Определение реакции опор стальной балки

Задание 1. Используя схему и числовые данные определить равнодействующую системы сил Дано:

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил.

Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси. Складываем проекции всех векторов на оси х и у. Проведем необходимые построения и вычислим равнодействующую аналитически.

Пользуясь формулами получаем:

Спроецируем это векторное равенство на оси прямоугольных координат и найдем проекции равнодействующей:

Следовательно, проекции равнодействующей равны:

Отсюда находим

H

Для определения угла a между равнодействующей и осью х имеем:

cosб = = 0.999

sinб = = 0.04

Так как и косинус, и синус этого угла положительны, то угол лежит в первой четверти. Находим б= 2,6°.

Задание 2

Для заданной стальной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать из условий прочности необходимый размер двух двутавров, приняв для стали [] = 160 МПа;

Дано :

F₁ = 20 кH;

F₂ = 1 кH;

M = 2 кH*м;

Решение:

Количество узлов: 4

Длины участков:

L1 = 1 (м)

L2 = 2 (м)

L3 = 3 (м) Опоры:

Точка A —

Сосредоточенные силы:

Pb = -20 (кН)

Pc = 1 (кН) Изгибающие моменты:

Md = 2 (кН*м) Распределенные нагрузки:

Ma = 15

R_a = 19 (кН)

M_max = 15 (кН*м)

M_max = 15 (кН*м)

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

2. На балку наложена связь в точке A (слева) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (RA, HA, MA). 3. Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки:

УF_x = 0, УF_y = 0, УM_A = 0.

УF_x = 0: H_A = 0

УF_y = 0: R_A — P₁ + P₂ = 0;

УM_A = 0: M_A — 1*P₁ + 3*P₂ + M₁ = 0;

4. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

H_A = 0 (кН)

R_A = P₁ — P₂ = 20 — 1 = 19.00 (кН)

M_A = 1*P₁ — 3*P₂ — M₁ = 1*20 — 3*1 — 2 = 15.00 (кН*м)

5. Сделаем проверку, составив дополнительное моментное уравнение относительно свободного конца балки:

равнодействующий напряжение сечение балка

— 6*R_A + M_A + 5*P₁ — 3*P₂ + M₁ = - 6*19.00 + 15.00 + 5*20 — 3*1 + 2.00 = 0

Эпюры Принимаем расположение двутавра:

Оптимальный номер двутавра по ГОСТу 8239−89 (по условию прочности на изгиб при пределе прочности 160 МПа): № 16

Параметры двутавра по ГОСТ 8239–89:

W_x = 109 см³

W_y = 14,5 см³

I_x = 873 см⁴

I_y = 58,6 см⁴

Задание 3

Защемленный в стене двухступенчатый брус нагружен осевыми силами. Массой бруса пренебречь.

а) Определить нормальные силы и напряжения в поперечных сечениях по всей длине бруса;

б) Построить эпюры нормальных сил и напряжений по длине бруса;

в) Определить перемещение свободного конца бруса, если Е = 2· 10⁵ МПа.

ДАНО: F₁ = 14 кН; F₂ = 16 кН; F₃ = 10 кН; А₁ 2,1 см²; А₂ = 1,9 см²;

Основные размеры заданы на исходном чертеже НАЙТИ: Ni; уi; ?l.

Решение:

1. Разбиваем брус на участки: АВ; BC; СD

2. Определяем значения нормальной силы N на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I,

N₁ = F₁ = 14 кН;

Участок ВС, сечение II-II,

N₂ = F₁+ F₂ = 14+16= 30 кН;

Участок СD, сечение III-III,

N₃ = F₁+ F₂ — F₃ = 14+16−10= 20 кН.

Строим эпюру нормальных сил.

3. Вычисляем значения нормальных напряжений на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I,

у₁=N₁/А₁= = 66.7 Н/мм2;

у₁=66.7 МПа;

Участок ВС, сечение II-II,

у₂=N₂/А₂= = 157.9 Н/мм2;

у₂=157.9 МПа;

Участок CD, сечение III-III,

у₃=N₃/А₂ = = 105.3 Н/мм2;

у₃=105.3 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений.

4. Определяем продольную деформацию бруса:

Участок АВ, ,

?l₁ = N₁· l₁/А₁·E = 14· 10³·0,5·10³/2.1·10²· 2· 10⁵ = 0.16 мм ;

?l₁ = 0,16 мм;

Участок ВB₁,

?l₂ = N₂· l₂/А₁·E = 30· 10³·0,3·10³/2.1·10²· 2· 10⁵ =0.2 мм;

?l₂ = 0.2 мм Участок В₁ C,

?l₂ = N₂· l₂/А₁·E = 30· 10³·0,5·10³/1,9·10²· 2· 10⁵ =0,38 мм;

?l₂ = 0,38 мм Участок CD, сечение III-III,

?l₃ = N₃· l₃/А₂·E = 20· 10³·0,4·10³/1,9·10²· 2· 10⁵ = 0,21 мм;

?l₃ = 0,21 мм;

?l =?l₁+?l₂ + ?l₃ + ?l₄ = 0,16 + 0,2 + 0,38 + 0,21 = 0,95 мм.

Ответ: ?l =0,95 мм. Стержень растянут.

Задание 4

Для стального вала постоянного поперечного сечения

1. Определить значение моментов М₁, М_2, М₃, М₄;

2. Построить эпюру крутящих моментов;

3. Определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, приняв поперечное сечение вала — круг Дано:

Р₁ = 50 кВт Р₃ = 15 кВт Р₄ = 25 кВт

w = 18 рад/сек

w = n = = 30*18/3.14 = 172 об/мин Считать [ф_к] = 30МПа

[ц₀] =0,02 рад/м — угол закручивания

G = 8*10⁴ Мпа Решение

Определяем внешние моменты:

М₁ = 9550 = 9550 = 2776 Hм = 2,8 кНм;

М ₃ = 9550 = 9550 = 832,8 Hм = 0,83 кНм;

М₄ = 9550 = 9550 = 1388 Hм = 1,4 кНм;

Запишем уравнение статики:

УМ = М₁ + М₃ — М₂ + М₄ = 0

И из него найдем величину момента М₂:

М₂ = М₃ + М₁ + М₄ = 832,8 +2776 +1388 = 4996,8 Hм = 5 кНм;

Прежде всего строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов по участкам следующие:

Т₁ = -М₁ = -2,8кНм;

Т₂ = -М₁ — М₃ = -2,8 — 0,83 = - 3,63 кНм;

Т₃ = -М₁ — М₃ + М₂ = -3,63 + 5 = 1,37 кНм.

Строим эпюры:

Вал разбивается на три участка I, II, III.

Находим полярный момент сопротивления вала, требуемый по условию прочности:

W_p = = = 121 10^-6 м³ = 121 см³

Диаметр сплошного вала определяем с помощью формулы:

W_p 0.2d_c³ = 121 cм³,

откуда

d_c³ = = 8.46 см 9 см = 90 мм.

Затем рассчитываются диаметры по участкам вала из условия жесткости, т. е. с использованием формулы

d_жест =

d_жест1 = = 0,1 м = 100 мм

d_жест2 = = 0,1068 м = 107 мм

d_жест1 = = 0,0837 м = 84 мм В качестве окончательных следует выбрать наибольшие значения диаметров, рассчитанные из условия жесткости. Таким образом, окончательный размер диаметра вала таков: d₁ = 107 мм.

Из стандартного ряда: d₁ = 120 мм Задание 5

На вал жестко насажены шкив и колесо,

Определить силы F₂ .F_2r = 0.4 F₁ если значение силы F₁ задано Дано:

F₁ = 280 Н Решение

Представим физическую систему:

Задачу решаем в следующей последовательности:

1. изображаем на рисунке тело, равновесие которого рассматривается, с действующими на него активными и реактивными силами и выбираем систему осей координат;

2. из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось, определяем значения сил F₂, F_r2;

3. составляем шесть уравнений равновесия;

4. решаем уравнения и определяем реакции опор;

5. проверяем правильность решения задачи.

1. Изображаем вал со всеми действующими на него силами, а также оси координат

Рассмотрим систему сил, действующую в системе Определяем составляющие нагрузки со стороны шкива Р₁ = (2F₁ + F₁) = 3 F₁ = 3*280 = 840 Н = 0.84 кН

2. Определяем F₂ и F_r2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось:

F₁ — F₂ = 0

F₂ = = = 507.5 H

F_r2 = 0.4F₂ = 0.4*507.5 = 203 H

3. Составляем шесть уравнений равновесия:

УY = -Р₁ — F₂ + A_y + B_y = 0 (1)

УX = -F_2r + A_х + B_х = 0 (2)

УМ_yС = -Р₁ * 32 + А_у* 20 — В_у * 10 = 0 (3)

УМ_yВ = - Р₁ * 42 + А_у* 30 — F₂ * 10 = 0 (4)

УМ_xC = А_x* 20 — В_x * 10 = 0 (5)

УМ_хВ = А_x* 30 + F_2r * 10 = 0 (6)

Рассмотрим уравнения (3) и (4)

— 840 * 32 + А_у* 20 — В_у * 10 = 0

— 840 * 42 + А_у* 30 — 507,5 *10 = 0

Из последнего уравнения:

А_у = 40 355/30 = 1345 Н Из первого уравнения:

— 26 880 + 26 900 = 10*В_у? В_у = 20/10 = 2 Н Рассмотрим уравнения (5) и (6)

А_x* 20 — В_x * 10 = 0

А_x* 30 + 203* 10 = 0

Из последнего уравнения А_х= 2030/30 = 67,7 Н Из первого уравнения: 1353,3 = 10*В_у? В_у = 1353/10 = 135,3 Н Проверку произведем по уравнениям (1) и (2):

УY = -840 — 507,5 + 1345 + 2 = 0

УX = -203 + 67,7 + 135,3 = 0

Расчеты произведены верно. Окончательно реакции опор, А и В:

А = = = 1346,7 Н В = = = 135,3 Н Ответ: А = 1346,7 Н В = 135,3 Н

F₂ = 507,5 H

F_2r = 203 H