Определение статистических показателей вариации фирм по объему затрат на рекламу

Задание 1.

Условие Имеются следующие данные по фирмам:

Таблица 1

По данным о десяти фирмах построить:

1. Дискретный ряд распределения фирм по объему затрат на рекламу. Определить частоты, частости, кумулятивные частоты и частости. Определить, сколько процентов фирм имеет затраты на рекламу 5 и менее у.е.

2. Равноинтервальный ряд распределения фирм по объему затрат на рекламу из 4-х групп. Для каждой группы и для всей совокупности рассчитать затраты на рекламу, объем товарооборота и прибыли, а также уровень прибыли на единицу товарооборота в %.

Результаты расчетов представить в аналитической таблице.

Изобразить дискретный и интервальный ряды распределения графически.

Сделать выводы.

3. На основе построенного равноинтервального ряда распределения рассчитать:

* показатели центра распределения — среднюю, моду, медиану;

* основные показатели вариации — размах вариации, среднее линейное, среднее квадратическое отклонения, коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса.

Сделать выводы.

Решение Для удобства преобразуем первичный ряд в ранжированный: 1, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9.

Таблица 2

1. Чтобы показать распределение фирм по объему затрат на рекламу, построим дискретный вариационный ряд, для чего выпишем все значения признака (объем затрат на рекламу) в порядке возрастания и подсчитаем число фирм в каждой группе:

Таблица 3

Определим частоты, частности, кумулятивные частоты и частности и внесем данные в таблицу:

Частоты обозначают f_i. Частота показывает, сколько раз отдельные варианты встречаются в совокупности;

частности обозначают w_i и вычисляют по формуле:

w_i = ;

накопленные (кумулятивные) частоты обозначаются S_i и определяются последовательным суммированием частот интервалов;

накопленные (кумулятивные) частости — W_icum — определяются последовательным суммированием частостей интервалов.

При помощи построенного дискретного ряда легко можно определить, что 40% процентов фирм имеет затраты на рекламу 5 и менее у.е.

2. Построим равноинтервальный ряд распределения фирм по объему затрат на рекламу из 4-х групп:

так как число групп уже задано, переходим к определению величины равного интервала группировочного признака (объем затрат на рекламу в у.е.) по формуле:

h = ,

Re — размах вариации, k — число групп,

Re = x_max — x_min, h = = 2

Таблица 4

Рассчитаем для каждой группы и для всей совокупности затраты на рекламу, объем товарооборота и прибыли, а также уровень прибыли на единицу товарооборота в % и внесем данные в таблицу:

затраты на рекламу для 1 группы = 1 у.е., для 2 группы = 4+4+5 = 13 у.е., для 3группы = 6+6+7+7 = 26 у.е., для 4 группы = 8+9 = 17, для всей совокупности = 1+13+26+17 = 57;

аналогично рассчитываем объем товарооборота и прибыли;

также уровень прибыли на единицу товарооборота в % - отношение объема товарооборота к объему прибыли.

Из таблицы видно, что наибольшее количество фирм имеют затраты на рекламу от 3 до 7 у.е., и меньше всего фирм имеют имеют затраты на рекламу меньше 3 у.е. и больше 7 у.е.

Изобразим дискретный (рис. 1.1.) и интервальный (рис. 1.2.) ряды распределения графически:

3. На основе построенного равноинтервального ряда распределения Рассчитаем показатели центра распределения:

средний объем затрат на рекламу:

Так как мы имеем сгруппированные данные, для расчета воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:

=

В качестве х_i в формулу подставляем середину интервала каждой группы ряда распределения фирм по объему затрат на рекламу (x_i^ср),

Таблица 5

= = 5,4

Таким образом, средний объем затрат на рекламу составляет 5,4 у.е.

Мода: определяем наибольшую частоту f_max=4. Этому значению частоты соответствует интервал 5−7 (у.е.), следовательно, это — модальный интервал.

Моду определим по формуле:

где — нижняя граница модального интервала;

h — величина интервала;

f_Mо — частота модального интервала;

f_Mо-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mо+1 — частота интервала, следующего за модальным.

? 5,667

Таким образом, наибольшее количество фирм имеют объем затрат на рекламу 5,667 у.е.

Медиана

Определим порядковый номер медианы:

= =10/2=5

Сравниваем порядковый номер медианы с накопленными частотами и определяем интервал, у которого накопленная частота включает в себя величину порядкового номера медианы. Для N_Me=5 это накопленная частота S=8, которой соответствует интервал 5−7(у.е.), следовательно, это и есть медианный интервал.

Значение медианы определим по формуле:

где x_н — нижняя граница медианного интервала;

N_Mе — порядковый номер медианы;

S_Mе-1 — накопленная частота до медианного интервала;

f_Mе — частота медианного интервала.

Делаем вывод по медиане, что одна половина фирм имеет объем затрат на рекламу меньше 5,5 у.е., а другая половина фирм имеет объем затрат на рекламу больше 5,5 у.е.

Рассчитаем основные показатели вариации фирм по объему затрат на рекламу: размах вариации; среднее линейное отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Для упрощения расчетов статистических показателей сведем все промежуточные расчеты в табличную форму, используя данные равноинтервального ряда распределения:

Таблица 6

==5,4

Для интервала 1−3:

реклама прибыль дискретный цена

==3,4

3,4

Для интервала 3−5:

==1,4

4,2

Для интервала 5−7: ==0,6

2,4

Для интервала 7−9: ==2,6

5,2

Итоговые данные подставляем в расчетные формулы.

— размах вариации:

R=

— среднее линейное отклонение:

для сгруппированных данных воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:

d = ==1,52 у.е.

— дисперсия:

D===2,848

— коэффициент вариации:

V= * 100% = *100% = *100% * 100%

Получили коэффициент вариации V=31,3%%, следовательно, изучаемая совокупность магазинов не однородна.

Задание 2.

Условие: Имеются следующие данные об изменении валового регионального продукта (ВРП) Таблица 7

Определить:

1. Цепные и базисные темпы роста и прироста ВРП за 2004 — 2007 гг. в текущих и сопоставимых ценах

2. Среднегодовые темпы прироста в текущих и сопоставимых ценах для периодов:

* 2000 — 2004;

* 2004 — 2007.

Построить график динамики ВРП в текущих и сопоставимых ценах.

Сделать выводы.

Решение:

Рассчитаем цепные и базисные темпы роста ВРП за 2004 — 2007 гг. в текущих и сопоставимых ценах:

цепные темпы роста ВРП за 2004 — 2007 гг. в текущих ценах:

Т^ц_р = *100%

Для 2004 г. Т^ц_р1 = *100%=570/500*100=114%

Для 2005 г. Т^ц_р2 = *100%=595/570*100?104,4%

Для 2006 г. Т^ц_р3 = *100%=630/595*100?105,9%

Для 2007 г. Т^ц_р4 = *100%=650/630*100?103,2%

цепные темпы прироста ВРП за 2004 — 2007 гг. в текущих ценах:

Т^ц_пр = Т^ц_р -100%

Для 2004 г. Т^ц_пр1 = Т^ц_р1 -100 =114−100=14%

Для 2005 г. Т^ц_пр2 = Т^ц_р2 -100 =104,4−100=4,4%

Для 2006 г. Т^ц_пр3 = Т^ц_р3 -100 =105,9−100=5,9%

Для 2007 г. Т^ц_пр4 = Т^ц_р4 -100 =103,2−100=3.2%

базисные темпы роста ВРП за 2004 — 2007 гг. в текущих ценах:

Т^б_р = *100%

y₀ = y₂₀₀₀ = 500 млн руб.

Для 2004 г. Т^б_р1 = *100%=570/500*100 = 114%

Для 2005 г. Т^б_р2 = *100%=595/500*100 = 119%

Для 2006 г. Т^б_р3 = *100%=630/500*100 = 126%

Для 2007 г. Т^б_р4 = *100%=650/500*100 = 130%

базисные темпы прироста ВРП за 2004 — 2007 гг. в текущих ценах:

Т^б_пр = Т^б_р -100%

Для 2004 г. Т^б_пр1 = Т^б_р1 -100 =114 — 100=14%

Для 2005 г. Т^б_пр2 = Т^б_р2 -100 =119−100=19%

Для 2006 г. Т^б_пр3 = Т^б_р3 -100 =126−100=26%

Для 2007 г. Т^б_пр4 = Т^б_р4 -100 =130−100=30%

цепные темпы роста ВРП за 2004 — 2007 гг. в сопоставимых ценах:

Т^ц_р = *100%

Для 2004 г. Т^ц_р1 = *100%=465/500*100=93%

Для 2005 г. Т^ц_р2 = *100%=437/465*100?94%

Для 2006 г. Т^ц_р3 = *100%=460/437*100?105,3%

Для 2007 г. Т^ц_р4 = *100%=470/460*100?102,2%

цепные темпы прироста ВРП за 2004 — 2007 гг. в сопоставимых ценах:

Т^ц_пр = Т^ц_р -100%

Для 2004 г. Т^ц_пр1 = Т^ц_р1 -100 =93−100=-7%

Для 2005 г. Т^ц_пр2 = Т^ц_р2 -100 =94−100=-6%

Для 2006 г. Т^ц_пр3 = Т^ц_р3 -100 =102,2−100=2,2%

Для 2007 г. Т^ц_пр4 = Т^ц_р4 -100 =105,3−100=5,3%

базисные темпы роста ВРП за 2004 — 2007 гг. в сопоставимых ценах:

Т^б_р = *100%

y₀ = y₂₀₀₀ = 500 млн руб.

Для 2004 г. Т^б_р1 = *100%=465/500*100 = 93%

Для 2005 г. Т^б_р2 = *100%=437/500*100 = 87,4%

Для 2006 г. Т^б_р3 = *100%=460/500*100 = 92%

Для 2007 г. Т^б_р4 = *100%=470/500*100 = 94%

базисные темпы прироста ВРП за 2004 — 2007 гг. в сопоставимых ценах:

Т^б_пр = Т^б_р -100%

Для 2004 г. Т^б_пр1 = Т^б_р1 -100 =93−100=-7%

Для 2005 г. Т^б_пр2 = Т^б_р2 -100 =94−100=-6%

Для 2006 г. Т^б_пр3 = Т^б_р3 -100 =92−100=-8%

Для 2007 г. Т^б_пр4 = Т^б_р4 -100 =87,4−100=-12,6%

2. Определим среднегодовые темпы прироста в текущих и сопоставимых ценах:

для периода 2000 — 2004 базисным способом:

в текущих ценах:

^ц_пр =^ц_р — 100%

^б_р= *100%

^б_р= *100%=*100%=114%

^б_р= 114%

^ц_пр =^ц_р — 100%=114−100=14%

^ц_пр =14%

в сопоставимых ценах:

^ц_пр =^ц_р — 100%

^б_р= *100%

^б_р= *100%=*100%=93%

^б_р= 93%

^ц_пр =^ц_р — 100%=93−100=-7%

^ц_пр =-7%

для периода 2004 — 2007 базисным способом:

в текущих ценах:

^ц_пр =^ц_р — 100%

^б_р= *100%

^б_р=*100%==

^б_р=

^ц_пр =^ц_р — 100%=104,5−100=4,5%

^ц_пр =4,5%

в сопоставимых ценах:

^ц_пр =^ц_р — 100%

^б_р= *100%

^б_р=*100%==

^б_р=

^ц_пр =^ц_р — 100%=100,3−100=0,3%

^ц_пр =0,3%

Построим график динамики ВРП в текущих и сопоставимых ценах:

Вывод: Для периода 2000 — 2004 гг. валовой региональный продукт в текущих ценах ежегодно в среднем возрастал на 14%, в сопоставимых ценах — падал на 7%. Для периода 2004 — 2007 гг. валовой региональный продукт в текущих ценах ежегодно в среднем возрастал на 4,5%, в сопоставимых ценах -0,3%. Динамика ВРП в сопоставимых ценах была не постоянной. Так, в 2004 году, по сравнению с 2000 г. ВРП снизился на 7%, а в 2005 году по сравнению с 2004 г. — упал на 6%, с 2005 года наблюдалась тенденция роста ВРП. Тем не менее, по результатам выполненных расчетов можно говорить о тенденции роста ВРП в текущих и сопоставимых ценах, что подтверждается графиком (рис. 2.1.).

Задача 3.

Условие: Имеются следующие данные о реализации продукта N на рынках города:

Таблица 8

Определить:

1. Индексы цены продукта по каждому рынку.

2. По трем рынкам вместе:

* индекс средней цены (индекс переменного состава);

* среднее изменение цены (индекс фиксированного состава);

* влияние на динамику средней цены изменений в структуре продаж по рынкам (индекс структурных сдвигов).

Сделать выводы.

Решение: Имеются следующие данные о реализации продукта N на рынках города:

Таблица 9

1. Определим индексы цены продукта по каждому рынку:

индивидуальные индексы цен по продукту N:

на Средном рынке = 19/20=0,95

на Мытном рынке = = 22/22=1

на Центральном рынке = = 20/21=0,952

Таким образом, цены по продукции N, реализуемой на Средном рынке, в сентябре снизились на 5%, по сравнению с августом; цены по продукции N, реализуемой на Мытном рынке, в сентябре остались неизменны, по сравнению с августом; цены по продукции N, реализуемой на Центральном рынке, в сентябре снизились на 4.8%, по сравнению с августом.

2. Рассчитаем индекс средней цены (индекс переменного состава) по трем рынкам вместе:

==:=

: =

=:

: = =19,875:21,125=0,941

Это означает, что средняя цена от реализации продукта N на трех рынках города снизилась за указанный период на 5,9% (94,1%-100% = -5,9%) или на 1,25 тыс. руб. (19,875−21,125=-1,25).

Индекс переменного состава отражает изменение цены и структуры совокупности (весов).

Чтобы устранить влияние изменений в структуре весов на показатель изменения среднего уровня, рассчитывается отношение средних с одинаковыми весами, т. е. исчисляется индекс постоянного (фиксированного) состава. Он определяется как агрегатный индекс с весами текущего периода:

== = = =

Это означает, что за счет изменения цен продукта N на отдельных рынках средняя цена снизилась на 4% (96%-100% = -4%) или на 0,813 тыс. руб. (19,875−20,6875=-0,8125).

Влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления характеризует индекс структурных сдвигов. Определим его:

=:=

: =

=:

: = =21,125/20,5=1,03

Это означает, что средняя цена от реализации продукта N на трех рынках города возросла за указанный период на 3% (103%-100% = 3%) или на 0,625 тыс. руб. (21,125−20,5 =0,625) за счет изменения цены реализуемого продукта N, в частности за счет уменьшения в сентябре цены на данный продукт на Средном и Центральном рынках.

Задача 4.

Условие: Имеются следующие данные по фирмам:

Таблица 10

Данные по фирмам 11−20 являются 5%-ной выборочной совокупностью. Для генеральной совокупности определить пределы, в которых могут находиться:

* доля фирм с объемом прибыли 0.2 и менее тыс.у.е.;

* средний объем прибыли одной фирмы.

Расчеты выполнить с вероятностью 0.927. Рассчитать численность выборки, если ошибку средней уменьшить на 20%

Решение:

Имеются следующие данные по фирмам:

Таблица 11

Найдем долю фирм с объемом прибыли 0.2 и менее тыс.у.е. Таких фирм в выборке 4, следовательно, — доля фирм в выборке с объемом прибыли 0.2 и менее тыс. у.е.

Найдем предельную ошибку выборки ,

=2,0 — доверительная вероятность по таблице Распределения вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки n по заданной доверительной вероятности 0,927.

— средняя ошибка выборочной доли для повторного отбора.

Доля фирм с объемом прибыли 0.2 и менее тыс.у.е. в генеральной совокупности будет находится в пределах ,

Найдем выборочную среднюю для прибыли:

0,253

Найдем доверительный интервал для генеральной средней:

=2,0

 — выборочная дисперсия.

— 0,253²= 0,015

— границы, в которых может находиться средний объем прибыли в генеральной совокупности.

— средняя ошибка выборки, уменьшим ее на 20%.

то есть

то есть для получения заданной ошибки средней нужно произвести 2 испытаний.

Задача 5. Условие. Имеются следующие данные по фирмам Таблица 11

По данным изучить зависимость между объемом затрат на рекламу и товарооборотом по 10-ти фирмам.

Для этого по исходным данным начертить график корреляционного поля, определить параметры линейного уравнения регрессии.

Для оценки тесноты связи рассчитать:

* линейный коэффициент корреляции;

* коэффициент детерминации;

* коэффициент корреляции рангов Спирмена.

Рассчитать возможные значения товарооборота при увеличении затрат на рекламу до 10 и 12 у.е. Сделать выводы.

Решение. Имеются следующие данные по фирмам Таблица 12

По данным изучить зависимость между объемом затрат на рекламу и товарооборотом по 10-ти фирмам.

Для этого по исходным данным начертить график корреляционного поля, определить параметры линейного уравнения регрессии.

Для оценки тесноты связи рассчитать:

* линейный коэффициент корреляции;

* коэффициент детерминации;

* коэффициент корреляции рангов Спирмена.

Рассчитать возможные значения товарооборота при увеличении затрат на рекламу до 10 и 12 у.е.

Сделать выводы.

Изучим зависимость между объемом затрат на рекламу и товарооборотом по 10-ти фирмам. Для этого определим параметры линейного уравнения регрессии:

=a+bx

71,82−324,9b+

2924,1*b=12,38

b=0,004

a=

Решая систему, получаем:

a=

b=0,004

Уравнение регрессии будет иметь вид:

=0,032+0,004x

По уравнению регрессии рассчитываются теоретические значения результативного признака путем подстановки значений факторного признака x_i:

Таблица 13

=0,116+0,024*x₁=0,116+0,024*6= 0,116+0,264=0,756

=0,116+0,024*x₂=0,116+0,024*8= 0,116+0,352=0,468

=0,116+0,024*x₃=0,116+0,024*6= 0,116+0,264=0,38

=0,116+0,024*x₄=0,116+0,024*9= 0,116+0,396=0,519

=0,116+0,024*x₅=0,116+0,024*7= 0,116+0,308=0,424

=0,116+0,024*x₆=0,116+0,024*1= 0,116+0,024=0,14

=0,116+0,024*x₇=0,116+0,024*4= 0,116+0,176=0,292

=0,116+0,024*x₈=0,116+0,024*7= 0,116+0,308=0,424

=0,116+0,024*x₉=0,116+0,024*4= 0,116+0,176=0,292

=0,116+0,024*x₁₀=0,116+0,024*5= 0,116+0,22=0,336

Для нашего примера Коэффициент регрессии b = 0,004 показывает, что с увеличением затрат фирмы на рекламу на 1 у.е. товарооборот возрастает на 0,004 у.е.

Построим корреляционное поле и график линии регрессии:

Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

r=== ====69,779/27,634=2,525

= 12,6

=

=373

=19,68

r = 0.915

Коэффициент корреляции r = 0.915 близок к 1, поэтому можно говорить о тесной связи между признаками.

Найдем коэффициент детерминации, являющийся квадратом коэффициента корреляции (r²):

r² = 0.915=0,837

В данном случае его величина равна 0,837, что означает: 83,7% вариации товарооборота фирм объясняется вариацией их затрат на рекламу своих услуг.

Найдем коэффициент корреляции рангов Спирмена:

С=,

где d — разность между рангами соответствующих пар значений х и у,

n — количество ранжируемых признаков

Таблица 14

=20,25+36+21,16+42,25+33,64+0,64+10,89+33,64+9+16,81=206,28

С===1237,68/990=1,25

Поскольку коэффициент корреляции рангов может изменяться в пределах от -1 до +1, по результатам расчетов можно предположить наличие достаточно тесной прямой зависимости между затратами на рекламу и товарооборотом фирм. Однако, следует учесть небольшой объем исходной информации (n =10), что может служить причиной случайных совпадений исследуемых признаков.