1.1 Актуальность проблемы.
Одним из важнейших направлений современной радиофизики является исследование статистических характеристик случайных процессов в нелинейных инерционных системах. В этой области активно ведутся как теоретические, так и экспериментальные исследования. Актуальность подобных исследований обусловлена важностью большого числа приложений, возникающих в многочисленных разделах науки и техники.
В качество простого примера нелинейной инерционной системы можно рассмотреть обычный детектор, простейшие схемы которого приведены на рис. 1. Напряжение на выходе данных систем х подчиняется дифференциальным уравнениям первого порядка (см., напр., [1]), а именно, для схемы рис. 1, а: х х 1,. — Р {и — х), и для схемы рис. 1, б:
Ах.
Й В. С С яс и (!) здесь .Р (х) — нелинейная функция вольтамперной характеристики доода, и — входное напряжение. Связь между входной и и выходной х переменными является не только нелинейной, но и инерционной. я с? «(О Г X х (г) а).
Рис. 1: Простейшие схемы детектора.
Представление любой сложной системы зависит от правильного зачета информационного обмена между ее компонентами. Практически во всех естественных и искусственных системах информация о сигнале смешивается с шумом. Традиционно считается, что воздействие шумов затрудняет обнаружение сигналов, так как, с точки зрения классической радиотехники, наличие флуктуаций в системе может только ухудшать ее характеристики (см., напр., [1]). Широко известны проблемы, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов [2], [3], [4]. В силу дискретности строения материи флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы [5].
Более того, задача о влиянии шумов на поведение реальных электронных систем с каждым годом становится все актуальнее. Например, плотность размещения транзисторов на кристаллах микросхем в полном соответствии с законом Мура удваивается каждые 24 месяца. Одновременно с увеличением числа транзисторов снижается их напряжение питания, становясь сравнимым с уровнем шума. Таким образом, шумы оказывают все большее влияние на работу микросхем.
С другой стороны, в последние десятилетия в литературе большое внимание стало уделяться флуктуационным явлениям в нелинейных системах, которые невозможно объяснить на основе классической теории, где шум является мало возмущающим фактором, приводящим лишь к отклонениям от среднего. Множество накопившихся экспериментальных фактов указывает на наличие достаточно большого количества неравновесных систем, где источники шума могут не только мешать работе нелинейных устройств, но и, наоборот, играть конструктивную роль, например: существенно увеличивать чувствительность систем, увеличивать упорядоченность в системах и вызывать возникновение более регулярных структур [6], [7], подавлять внутренние шумы с помощью внешнего шумового сигнала [8], синхронизировать фазу в системах с несколькими степенями свободы [9], синхронизировать хаотические колебания [10], [11] и хаотизировать периодические колебания [12], [13]. Шум может индуцировать некоторые режимы, которые в отсутствии флуктуаций принципиально нереализуемы. В частности, индуцированный шумом хаос представляет собой явление, при котором шум является причиной возникновения хаотического аттрактора, когда динамически связываются два инвариантных состояния: периодический аттрактор и неустойчивое шумовое состояние (см., напр., [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21]). Изменение уровня шума может значительно изменять (в том числе минимизировать и максимизировать) выходные характеристики нелинейной системы, на вход которой поступает слабый сигнал (см., напр., [5], [22], [23], [24], [25]). Шум может вызывать и оптимизировать временную регулярность динамической системы, невзирая на присутствие других внешних сил, так называемый когерентный резонанс (см., напр., [26]).
Также при определенных параметрах шум может выступать в роли переносчика информации [27], [30], [28], [29]. Существенна роль флуктуаций в процессах детектирования, кодирования, а также дальнейшей передачи информации по нейронным сетям (см. обзор [31]). Известно, что при квантовании амплитуды аналогового сигнала неизбежны искажения и потеря информации о форме сигнала. Для уменьшения искажений и восстановления формы сигнала еще с 1950;х годов перед квантованием к аналоговому сигналу подмешивали шум малой величины. Данный технологический прием получил название «размывание» или подмешивание псевдослучайного шума [32].
Одним из наиболее ярких примеров, иллюстрирующих конструктивную роль шума в нелинейных системах, является стохастический резонанс. Стохастический резонанс — это кооперативный эффект в нелинейных системах, при котором энергия шума, распределенная по широкому спектру, перекачивается в выходную энергию на частоте входного сигнала [33]. Эффект стохастического резонанса определяет группу явлений, в которых отклик нелинейной системы на слабый внешний периодический сигнал (обычно в бистабильной системе) может быть усилен аддитивным внешним шумом определенной оптимальной интенсивности [34]. То есть стохастический резонанс предоставляет возможность усиливать за счет шума, сигналы с амплитудой существенно меньшей его интенсивности [33]. При этом интегральные характеристики на выходе системы имеют отчетливо выраженные максимумы при некотором оптимальном («резонансном») уровне шума [5].
Термин «стохастический резонанс» впервые был введен группой итальянских ученых в работах [22], [23], [24], [35] в 1981;1982 гг. при описании периодичности глобальных оледенений на Земле на основе модели бистабильного осциллятора [5]. Качественно исследовалось явление смены эпох оледенения, используя уравнение для температуры поверхности Земли, которое имеет вид сверхвязкого движения легкой частицы в симметричном бистабильном потенциале под действием слабой внешней периодической силы. Устойчивые положения потенциала соответствовали ледниковому и нормальному периодам. Колебаниям эксцентриситета Земной орбиты соответствовала периодическая сила. Реальная амплитуда периодической силы не в состоянии обеспечить переход из одного устойчивого состояния системы в другое. Подобные переходы стали возможными только после введения в модель случайной силы. Таким образом, именно наличие шума обеспечивает смену устойчивых состояний в данной модели.
Впервые экспериментальное наблюдение явления стохастического резонанса имело место в бистабильной электронной цепи (триггер Шмитта) [36] и двунаправленном кольцевом лазере [37]. Триггер Шмитта может быть реализован на основе операционного усилителя (см., напр., [31]) (рис. 2). В работе [36] установлено, что имеет место эффект захвата частоты, то есть внешний периодический сигнал в определенном диапазоне интенсивностей шума синтезирует стохастическую динамику процесса. Впервые попытка теоретического описания эффекта через приближенные уравнения для населенностей устойчивых состояний предпринята в работе [37]. Для описания явления было использовано отношение сигнал-шум на выходе системы. Как показали измерения, шум на входе может привести к заметному увеличению отношения сигнал-шум на выходе, а зависимость этого отношения как функция интенсивности входного шума имеет ярко выраженный максимум. Следовательно, в системе существует оптимальный уровень шума, при котором периодическая компонента сигнала усиливается максимально.
Рис. 2: Электрическая схема трип ера Шмитта на основе 0пераци0нн01 о усилителя.
Как говорилось выше, добавление шума при квантовании амплитуды аналогового сигнала позволяет уменьшить ошибки квантования. При.
15]. ж г I определенном уровне шума данная ошибка становится минимальна, а, следовательно, аналого-цифровое преобразование наилучшее, то есть наблюдается явление, похожее на эффект стохастического резонанса, которое фактически впервые описано в работах [38], [39] и используется по сей день.
В работах [40], [41], [42] теоретически и экспериментально рассмотрена модель однобитного запоминающего элемента, созданного с использованием явления стохастического резонанса. Схема состоит из кольца двух идентичных сверхвязких бистабильных осцилляторов (два объединенных в кольцо триггера Шмитта) (рис. 3). Показано, что существует оптимальный уровень шума, эффективность работы данной системы при котором максимальна, то есть наблюдается эффект стохастического резонанса.
1 т т г и (г) ->
ТШ ТШ х{г).
Рис. 3: Структурная схема однобитного элемента памяти, выполненного на основе кольца двух идентичных триггеров Шмитта (ТШ).
За прошедшие 30 лет с момента открытия данного явления количество работ по проблеме стохастического резонанса достигло большого числа и продолжает с каждым годом увеличиваться весьма быстрыми темпами (в настоящее время более 4000 журнальных статей) [33]. По проблеме стохастического резонанса кроме международных конференций и рабочих совещаний изданы монографии [43], [44], [45], специальные выпуски научных журналов и опубликованы обзорные статьи [5], [31], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [52]. Состоялись международные форумы, целиком посвященные данному явлению в г. Сан-Диего (США, 1992 г.), в г. Эльба (Италия, 1994 г.), в г. Дрезден (Германия, 2004 г.), в г. Перуджа (Италия, 2008 г.) (см. обзор [33]). Неослабевающий интерес объясняется существенным расширением области приложения эффекта, а также одновременным возникновением множества разновидностей явления, таких как двойной стохастический резонанс, когерентный стохастический резонанс, апериодический стохастический резонанс, адаптивный стохастический резонанс, стохастический резонанс, возникающий при изменении размеров системы и др.
Характеристики стохастического резонанса как качественные, так и количественные во многом определяются свойствами конкретных нелинейных систем. К настоящему времени явление стохастического резонанса обнаружено и исследовано во многих бистабильных динамических системах [22], [53]: в лазерах [37], [54], в электронных системах [36], [55], [56], в магнитных системах [57], в системах магнитных субмикронных частиц [58], в пассивных оптических бистабильных системах [59], в системах с электронным парамагнитным резонансом [25], в экспериментах с броуновскими частицами [60], в экспериментах с магнитно-упругой лентой [61], в туннельном диоде [55], в сверхпроводящих квантовых интерферометрах [62], в ферромагнетиках и сегнетоэлектриках [63], [64], [65] в Джозефсоновских переходах [66], в связи и обработке сигналов [67], [68], [69], [70], [71], [72], в теории информации [73], [74] и др.
Эффект стохастического резонанса наблюдается также в биологии (см. обзор [52], [75]), медицине [76], [77], химии [78], [79], [80], социологии [81], [82], [83]. В частности, это явление было обнаружено в моделях одиночных нейронов [49], [84], [85], [86], [87], [88], [89] и нейронных сетях (см. обзор [90]). Кроме этого стохастический резонанс наблюдается в человеческом восприятии [91] и случайно-связанных потенциалах мозга [92], [93].
Среди актуальных систем встречается много моностабильных, описывающих физические, химические, электронные и биологические системы [51], [58], [94], [95], [96], [97], [98], [99], [100], [101]. Кроме бистабильных и моностабильных динамических систем, стохастический резонанс был обнаружен и исследован в нединамических или, так называемых, пороговых системах [27], [38], [39], [102], [103], [104], [105], [106], [107]. Пространственно-временной стохастический резонанс в легковозбудимой среде имеет множество применений в биологии и медицине [31]. Эффект стохастического резонанса наблюдался в пространственно-распределенных системах под общим названием пространственно-временной стохастический резонанс [105], [108], например, в цепях диффузионно связанных стохастических бистабильных осцилляторов [109], [НО], решетках связанных изображений [111], системах с солитонами [112], [113], [114], реакционно-диффузионные моделях [115] и др.
Характеристики и свойства стохастического резонанса зависят не только от параметров нелинейной системы, но и от структуры сигналов, воздействующих на данную систему. Причем это относится как к входному сигналу, так и к шуму [5]. Входной сигнал может быть гармоническим или многочастотным, а может представлять собой узкополосный случайный процесс [116] или сигнал с более сложным спектральным составом, то есть гармонический шум [117]. Шум по своим статистическим свойствам может быть близким к белому, а может иметь конечное время корреляции и ограниченный спектр [118]. В зависимости от свойств сигнала, шума и конкретных параметров нелинейных систем эффект стохастического резонанса будет характеризоваться специфическими свойствами.
Эффект, аналогичный стохастическому резонансу, можно наблюдать в хаотических системах переключательного типа без добавления внешнего шума, где роль шума играет собственная хаотическая динамика, так называемый эффект детерминированного стохастического резонанса в системах с кризисом аттракторов [119].
Рис. 4: Симметричный бистабильный потенциальный профиль.
Происхождение стохастического резонанса во всех этих, на первый взгляд, совершенно различных системах основано на том факте, что периодическая сила модулирует вероятности флуктуационных переходов между сосуществующими устойчивыми состояниями [34]. Другими словами, это является причиной сравнительно сильной модуляции координаты системы с амплитудой, пропорциональной расстоянию между устойчивыми состояниями. Следовательно, вероятность переходов резко увеличивается в зависимости от интенсивности шума.
По мнению некоторых исследователей (см., напр., [5], [31], [120]), суть явления стохастического резонанса состоит в наличии двух характерных временных масштабов. Первый масштаб обусловлен случайными блужданиями частицы и характеризует средний период (частоту) переключений самой бистабилыюй системы. Второй определяется внешним периодом (частотой) периодического сигнала.
Амплитуда периодического воздействия предполагается малой настолько, что исключает переходы через барьер в отсутствии шума. Первому временному масштабу отвечает среднее время (или частота) выхода из метастабильного состояния — время Крамерса [121], [122]. Для случая белого шума, параболических потенциальных ям и относительно высоких потенциальных барьеров время Крамерса выражается (см., напр., [5]): где-то — время релаксации к квазистационарному распределению внутри потенциальной ямы, ДФ — высота потенциального барьера (рис. 4), gинтенсивность воздействующего белого шума.
Присутствие периодической силы A cos (cot) приводит к периодической модуляции как потенциальных ям, так и высоты потенциального барьера. Второму временному масштабу соответствует период (или частота) модуляции внешней силы:
Если предположить, что потенциальный барьер ДФ, амплитуда, А и частота со модуляции фиксированы, то время Крамерса зависит лишь от интенсивности входного шума д. При малой интенсивности шума время перехода чрезвычайно велико и намного превышает период модуляции Т. При высоком уровне шума за время одного периода сигнала система с высокой степенью вероятности совершит многократные переключения. Изменяя интенсивность шума, можно обеспечить режим, когда среднее время переходов через барьер близко к периоду модуляции. Переключения системы будут происходить в среднем в фазе с внешней периодической силой. Таким образом, варьируя интенсивность шума, можно настроить стохастическую.
Т =.
2 7 Г бистабильную систему в режим максимального усиления сигнала модуляции и отношения сигнал-шум [5]:
Т = 2тк (дор1). (1).
Теоретические и экспериментальные исследования бистабильных систем подтверждают, что условие 1 выполняется приближенно.
С другой стороны, существует ряд работ, ставящих под сомнение выводы вышеописанной феноменологической теории равенства временных масштабов и вообще данного объяснения стохастического резонанса. Например, в [53], [123] утверждается, что нахождение оптимального значения интенсивности шума из равенства среднего времени преодолении барьера в невозмущенном состоянии и периода внешнего воздействия не является верным, так как в этом случае характеристики системы, например, коэффициент усиления по мощности, должны достигать максимального значения не только при вариации интенсивности входного шума (то есть при изменении первого временного масштаба, определяющего локальную динамику), но и при изменении частоты входного воздействия (то есть при изменении второго временного масштаба, определяющего глобальную динамику). Вместе с тем экспериментально установлено (см., напр., [33]), что коэффициент усиления по мощности имеет монотонный характер как функция частоты входного сигнала. В работах [123], [124], [125] было показано, что причиной стохастического резонанса является изменение вследствие шума эффективных параметров системы, а именно, упругости и коэффициента затухания по отношению к реакции на входной сигнал. Однако, в подавляющем большинстве работ по стохастическому резонансу соотношение (1) рассматривается, как основное условие, при котором это явление возникает, а доводы, приведенные в вышеперечисленных работах противников феноменологической теории равенства временных масштабов, не принимаются во внимание.
В настоящее время известно несколько характеристик, которые рассматриваются (вычисляются аналитически, моделируются на компьютере или измеряются в физическом эксперименте) при анализе стохастического резонанса. В данной работе в качестве основных характеристик стохастического резонанса используются коэффициент усиления выходного сигнала по мощности г) и отношение сигнал-шум Я. Энергия сигнала определяется как интеграл от спектральной нлотности мощности в полосе измеряемых частот [126]. Независимо от.
Рис. 5. Спектральная плотность мощности выходного сигнала. характеристик системы и структуры сигналов явлению стохастического резонанса присущи общие фундаментальные свойства, проявляющиеся в увеличении степени порядка в выходном сигнале при оптимальном уровне шума [5]: коэффициент усиления по мощности сигнала и отношение сигнал-шум имеют отчетливо выраженный максимум при некотором оптимальном уровне шума соответствующем равенству (1) (рис. 6, 7).
Рис. 6: Коэффициент усиления по мощности сигнала на выходе системы.
При более детальном анализе явления стохастического резонанса приходится сталкиваться с рядом сложностей принципиального характера [5]. Даже в простейшем варианте отсутствия внешнего гармонического сигнала на сегодняшний день не удается отыскать.
L Р (Я) opt q.
Рис. 7: Отношение сигнал-шум на выходе системы. точные аналитические выражения для плотностей вероятности, следовательно, не удается точно вычислить корреляционную функцию и спектральную плотность мощности. При добавлении в систему внешнего периодического сигнала появляются дополнительные сложности из-за возникающей неоднородности соответствующих случайных процессов во времени. При рассмотрении периодической внешней силы A cos (cut) выходной сигнал будет включать периодическую компоненту, то есть в спектре мощности выходного сигнала регистрируются 8-пики на частоте модуляции и ее нечетных гармониках (в случае симметричного потенциала) (рис. 5).
Сложности первой группы не связаны непосредственно с эффектом стохастического резонанса и подробно рассматривались в теории случайных процессов (см., напр., [2], [127], [128]). Бурное развитие исследований в области стохастического резонанса выявило сложности второй группы и послужило причиной создания общей теории стохастических диффузионных процессов с периодически меняющимися коэффициентами сноса и диффузии [5], [50], [129], [130]. Тем не менее, аналитические выражения для характеристик стохастического резонанса удается получить лишь при использовании некоторых аппроксимаций. В качестве основного метода можно назвать приближение малого входного сигртала, когда отклик на него можно считать линейным. Кроме этого используются приближения, накладывающие ограничения на частоту сигнала. Таким образом наиболее широко применяемыми являются две приближенные теории: теория двух состояний (адиабатическое приближение) [126] и теория линейного отклика [131], [132], обсуждавшаяся применительно к стохастическому резонансу в работах [31], [34], [50] [51], [130], [133].
1.2 Описание системы.
Рассмотрим общий вид нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, связывающего выходной х (£) и входной и (Ь) процессы в нелинейных инерционных системах (рис. 8):
Входной процесс u (t) может представлять собой некоторую совокупность сигнала s (t) и шума ?(/). Сложность решения подобных уравнений с произвольной функцией f[x, u, t] заключается в отсутствии регулярных количественных методов. На практике чаще всего каждое конкретное уравнение приходится решать индивидуальным способом.
Данная работа посвящена анализу нелинейных инерционных систем, на вход которых поступает аддитивная смесь детерминированного сигнала s (t) и шума ?(?).
Поведение исследуемых систем описывается уравнением Ланжевена: где и — коэффициент, характеризующий инерционность системы (вязкость), который далее, не уменьшая общности, будем считать равным единице (и — 1), ?(?) — белый Гауссовский шум с нулевым средним и интенсивностью 2дг, Р (х) — произвольная нелинейная функция, характеризующая систему, и х{Ь) — сигнал на выходе.
2) и (г) = aft) + i (i).
F (?)+Ф)+т.
3).
Рис. 8: Нелинейная инерционная система.
Модель (3) возникает при описании множества различных процессов: в статистической радиофизике [2], [3], [4], в лазерной физике [37], [54], радиотехнике [1], при обработке и преобразовании сигналов ?134], в физике диэлектриков, фазовых переходов [127], в джозефсоновских переходах [66] и т. д. Кроме того, данная модель широко используется в химии [78] и биофизике. В частности, в работе [31] приведен пример электрической схемы, позволяющей реализовать электронные симуляции уравнения (3) для случая Р (х) = ах — Ьх3. Для решения данной задачи применен операционный усилитель, на основе которого составлены основные узлы электрической схемы: интегратор Миллера (рис. 9), суммирующий усилитель (рис. 10).
Рис. 9: Интегратор Миллера. и, и, и.
Рис. 10: Суммирующий усилитель.
Входной сигнал и нелинейную функцию Р{х) можно представить в виде производной от некоторой потенциальной функции тогда уравнение (3) можно переписать в следующем виде:
1х ди (х, г) дх в этом случае x (t) может быть интерпретирована как координата броуновской частицы, диффундирующей под действием шума в сверхвязкой среде (когда массой частицы можно пренебречь) в потенциальном поле сил:
U (x, t) = Ф (х) — х s (t), (5) где Ф (а:) = — / F{pc)dx — фиксированный во времени потенциал, а слагаемое х sit) приводит к изменению формы потенциала Ф (я-) во времени. Будем считать, что Ф (ж) —> оо при х —> ±-оо.
В работе в ходе изучения системы будем использовать такие понятия, как «возмущенная» и «невозмущенная» система. «Невозмущенной» системой назовем систему, на вход которой поступает лишь белый Гауссовский шум ?(i) без сигнала s (t) = 0. На вход «возмущенной» системы кроме белого Гауссова шума ?(t) поступает внешний детерминированный сигнал s (t) ф 0. Для различения в ходе дальнейшего рассмотрения характеристик «возмущенной» и «невозмущенной» систем характеристики последней будем выделять знаком.
Основными задачами данной работы являются нахождение и анализ корреляционной функции и спектральной плотности мощности выходного процесса x (t) отдельно для «возмущенной» и «невозмущенной» систем.
Как известно (см., напр., [135]), уравнению Ланжевена (4) соответствует уравнение Фоккера-Планка для нестационарной плотности вероятности W (x, t): dW (x, t) dt д dU (x, t) + ^ <92 в, ¦-а*", (6).
Рассмотрим так называемые естественные граничные условия:
И'(±оо,?) = 0. (7).
В качестве начальных условий примем:
У (х, 0) = 5(х — .то), (8) то есть в начальный момент времени ^ = 0 система находилась в состоянии х = хо. В этом случае решением уравнения Фоккера-Планка (6) с начальными условиями (8) будет плотность вероятности переходов УУ (хо, 0х, ?) (функция Грина уравнения (6)).
Рассматривается случай, когда в отсутствие сигнала в данной системе (s (t) — 0) с течением времени устанавливается ненулевое стационарное распределение V^jf^ic) 0. Время, необходимое системе для достижения стационарного распределения, называется временем релаксации тг. Стационарное решение уравнения Фоккера-Планка dW^fx) г можно легко получить из условия —= 0:
9) где N — нормировочный множитель. В случае теплового шума, когда его интенсивность пропорциональна температуре q — кТ: распределение (9) является распределением Больцмана.
Установившиеся значения дисперсии Dst и среднего mst могут быть получены из известного стационарного распределения (9) (см., напр., [4]):
00 xVst{x)dx, (10).
Dst = x2Wst (x)dx — m2st. (11).
Согласно классификации, данной в [4], сигналы s (t), x (t) и шум ^(?) принадлежат ко второй группе, то есть имеют бесконечную энергию: оо.
J x2(t)dt -> 00.
00 и конечную мощность:
1 Т р = г^гт J{x2{t))dt < здесь и далее угловые скобки соответствуют усреднению по статистическому ансамблю.
В этом случае нахождение спектральной плотности мощности обычно сводится к Фурье-преобразованию от функции корреляции второго рода, которая определяется как:
1 т.
Кх[т] = Hm — J (x (t)x (t + r))dt, (12) где (x (t)x (t + г)) — функция корреляции процесса x (t)). Учитывая четность функции корреляции второго рода, спектральная плотность мощности сигнала х (£) есть:
1 оо / Кя[т]со&(шт)д.т. (13).
Время корреляции ть для произвольной функции Кх[т) можно определить по правилу равновеликого прямоугольника: (Кх[т] - ^Г,[оо]) Лт 7 (.Кх[т] - тп%) ¿-т 4 = КХЩ — Кх[оо] = ' (14).
Функция корреляции К%[т] и спектральная плотность мощности ¿-¿-(ы) входного шума выглядят следующим образом:
К-[т] = 2д6 (т), (15) I- (16).
7 Г.
В качестве входного сигнала в данной работе будем рассматривать гармонический сигнал: й (г) = АсовЦ^) • (17).
В этом случае, как известно (см., напр., [4]), функция корреляции К3[т] и спектральная плотность мощности ш) входного сигнала:
А2.
ВД = у соз (ы0т), (18).
А2 —(5{и-и-о)+6(и + ш0)). (19).
При наличии на входе системы сигнала ф 0 можно ввести коэффициент усиления по мощности и отношение сигнал-шум для описания усилительных свойств системы. Коэффициент усиления по мощности определяется следующим образом: а2, ,.
V = (20) где а, А — амплитуды выходного и входного сигналов соответственно.
Следуя [44], определим отношение сигнал-шум как отношение величины полной спектральной плотности мощности к величине спектра шума на частоте сигнала о>о:
2 а>о+Дш.
Д = (0) / ЪМсЬ,. Да- —> 0. (21) ч^о) ш0—Аш.
Основная математическая сложность в определении вышеуказанных характеристик заключается в том, что нестационарное решение уравнения Фоккера-Планка (6) в общем случае для подавляющего большинства нелинейных систем, где возникают явления, подобные стохастическому резонансу, неизвестно. Соответственно, невозможно найти точные выражения для функции корреляции, спектра, коэффициента усиления и отношения сигна-шум на выходе системы.
Следует отметить, что все вышеприведенные выражения могут быть одинаково применены при анализе систем, описываемых потенциальными профилями с произвольной высотой потенциального барьера, и, следовательно, могут применяться при анализе даже моностабильных систем.
1.3 Постановка задачи.
Целью настоящей работы является разработка нового приближенного метода для получения основных статистических характеристик (функции корреляции, спектральной плотности мощности, коэффициента усиления, отношения сигнал-шум) на выходе нелинейной инерционной системы, описываемой выражением (3), при произвольной интенсивности входного шума д.
Эффективность метода должна быть проверена и подтверждена путем сопоставления с известными точными выражениями и результатами, полученными путем численного моделирования.
В данной работе предложенный метод должен быть впервые использован для анализа моностабильных нелинейных систем, где потенциальный барьер принципиально отсутствует и другие методы анализа, известные на сегодняшний день, неприменимы или требуют громоздких вычислений.
1.4 Методика исследования. Научная новизна. Научная и практическая значимость.
Достоверность результатов работы подтверждается их непротиворечивостью с известными в литературе: воспроизводимостью результатов при рассмотрении различных математических моделей, в отдельных случаях строгими доказательствами, а также согласованием полученных теоретических оценок с результатами численного моделирования.
Предложен новый приближенный метод расчета спектральной плотности мощности и функции корреляции па выходе нелинейной инерционной динамической системы, возмущаемой белым гауссовским шумом.
Результаты, полученные с помощью нового метода, сравнивались с точными выражениями, полученными для ряда модельных нелинейных функций. Данные сравнения показали хорошее соответствие между точными и приближенными выражениями. В результате был сделан вывод о возможности использования предложенного метода для описания не только качественных, но, во многих случаях, и количественных характеристик поведения нелинейных систем.
К преимуществам данного метода кроме эффективности и простоты применения следует отнести возможность использования его для систем с произвольной высотой потенциального барьера и даже для исследования моностабильных систем.
При помощи нового метода впервые обнаружена возможность существования и проведено систематическое исследование явления стохастического резонанса в моностабильных инерционных нелинейных системах. Механизм данного стохастического резонанса коренным образом отличается от классического, наблюдаемого в бистабильных системах, так как наличие максимума зависимости отношения сигнал-шум не всегда сопровождается наличием максимума коэффициента усиления сигнала на выходе системы по мощности.
Впервые исследована система, для которой функция коэффициента усиления выходного сигнала от интенсивности входного шума имеет минимум, то есть наблюдается явление, обратное стохастическому резонансу, так называемый стохастический антирезонанс, который до этого предполагался лишь на основе качественного анализа.
Впервые показано, что существуют нелинейные моностабильные системы, для которых коэффициент усиления по мощности выходного сигнала, как функция интенсивности входного шума, может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, то есть наблюдается явление стохастического мультирезонанса.
Полученные в работе результаты имеют как теоретическую, так и практическую значимость. Они могут быть использованы при анализе статистических характеристик для широкого круга физических (а также биологических, химических и др.) нелинейных систем, поведение которых описывается на основе модели броуновской диффузии. В частности, предложенный в работе метод может быть применен при анализе явления стохастического резонанса, который обнаружен в огромном количестве самых разнообразных систем во многих областях науки и техники.
1.5 Основные положения, выносимые на защиту.
1. Функция корреляции и спектральная плотность мощности случайного процесса на выходе произвольной нелинейной инерционной системы с белым гауссовским шумом на входе могут быть вычислены с помощью нового приближенного метода. Для использования данного метода необходимо получить точные аналитические выражения для среднего значения, дисперсии и времени корреляции, которые могут быть вычислены из стационарного распределения. Предложенный метод обладает рядом преимуществ по сравнению с существующими на сегодняшний день.
2. Коэффициент усиления сигнала по мощности и отношение сигнал-шум на выходе системы в зависимости от интенсивности входного шума и амплитуды гармонического сигнала на входе могут быть вычислены на основе нового метода, теории линейного отклика и флуктуационно-диссипационной теоремы.
3. В моностабильных нелинейных инерционных системах при преобразовании аддитивной смеси гармонического сигнала и белого гауссовского шума может существовать новый тип явления стохастического резонанса, свойства которого значительно отличаются от известных свойств стохастического резонанса в бистабильных системах.
4. Зависимость коэффициента усиления по мощности в моностабильной нелинейной системе от интенсивности входного шума может иметь как максимум, так и минимум. Кроме этого существуют нелинейные системы, для которых коэффициент усиления выходного сигнала по мощности, как функция интенсивности входного шума, имеет несколько локальных максимумов и минимумов.
5. Впервые обнаружено явление стохастического резонанса в инерционной (сверхвязкой) системе, где условие (1) не выполняется. Кроме того, впервые показано, что максимумы коэффициента усиления и отношения сигнал-шум могут наблюдаться не одновременно, а по отдельности при различных параметрах системы, и при этом ни один набор параметров не следует из условия (1).
1.6 Апробация результатов.
Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 научных публикациях, в том числе 6 статьях [136], [137], [138], [139], [140], [141] и 7 докладах на конференциях: на ежегодных научных конференциях по Радиофизике в ИНГУ [142], [143], [144], [145], [146], на международных конференциях International Workshop «Critical Phenomena and Diffusion in Complex Systems» (Нижний Новгород, 2006) [147] и «Stochastic Resonance 19 983 112 008» (Перуджа, 2008) [148].
1.7 Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 107 страниц и 44 рисунка. Библиография содержит 165 ссылок на литературные источники.
4 Заключение.
В данной работе были рассмотрены выходные характеристики инерционных нелинейных систем, на вход которых поступает аддитивная смесь сигнала и шума. Особое внимание было уделено изучению функции корреляции, спектральной плотности мощности, коэффициенту усиления сигнала и отношению сигнал-шум на выходе системы. Задача решалась на основании точных и приближенных методов.
Предложен новый приближенный метод вычисления функции корреляции и спектральной плотности мощности процесса на выходе нелинейной инерционной системы, на вход которой поступает белый гауссовский шум. Проведено сравнение результатов, полученных на основе нового метода, с точными выражениями Для этого впервые получены и проанализированы лаплас-образы точных решений уравнения Фоккера-Планка для ряда модельных потенциальных профилей. Сравнение показало, что предложенный метод с успехом может применяться для оценки спектральной плотности мощности и функции корреляции и обладает рядом преимуществ: по сравнению с точными методами он требует меньших вычислительных затрат и приводит к более простым аналитическим выражениям, а по сравнению с методом гауссовой аппроксимации точнее описывает поведение системы в области низких частот и может быть использован для более широкого класса систем, например, для мультистабильных, вероятностное распределение которых, в отличие от гауссовского, принципиально должно иметь несколько максимумов, соответствующих локально устойчивым состояниям нелинейной системы.
На основе предложенного метода, теории линейного отклика и флуктуационно-диссипационной теоремы впервые получены и проанализированы характеристики для ряда инерционных нелинейных систем, на вход которых поступает аддитивная смесь сигнала и белого гауссовского шума. Особое внимание уделено изучению следующих выходных характеристик: функции корреляции, спектральной плотности мощности, коэффициенту усиления сигнала по мощности и отношению сигнал-шум на выходе системы в зависимости от интенсивности входного шума.
Обнаружен и проанализирован новый тип явления стохастического резонанса, который наблюдается при преобразовании сигнала и белого гауссовского шума в моностабильных нелинейных системах.
Впервые обнаружено явление стохастического резонанса в инерционной (сверхвязкой) системе, где условие (1) не выполняется. Кроме того, впервые показано, что в отличие от классического стохастического резонанса, наблюдаемого в бистабильных системах с потенциальным барьером, разделяющим метастабильные состояния, наличие максимума отношения сигнал-шум на выходе системы не всегда сопровождается аналогичным максимумом коэффициента усиления сигнала от интенсивности шума на входе.
При помощи нового приближенного и известного точного методов выявлены и проанализированы некоторые другие явления, обусловленные существенной ролью шума в нелинейных системах.
Показано, что зависимость коэффициента усиления сигнала на выходе моностабильной нелинейной системы от интенсивности входного шума может иметь как максимум, так и минимум. Явление, подобное последнему и упоминаемое в литературе как «стохастический антирезонанс», до этого предполагалось существующим лишь на основе качественного анализа.
Впервые показано, что существуют нелинейные системы, для которых коэффициент усиления выходного сигнала, как функция интенсивности входного шума, имеет несколько локальных максимумов и минимумов, то есть возникает «стохастический мультирезонанс» .
Полученные в работе результаты могут быть использованы при анализе статистических характеристик для широкого круга физических (а также биологических, химических) нелинейных систем. В частности, предложенный в работе метод может быть применен при анализе явления стохастического резонанса. Полученные результаты позволяют исследовать не только классическое явление стохастического резонанса, но и стохастический резонанс в моностабильных системах.
