Основная задача механики

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s..

В задании приняты следующие обозначения: m₁, m₂, m_3, m₄ — массы тел 1, 2, 3, 4; R₃ — радиус большой окружности; ? — коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

Решение.

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1).

где T₀ и T — кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2).

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Т = Т₁ + Т₂ + 4Т₃ + Т₄. (3).

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,.

(4).

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,.

(5).

где J_2x — момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

(6).

₂ — угловая скорость барабана 2:

.(7).

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8).

Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:

(9).

где V_C3 — скорость центра тяжести С₃ барабана 3, J_3x — момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

(10).

₃ — угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке С_V. Поэтому.

(11).

. (12).

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13).

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно.

. (14).

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или.

. (15).

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

(16).

Работа силы тяжести :

(17).

Работа пары сил сопротивления качению :

(18).

где.

(19).

(20).

(21).

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22).

Работа силы тяжести :

(17).

Работа силы тяжести :

(23).

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) — (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или.

. (24).

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и, определяемые по формулам (16) и (24):

.

откуда выводим м/с.

Дано:.

R₂=30; r₂=20; R₃=40; r₃=40.

X=C₂t²+C₁t+C₀.

При t=0 x₀=7 =0.

t₂=2 x₂=557 см.

X₀=2C₂t+C₁.

C₀=7.

C₁=0.

557=C₂ *5²+0*5+7.

25C₂=557−7=550.

C₂=22.

X=22t²+0t+7.

=V=22t.

a==22.

V=r₂₂.

R₂₂=R₃₃.

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(22t)*30/20*40=0,825t.

₃=₃=0,825.

V_m=r₃*₃=40*(0,825t)=33t.

a^t_m=r₃.

=0,825t.

a^t_m=R₃=40*0,825t=33t.

aⁿ_m=R₃²₃=40*(0,825t)²=40*(0,825(t)².

a=.

***********************************.

Дано :R₂=15; r₂=10; R₃=15; r₃=15.

X=C₂t²+C₁t+C₀.

При t=0 x₀=6 =3.

t₂=2 x₂=80 см.

X₀=2C₂t+C₁.

C₀=10.

C₁=7.

80=C₂ *2²+3*2+6.

4C₂=80−6-6=68.

C₂=17.

X=17t²+3t+6.

=V=34t+3.

a==34.

V=r₂₂.

R₂₂=R₃₃.

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3.

₃=₃=3,4.

V_m=r₃*₃=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5.

a^t_m=r₃.

=3,4t.

a^t_m=R₃=15*3,4t=51t.

aⁿ_m=R₃²₃=15*(3,4t+0,3)²=15*(3,4(t+0,08)².

a=.

Решение второй задачи механики.

Дано:.

m=4.5 кг; V₀=24 м/с;

R=0.5V H;

t₁=3 c;

f=0.2;

Q=9 H; F_x=3sin (2t) H.

Определить: x = f (t) — закон движения груза на участке ВС.

Решение:.

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ.

учитывая, что R=0.5V H;

Разделяем переменные и интегрируем.

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V₀=V_B).

Дано:.

m=36 кг.

R=6 см=0,06 м.

H=42 см=0,42 м.

y_C=1 см=0,01 м.

z_С=25 см=0,25 м.

АВ=52 см=0,52.

М=0,8 Н· м.

t₁=5 с.

Найти реакции в опорах А и В.

Решение.

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

(1).

Для определения углового ускорения ? из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле.

(2).

где J_z1? момент инерции тела относительно центральной оси С_z1, параллельной оси z; d — расстояние между осями z и z₁.

Воспользуемся формулой.

(3).

где ?, , — углы, составленные осью z₁ с осями, , соответственно.

Так как ?=90?, то.

. (4).

Определим моменты инерции тела, как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии ,.

;

.

Вычисляем.

;

.

Определяем угол из соотношения.

;

;

.

Угол равен.

;

.

По формуле (4), вычисляем.

.

Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):

.

где d=y_C;

.

Из последнего уравнения системы (1).

;

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела.

.

поэтому при ?₀=0 и t=t₁=5 c.

.

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции и тела., так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.

Центробежный момент инерции тела определим по формуле.

.

где, т. е.

.

Тогда.

.

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства.

Отсюда.

Ответ:, ,, .

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 © найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные:.

x=5cos (t²/3); y= -5sin (t²/3); (1).

t1=1 (x и y — в см, t и t1 — в с).

Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

x² + y² = (5cos (t²/3))² + (-5sin (t²/3))²;

Получаем x² + y² = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки.

(2).

Вектор ускорения точки.

Здесь V_x, V_{y ,} a_x, a_y — проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1).

(3).

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=(V_x² + V_y²); (4).

и модуль ускорения точки:

а =(а_х² +а_у²). (5).

Модуль касательного ускорения точки.

а=|dV/dt|, (6).

а= |(V_xa_x+V_ya_y)/V| (6').

Знак «+» при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак «- «- что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки.

а_п= V²/p; (7).

p — радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

a_n =(а² -a²); (8).

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V²/ a_n. (9).

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице.

Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.

Дополнительное задание:.

z=1.5t x=5cos (t²/3); y= -5sin (t²/3); t1=1 (x и y — в см, t и t1 — в с).

Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения.

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=(V_x² + V_y²+V_z²);

и модуль ускорения точки:

а =(а_х² +а_у²+ а_z²).

V=;

a=24.3 см/с;

Касательное ускорение точки а= |(V_xa_x+V_ya_y+ V_za_z)/V|.

a=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

a_n =(а² -a²);

a_n=21.98 см/с².

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V²/ a_n. р=5.1 см Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице.

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Дано:.

ОМ=Sr=120t² см;

_е=8t² — 3t рад ;

t1=1/3 c; R=40 см.

Решение:.

1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием S_r=ОМ при t=1/3 c S_r=120/9=41.89 см.

При t=1/3с V_r=80=251.33 см/с.

a_r=d²S_r/dt² a_r=240=753.98 см/с².

a_rn=V_r²/R a_rn=(80)²/40=1579.14 см/с².

2) V_e=_er, где rрадиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

=OM/R. r=R*sin=40*sin (/3)=34.64 см.

_е=d_e/dt=16t-3 при t=1/3 _е=7/3=2.33 с^-1.

V_e=80.83 см/с.

а_е^ц=_e² r а_е^ц=188.6 см/с².

а_е^в=_еr _е= d²_e/dt²=16 с^-2 а_е^в=554.24 см/с².

3).

а_с=2*_еV_rsin (_е, V_r) sin (_е, V_r)=90-=/6 a_c=585.60 см/с².

4).

V=(V_e²+V_r²) V=264.01 см/с Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.

a_x=a_е^в+а_с.

a_y=a_rncos (/3)+a_rcos (/6).

a_z=-а_е^ц — a_rncos (/6)+a_rcos (/3).

а=(a_x²+a_y²+a_z²).

Результаты расчетов сведены в таблицу.

Определение реакций опор твердого тела.

Дано:.

Q=10 kH;

G=5 kH;

a=40 см; b=30 см; c=20 см;

R=25 см; r=15 см.

Задание:.

Найти реакции опор конструкции.

Решение:.

Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.

Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.

Проверка.

Составим уравнения относительно точки В.