Определение прогибов железобетонной балки и усилий в её сечениях при установившихся гармонических колебаниях

САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра строительной механики и теории упругости

Контрольная работа

по дисциплине «Динамика сооружений»

Определение прогибов железобетонной балки и усилий в её сечениях при установившихся гармонических колебаниях

(шифр задания 3305)

Выполнил:

студент гр. 5015/10

Смирнов Д. В.

Преподаватель:

Константинов И. А.

С.-Петербург

2008 г.

Постановка задачи

Дана железобетонная балка (рис. 1) со следующими параметрами: длина балки; размеры прямоугольного поперечного сечения; железобетон класса В25 (объемный вес; модуль упругости).

В соответствии с заданными параметрами объем материала балки, площадь её поперечного сечения, полная масса и её полный вес составляют соответственно величины:; ;; .

По середине пролета балки расположен электродвигатель (он воздействует на балку силой; сила веса ротора; частота вращения ротора).

На расчетной схеме балки для статического расчета ее вес представлен в виде равномерно распределенной нагрузки, а вес электромотора в виде сосредоточенной силы (см. рис. 1, а).

Расчетная схема для динамического расчета балки представляется в виде системы с одной степенью свободы. Такая расчетная схема получится (рис. 1, б), если представить балку как систему двух элементов (тип 2 в программе SCAD) с узлами на опорах и по середине балки и заменить равномерно распределенную массу элементов двумя равными массами по концам элементов.

За возмущающую динамическую нагрузку, вызывающую поперечные колебания балки, в примере принята вертикальная составляющая центробежной силы (см. рис. 1, б), вызванной вращающимся ротором, имеющим эксцентриситет между центром массы ротора и его геометрической осью.

Возмущающее гармоническое воздействие представляется в виде, где — амплитуда центробежной силы (рис. 2); - масса ротора; - ускорение свободного падения.

Требуется определить максимальный прогиб балки и максимальный изгибающий момент в ее среднем сечении:

· от статической нагрузки в виде собственного веса балки и электромотора;

· от динамической нагрузки в виде при установившихся гармонических колебаниях;

· от суммарного воздействия обеих нагрузок Статический и динамический расчет выполнить вручную и с помощью программы SCAD.

1 Выполнение задания при использовании для динамического расчета балки системы с одной степенью свободы

1.1 Расчет на ПК с использованием программы SCAD

1. Составляем расчетную схему балки для статического расчета и динамического расчета как системы с одной степенью свободы

С этой целью изобразим балку как систему двух элементов типа 2 (по классификации в программе SCAD) с узлами на опорах и в месте расположения двигателя (рис. 4).

Рис. 4

На приведенной схеме показаны статические нагрузки от собственного веса балки и собственного веса двигателя и вертикальная составляющая динамической нагрузки, вызванной вращением ротора двигателя.

Так как мы рассматриваем эту систему как линейно деформируемую, то воспользуемся принципом независимости действия сил и определим прогибы балки и усилия в её сечениях отдельно от каждой нагрузки.

————————————————————————————————————————————-;

| Р, А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е В Е С О В М, А С С |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 2 3 |

————————————————————————————————————————————-;

| 3 — (гарм-1) |

| Z 3.67 |

————————————————————————————————————————————-;

————————————————————————————————————

|Загpу: N: COБCTB.: Ч A C T O T Ы: ПEPИOДЫ |

|: П/П: :——————————————-:———————-|

|жение:: ЗHAЧEHИЯ: 1/C: ГЦ: C |

————————————————————————————————————

| 3 1 .93 448 107.0104 17.3 988 .586 858 |

———————————————————————————————————-;

————————————————————————————————————————————-;

| Ф О Р М Ы К О Л Е Б, А Н И Й |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 2 3 |

————————————————————————————————————————————-;

| 3 — 1 (гарм-1) |

| Z 1. |

————————————————————————————————————————————-;

————————————————————————————————————————————-;

| И Н Е Р Ц И О Н Н Ы Е Н, А Г Р У З К И |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 2 3 |

————————————————————————————————————————————-;

| 3 — 1 (гарм-1) |

| Z .988 |

| 3 — 2 |

| Z -.1356 |

Анализ результатов расчета

Прежде всего, отметим, что структура таблиц и их названия предназначены для систем с несколькими степенями свободы, что объясняет использование множественного числа в их названиях. В рассматриваемом примере имеем систему с одной степенью свободы.

Введенные результаты в первой и второй таблицах понятны: в первой — показано, что в узле 2 составленной расчетной схемы МКЭ находится сосредоточенная масса весом 3.67 тс; во второй — приведены результаты определения собственной круговой частоты щ, частоты f и периода T.

В третьей таблице для каждой собственной формы колебаний (СФК) отражаются относительные перемещения масс расчетной схемы по направлению их степеней свободы. При этом наибольшее перемещение в СФК принято равным единице. В рассматриваемом примере для системы с одной степенью свободы имеется только одна форма колебаний с одной ординатой, равной единице.

В четвертой таблице приведены амплитуды составляющих S1 и S2 суммарной силы S. Полная амплитуда So суммарной силы получается по формуле:

Аналогично, из таблиц для перемещений и для усилий в узле 2 загружения 3 соответственно получаем составляющие перемещения узла 3 расчетной схемы (см. рис. 1) и момента в этом сечении и максимальные значения этих величин:

| П Е Р Е М Е Щ Е Н И Я У З Л О В |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 2 3 |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 — (СВ) |

| Z -.62 551 |

| 2 — (Вес двиг.) |

| Z -.357 142 |

| 3 — 1 (гарм-1) |

| Z -.230 647 |

| 3 — 2 |

| Z .31 663 |

————————————————————————————————————————————-;

————————————————————————————————————————————-;

| У С И Л И Я /НАПРЯЖЕНИЯ/ В ЭЛЕМЕНТАХ |

————————————————————————————————————————————-;

| 2_ 1−1 1−2 1−3 2−1 2−2 2−3 |

| 1 1 1 2 2 2 |

| 2 2 2 3 3 3 |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 — (СВ) |

| M 2.81 367 3.75 156 3.75 156 2.81 367 |

| 2 — (Вес двиг.) |

| M 1.33 875 2.6775 2.6775 1.33 875 |

| 3 — 1 (гарм-1) |

| M .864 582 1.72 916 1.72 916 .864 582 |

| 3 — 2 |

| M -.118 689 -.237 378 -.237 378 -.118 689 |

| 3 — S1 |

| M .872 691 1.74 538 1.74 538 .872 691 |

————————————————————————————————————————————-;

Контроль результатов расчетов на ПК с использованием известных формул для систем с одной степенью свободы

1. Определяем собственную частоту системы с одной степенью свободы

1/с.

Здесь — вес массы, сосредоточенной в узле 2.

2. Вычисляем динамический коэффициент для двух вариантов решения задачи об установившихся колебаниях балки.

Вариант 1 :

Вариант 2 :

3. Вычисляем амплитуды искомых величин.

Амплитуда установившихся колебаний :

Величина здесь получена пересчетом по прогибу, подсчитанному выше от действия силы веса двигателя .

Амплитуда суммарной силы для варианта 1: тс.

Амплитуда изгибающего момента в среднем сечении балки для этого же варианта расчета:

4. Определяем суммарные значения искомых величин в среднем сечении балки с учетом знакопеременности динамических амплитуд, относящиеся к нижней и верхней сторонам балки:

Полученные данные показывают, что в результате установившихся колебаний в балке максимальный во времени прогиб и изгибающий момент не изменяют знак, т. е. растянутой всегда будет нижняя сторона балки.

Как видим результаты расчетов вручную и с помощью ПК практически совпадают.

Эпюры изгибающих моментов при рассмотренных загружениях 1,2,3 соответственно изображены на рис. 3, а-3,г. В третьем (динамическом) загружении получаются две эпюры (рис. 3, в, г). Они соответствуют разложению суммарной нагрузки на колебания по синусу и косинусу. На рис. 3, д изображена эпюра расчетных изгибающих моментов при динамическом загружении, полученная по формуле для .

Если предположить, что возмущающая частота совпала с собственной частотой системы (), то коэффициент динамичности, амплитуда перемещений и амплитуда максимального изгибающего момента при резонансе получились бы соответственно равными:

Тогда соответствующие суммарные величины для прогиба и изгибающего момента в среднем сечении балки получились бы равными:

Полученные результаты показывают, что в результате установившихся колебаний в балке попеременно (с периодом) в среднем сечении максимальный во времени прогиб и максимальный изгибающий момент изменяют значения и знак, т. е. растянутыми будут то нижняя (знак +), то верхняя (знак ?), стороны балки.

Примерный вид эпюр изгибающих моментов в балке при установившихся колебаниях с коэффициентов динамичности показан точечными линиями на рисунке 3, е.

Рис. 3

2 Выполнение задания при использовании для динамического расчета балки системы с несколькими степенями свободы

2.1 Расчет на ПК с использованием программы SCAD

В варианте 1.1. задания 1 было рассмотрено решение задачи об определении максимального прогиба железобетонной балки с электродвигателем, расположенным по ее длине. Расчет выполнялся от двух статических и одного динамического загружений по расчетной схеме балки в виде системы с одной степенью свободы.

Рассмотрим решение этой же задачи с использованием расчетной схемы МКЭ, когда балка по длине пролета разделена на 4 равных конечных элемента типа 2. В этом случае при загружении узла 3 динамической нагрузкой получим расчетную схему в виде системы с тремя степенями свободы, которая может быть представлена в виде, приведенном на рис. 4.

Рис. 4

Результаты расчета:

————————————————————————————————————————————-;

| Р, А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е В Е С О В М, А С С |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 2 3 4 5 |

————————————————————————————————————————————-;

| 3 — (гарм-3) |

| Z 1.067 2.597 1.067 |

————————————————————————————————————————————-;

—————————————————————————————————————————-|

|Загpу: N: COБCTB.: Ч A C T O T Ы: ПEPИOДЫ |

|: П/П: :——————————————-:——————— -|

|жение:: ЗHAЧEHИЯ: 1/C: ГЦ: C |

————————————————————————————————————

| 3 1 .9 285 107.7001 17.1497 .5 831 |

| 2 .17 818 561.2033 89.36 359 .111 902 |

| 3 .12 916 774.1783 123.2768 .81 118 |

———————————————————————————————————-;

1-ая СФК

2-ая СФК

3-я СФК

————————————————————————————————————————————-;

| И Н Е Р Ц И О Н Н Ы Е Н, А Г Р У З К И |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 2 3 4 5 |

————————————————————————————————————————————-;

| 3 — 1 (гарм-3) |

| Z .0665 .8888 .0665 |

| 3 — 2 |

| Z -.0152 -.1125 -.0152 |

————————————————————————————————————————————-;

————————————————————————————————————————————-;

| П Е Р Е М Е Щ Е Н И Я У З Л О В |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 2 3 4 5 |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 — (СВ) |

| Z -.445 676 -.62 551 -.445 676 |

| 2 — (Вес двиг.) |

| Z -.245 535 -.357 142 -.245 535 |

| 3 — 1 (гарм-3) |

| Z -.158 161 -.228 817 -.158 161 |

| 3 — 2 |

| Z .21 624 .3 117 .21 624 |

————————————————————————————————————————————-;

————————————————————————————————————————————-;

| У С И Л И Я /НАПРЯЖЕНИЯ/ В ЭЛЕМЕНТАХ |

————————————————————————————————————————————-;

| 2_ 1−1 1−2 2−1 2−2 3−1 3−2 4−1 4−2 |

| 1 1 2 2 3 3 4 4 |

| 2 2 3 3 4 4 5 5 |

————————————————————————————————————————————-;

| 1 — (СВ) |

| M 2.81 367 2.81 367 3.75 156 3.75 156 2.81 367 2.81 367 |

| 2 — (Вес двиг.) |

| M 1.33 875 1.33 875 2.6775 2.6775 1.33 875 1.33 875 |

| 3 — 1 (гарм-3) |

| M .894 092 .894 092 1.6718 1.6718 .894 092 .894 092 |

| 3 — 2 |

| M -.125 189 -.125 189 -.223 664 -.223 664 -.125 189 -.125 189 |

| 3 — S1 |

| M .902 814 .902 814 1.6867 1.6867 .902 814 .902 814 |

————————————————————————————————————————————-;

Рис. 5

Расчет вручную. Исходными данными для расчета вручную считаем определенные в результате модального анализа СЧ и СФК для рассматриваемой балки как системы с тремя степенями свободы.

1. Вычисление векторов инерционных сил в СФК

Вычисление для первой СФК (i=1)

Вычисление для первой СФК (i=3)

Результаты расчета сведем в таблицу 1.

Таблица 1

2. Выполнение контроля разложения вектора по СФК

В данном случае проверка выполняется.

3. Вычисление перемещений и усилий в СФК в любом сечении балки

Вектору инерциональных нагрузок соответствует вектор прогибов балки и усилия в любом сечении. Для сокращения ручных вычислений ограничимся вычеслением прогиба и изгибающего момента только в среднем сечении балки. Результаты расчета сведем в таблицу 2.

Таблица 2

4. Сопоставление суммарного вектора инерционных нагрузок по всем СФК

Этот вектор во всех СФК (при) определяется при синусе равном 1.

тс.

В приведенной таблице результатов расчета инерционных сил в программе SCAD приводятся не векторы СФК, а векторы и. Тогда расчетный вектор вычислим по формуле:

тс.

Как видим, результаты практически совпали.

5. Вычисление расчетного изгибающего момента в среднем сечении балки

Суммирование амплитудных значений изгибающего момента, вычисленных в среднем сечении балки для всех трех СФК выполняется по формуле:

тс*м В программе SCAD:

тс*м Расчеты, выполненные в программе SCAD и вручную практически совпадают.

Сопоставления результатов расчета по двум расчетным схемам

Сопоставление результатов расчета рассматриваемой балки по определению её максимального прогиба и максимального изгибающего момента по рассмотренным 2 расчетным схемам показывает, что даже использование для динамического расчета расчетной схемы с одной степенью свободы дает удовлетворительные результаты.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Константинов И. А., Лалина И. И. Строительная механика. Расчет стержневых систем. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2005. 155 с.

2. Константинов И. А. Строительная механика. Использование программы SCAD для расчета стержневых систем. Ч. I: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 81с.

3. Константинов И. А., Лалина И. И. Строительная механика. Использование программы SCAD для расчета стержневых систем. Ч.2: Учеб. пособие. СПб.:Изд-во Политехн. унта, 2005. 82с.

4. Лалин В. В., Константинов И. А., Лалина И. И. Динамика сооружений. Использование программы SCAD для решения задач динамики сооружений. Ч.1: Сайт каф. ЭиПГС, ФОДО,

2005. 92с.