характеристики тел приведены в таблицах данных.

Требуется: применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.

ОГЛАВЛЕНИЕ Схема механизма и необходимые численные данные Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы

1.2 Определение закона движения системы

1.3 Определение реакций внутренних и внешних связей Часть 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТ, РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

2.1 Вычисление констант

2.2 Вычисление значений функций в момент времени t

2.3 Вычисление реакций связей Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

3.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа второго рода динамика дифференциальный уравнение механизм

СХЕМА МЕХАНИЗМА И НЕОБХОДИМЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ ДАННЫЕ рис.1

Таблицы данных

— характерная масса — = 1 кг.

— характерный радиус — = 0.1м.

с — коэффициент жесткости — с = 4000 Н/м.

— коэффициент сопротивления = 100 Нсек/м.

— амплитуда возмущающей силы = 50 Н.

р — частота возмущающей силы р =рад/c.

— массы тел механической системы.

— радиусы ступеней блока 3.

— радиус подшипника 2.

— радиус инерции блока 3.

Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы Расчетная схема представлена на рис. 2.

рис.2

На рис. 2 обозначено:

— силы тяжести,

— нормальная реакция опорной плоскости,

— сила сцепления,

— упругая реакция пружины,

— реакции подшипника 2,

— сила вязкого сопротивления,

— возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение блока 2 происходит без скольжения). Будем определять её положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

(1.1)

где Т — кинетическая энергия системы,

— сумма мощностей внешних сил,

— сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: «Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внутренних и внешних сил, действующих на точки механической системы» .

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1−3:

. (1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

. (1.3)

Подшипник 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. Его кинетическая энергия равна:

(1.4)

где — момент инерции подшипника относительно центральной оси,

— угловая скорость подшипника.

Блок 3 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига:

(1.5)

где — скорость центра масс блока 3,

— момент инерции блока 3 относительно центральной оси ,

— угловая скорость блока 3.

Тогда кинетическая энергия всего механизма будет равна:

. (1.6)

Выразим через скорость груза 1. Положив, получим:

;; ;. (1.7)

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

(1.8)

или

(1.9)

где

. (1.10)

Величину будем называть приведенной массой.

Найдём производную от кинетической энергии по времени:

. (1.11)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) — сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки её приложения:

. (1.12)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

. (1.13)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы:

.

Найдем мощности остальных внешних сил:

(1.14)

Тогда сумма мощностей внешних сил будет равна:

. (1.15)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1.16)

или

(1.17)

где

. (1.18)

Величину будем называть приведенной силой.

Преобразуем выражение (1.18). Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического и динамического удлинений:

причем из выражения (1.7) для следует, что .

Тогда упругая сила будет равна:

. (1.19)

Сила вязкого сопротивления. Приведенную силу с учетом последних формул для и запишем в виде:

раскрывая скобки получим:

(1.20)

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая (1.20), и, получаем условие равновесия системы:

(1.21)

Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины:

. (1.22)

Учитывая (1.22) и (1.20), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

. (1.23)

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

. (1.24)

Запишем последнее уравнение в виде:

(1.25)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

— циклическая частота свободных колебаний,

— показатель степени затухания колебаний.

Запишем начальные условия движения:

. (1.26)

Выражения (1.25) и (1.26) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

1.2 Определение закона движения системы Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

(2.1)

где — амплитуда возмущающей силы,

p — циклическая частота возмущения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного:. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25), имеет вид:

. (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции:

(2.3)

где и — постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

.

Так как мы ищем нетривиальное решение, то. Следовательно, должно выполняться условие:

. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

. (2.5)

В нашем случае — подкоренное выражение (2.5) отрицательно, следовательно корни комплексно-сопряженные. Общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

(2.6)

где — постоянные интегрирования,

. (2.7)

Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера нетрудно представить в виде:

(2.8)

где постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения

. (2.9)

Частное решение ищем в виде правой части

. (2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9), после несложных преобразований получаем Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных, А и В:

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов, А и В:

(2.11)

Таким образом, решение (2.10) определено. Складывая (2.8) и (2.10), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.9):

. (2.12)

Константы и определяются из начальных условий (1.26). Для этого найдем производную по времени от (2.12):

. (2.13)

Подчинив (2.12) и (2.13) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант:

(при t=0).

Решая эту систему, получаем:

(2.14)

Подставляя (2.14) в (2.12), получаем закон движения механизма:

(2.15)

1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

рис.3

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения:

(3.1)

и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс:

(3.2)

В соответствии с расчетными схемами (рис.3) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат:

тело 1: (3.3)

тело 2:

на ось: , (3.4)

на ось: , (3.5)

(3.6)

тело 3:

на ось: , (3.7)

на ось: , (3.8)

(3.9)

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) — (3.9) преобразуем к виду:

(3.10)

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций:

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение системы, и выражения для определения реакций:

(3.11)

Часть 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТ, РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

2.1 Вычисление констант

2.2 Вычисление значений функций в момент времени t

Для момента времени вычислим значения функций и

2.3 Вычисление реакций связей Такая механическая система неработоспособна, для её оптимизации необходимо изменить параметры, такие как масса, жесткость пружины и частота возмущающей силы.

Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:

(3.1)

Здесь — сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы; - сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

рис.4

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4). Идеальные связи не учитываем и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

(3.2)

Вычислим последовательно элементарные работы активных сил:

Суммируя эти работы получаем:

(3.3)

С учетом кинематических соотношений (1.7) получим:

где ,

Окончательно получаем:

(3.4)

Аналогичное выражение для приведенной силы получено ранее [см.(1.23)].

Найдем возможную работу сил инерции:

(3.5)

Вычислим последовательно элементарные работы сил инерции:

где (3.6)

Суммируя эти работы получаем:

(3.7)

где

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать:

(3.8)

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

(3.9)

(3.10)

где (3.11)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [(1.10)]. Подставляя выражения (3.4) и (3.10) в общее уравнение динамики (3.1) получаем:

(3.12)

Поделив (3.12) на, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

(3.13)

где (3.14)

Дифференциальное уравнение (3.13) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.25).

3.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа второго рода Составим теперь уравнения Лагранжа второго рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

(3.15)

где Т — кинетическая энергия системы;

Q — обобщенная сила;

S — обобщенная координата;

— обобщенная скорость.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:

где

Учитывая, что получаем:

(3.16)

Производные от кинетической энергии

(3.17)

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис.4) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [cм. (3.4)]:

(3.18)

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

(3.19)

Сравнивая формулы (3.18) и (3.19) получим:

(3.20)

Подставляя производные от кинетической энергии (3.17) и обобщенную силу (3.19) в уравнение Лагранжа, получаем:

(3.21)

Полученное уравнение (3.21) совпадает с уравнениями (1.25) и (3.13).