Определение экономических показателей матричным методом. 
Анализ экономико-математической модели двойственной задачи

• Величина затрат во второй отрасли не влияет на формирование цен. Система балансовых уравнений для первой и третьей отраслей с учетом коэффициента эластичности:
• Приводя подобные, получаем систему уравнений в матричном виде:
• .
• Решая ее, получим:. Т.о., увеличение цены на продукцию во второй области вдвое влечет уменьшение цены на продукцию в первой отрасли на 62,7%, а в третьей — уменьшение на 43,7%.
• 7. Имеем систему уравнений:
• В матричном виде она выглядит так:
• .
• Решение системы:. Следовательно, в первой области цены увеличатся на 1,4%, во второй — на 5,0%, в третьей — на 18,7%.
• баланс экономический математический двойственный

Задача Б На предприятии имеется возможность выпуска трех видов продукции. При ее изготовлении используются ресурсы. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами. Расход ресурсаго вида на единицу продукцииго вида составляет единиц. Цена единицы продукцииго вида равна .

Требуется:

1. найти план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход;

2. сформулировать в экономических терминах двойственную задачу, составить математическую модель двойственной задачи и решить ее;

3. используя решение исходной и двойственной задач, а также соответствие между двойственными переменными провести анализ, плана, указать наиболее дефицитный и избыточный ресурс, если он имеется.

, .

Решение

1. Пусть x_j — это количество единиц продукции соответственно П_j планируемой к выпуску, а f — величина прибыли от реализации этой продукции.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Учитывая значение прибыли от единицы продукции, запишем суммарную величину прибыли — целевую функцию — в следующем виде:

Переменные x_j должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия:

По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными:

Решаем задачу в MS Excel. Составим следующую таблицу:

Формулы использовали такие:

Выполняем последовательность команд Сервис — Поиск решения.

Поля в появившемся окне заполняем таким образом:

Нажимаем кнопку Выполнить, получаем результат:

Т.о., по оптимальному плану следует изготовить 55 ед. продукции второго вида, продукцию первого и третьего видов — не выпускать. Останутся неиспользованными 35 ед. первого ресурса и 205 ед. третьего ресурса. Прибыль при этом будет максимальна и составит 1540 ден. ед.

2. Составим экономико-математическую модель двойственной задачи.

Пусть y_i — цена единицы ресурса Р_i, z — суммарная стоимость ресурсов. Требуется минимизировать затраты покупающего ресурсы предприятия, при этом нашему предприятию продажа должна быть менее выгодна, чем производство продукции.

Двойственная задача:

Решаем задачу в MS Excel. Первоначальная таблица:

Заполняем окно Поиск решения следующим образом:

Результаты:

3. Соответствие между переменными:

Запишем оптимальный план двойственной задачи:

.

Так как, то второй ресурс дефицитен, первый и третий ресурсы являются избыточными, для них. При увеличении использования второго ресурса на единицу прибыль увеличится на 7 ден. ед., первого и третьего — прибыль не изменится.

Задача В Экономисты оптового торгового предприятия на основе возможных вариантов поведения поставщиков П₁, П₂, П₃, П₄ разработали несколько своих хозяйственных планов O₁, O₂, О₃, О₄, а результаты всех возможных исходов представили в виде матрицы прибыли (выигрышей). Определить оптимальный план оптового торгового предприятия. Для анализа использовать следующие критерии:

1. критерий Вальда,

2. критерий Сэвиджа,

3. критерий Лапласа,

4. критерий Байеса с вероятностями (0,1;0,2;0,3;0,4),

5. критерий Гурвица с коэффициентом p=0.2.

Решение По условию матрица выигрышей равна:

.

Пересчитаем матрицу выигрышей в матрицу рисков по формуле:

где .

Получаем:

.

1) По критерию Вальда оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

т. е. — оптимальная стратегия.

2) По критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия, для которой достигается минимум:

т. е. и — оптимальные стратегии.

3) По критерию Лапласа оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

т.е. — оптимальная стратегия.

4) По критерию Байеса оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

.

Вычисляем:

.

Получаем:

т.е. — оптимальная стратегия.

5) По критерию Гурвица оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

.

Вычисляем:

.

Получаем:

т.е. — оптимальная стратегия.

Приведем выполнение задания в MS Excel:

Результаты:

Формулы:

Задача Г Выполнить экономический анализ полученной модели:

1. Построить изокванты и изоклины производственной функции. Дать их экономическое обоснование.

2. Найти и дать экономическое толкование следующим основным параметрам и характеристикам производственной функции:

а) средние производительности факторов производства и ресурсоемкости продукции;

б) предельные производительности факторов производства;

в) предельные нормы замещения факторов производства;

г) частные коэффициенты эластичности;

д) суммарную эластичность по масштабу производства;

е) эластичность замещения факторов производства;

ж) объяснить экономический смысл эластичностей;

и) дать геометрическую интерпретацию ПФ и построить изокванты ПФ;

к) объяснить, за счет чего фирме выгоднее производить интенсификацию производства.

Решение

Задача Д Заданы:

— функция предложения: S=S (p),

— функция спроса: D=D (p).

Необходимо:

1. построить функции спроса и предложения;

2. построить модель процесса выравнивания цен том случае, если начальная цена p₀ не совпадает с равновесной ценой;

3. найти равновесную цену, определить процесс сходимости к равновесной точке и изобразить этот процесс графически.

Решение

Список использованных источников

1. Васильев В. П. Исследование операций в экономике. Пособие и практикум на ПК. МФ МЭСИ, 2007.

2. Шелобаев С. И. Экономико-математические методы и модели: — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.-287 c.

3. Экономико-математические методы и модели: учеб.-практ.пос./ под общ.ред. С. Ф. Миксюк, В. Н. Комкова. — Мн.: БГЭУ, 2006.-219 c.