Исследование частотных и переходных характеристик линейного активного четырехполюсника (фильтра)

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА ИРЭТ Кафедра РИИТ Курсовая работа по дисциплине:

" Основы теории цепей"

Тема работы:

" Исследование частотных и переходных характеристик линейного активного четырехполюсника (фильтра)"

Выполнила студентка третьего курса заочного отделения Иванова А. Г.

Проверил преподаватель КАЗАНЬ 2010 г.

• 1. Вывод операторных передаточных функций K_u (p) и Z₁₁ (p)
• 2. Расчет и построение карты особых точек
• 3. Расчет и построение частотных характеристик
• 4. Расчет и построение переходных характеристик
• Выводы
• Список использованной литературы

1. Вывод операторных передаточных функций K_u (p) и Z₁₁ (p)

Для вывода функции коэффициента передачи по напряжению необходимо составить систему уравнений в матричной форме на базе метода узловых потенциалов. Для этого зададим на входе схемы источник энергии в виде идеального источника тока I₀ и пронумеруем узлы схемы (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Схема ARC-цепи.

Преобразуем схему с учетом схемы замещения операционного усилителя (рис. 1.2.).

Рис. 1.2 Схема цепи с учетом схемы замещения ОУ.

При составление системы уравнений по методу узловых потенциалов следует учесть, что к четвертому узлу подключен источник ЭДС, поэтому для этого узла уравнение не составляем.

Система уравнений в матричной форме выглядит следующим образом:

частотная переходная характеристика фильтр

(1.1.)

Рассмотрим основное уравнение операционного усилителя, которое для данной схемы выглядит следующим образом:

(1.2.)

Так как величина К=, то очевидно, что U₃₀=0, на основании этого в системе уравнений (1.1.) можно избавиться от третьего столбца:

(1.3.)

Функцию коэффициента передачи по напряжению определяем как отношение выходного напряжения ко входному:

(1.4.)

Согласно методу Крамера входное и выходное напряжения определяются следующим образом:

(1.5.)

(1.6.)

Подставим (1.6.) и (1.5.) в (1.4.):

(1.7.)

Подставляем значения номиналов элементов в найденную формулу:

(1.8.)

Функцию входного сопротивления определяем следующим образом:

(1.9.)

Находим:

(1.10.)

Подставим (1.10.) и (1.5.) в (1.9.):

(1.11.)

Подставляем значения номиналов элементов в найденную формулу:

(1.12.)

2. Расчет и построение карты особых точек

Произведем расчет нулей и полюсов функции коэффициента передачи по напряжению, которая задана в виде отношения полиномов:

(2.1.)

Находим нули:

(2.2.)

Находим полюсы:

(2.3.)

Как видно, коэффициент передачи по напряжению имеет нуль кратности два, лежащий в начале координат и два действительных отрицательных полюса.

Строим карту особых точек функции К_u (j).

Рис. 2.1 Карта нулей и полюсов.

Произведем расчет нулей и полюсов функции входного сопротивления, которая задана в виде отношения полиномов:

(2.4.)

Находим нули:

(2.5.)

Находим полюсы:

(2.6.)

Как видно, функция входного сопротивления два действительных отрицательных нуля, простой полюс, лежащий в начале координат и действительный отрицательный полюс кратности два.

Строим карту особых точек функции Z₁₁ (j).

Рис. 2.2 Карта нулей и полюсов.

3. Расчет и построение частотных характеристик

Для расчета АЧХ и ФЧХ необходимо вычислить модуль и аргумент комплексной функций коэффициента передачи по напряжению. Для этого необходимо заменить в выражении (1.8.) операторную переменную р=j:

(3.1.)

Определим модуль выражения (3.1.):

(3.2.)

Определим аргумент выражения (3.1.). Поскольку при расчете аргументов комплексных чисел через функцию арктангенса необходимо учитывать особые точки, то выражение для аргумента будет представлять собой систему уравнений.

(3.3.)

Годограф определяет положение конца вращающегося вектора коэффициента передачи на комплексной плоскости. Для построения АФХ (годографа) функции коэффициента передачи по напряжению и входного сопротивления в декартовой системе координат необходимо составить уравнения связи:

(3.4.)

При построении графиков АЧХ и ФЧХ необходимо учитывать особые точки. Находим минимальную частоту:

(3.5.)

Находим максимальную частоту:

(3.6.)

Производим расчет значений выражений (3.2) — (3.4). Данные вычислений помещены в табл.3.1.

Рис. 3.1 АЧХ коэффициента передачи по напряжению.

Рис. 3.2 ФЧХ коэффициента передачи по напряжению.

Рис. 3.3 АФХ коэффициента передачи по напряжению.

Таблица 3.1.

Расчет значений АЧХ, ФЧХ и АФХ

Рассчитаем частотные характеристики функции входного сопротивления. Для этого необходимо заменить в выражении (1.12.) операторную переменную р=j:

(3.7.)

Определим модуль выражения (3.7.):

(3.8.)

Определим аргумент выражения (3.7.):

(3.9.)

Для построения АФХ (годографа) функции входного сопротивления в декартовой системе координат необходимо составить уравнения связи:

(3.10.)

При построении графиков АЧХ и ФЧХ необходимо учитывать особые точки. Находим минимальную частоту:

(3.11.)

Находим максимальную частоту:

(3.12.)

Производим расчет значений выражений (3.3) — (3.10). Данные вычислений помещены в табл.3.2.

Таблица 3.2.

Расчет значений АЧХ, ФЧХ и АФХ

Рис. 3.4 АЧХ входного сопротивления.

Рис. 3.5 ФЧХ входного сопротивления.

Рис. 3.6 АФХ входного сопротивления.

4. Расчет и построение переходных характеристик

Определим переходную характеристику выходного напряжения:

(4.1.)

Для нахождения оригинала функции (4.1.) произведем ее разложение на простые дроби:

(4.2.)

Составляем систему уравнений для определения коэффициентов простых дробей:

(4.3.)

Находим: А= - 1,171 и В=0,171.

По таблицам обратного преобразования Лапласа находим оригинал функции (4.2):

(4.4.)

Определяем время затухания переходной характеристики:

(4.5.)

Производим расчет по формуле (4.4.). Результаты расчета помещены в табл.4.1.

Таблица 4.1.

Расчет переходной характеристики выходного напряжения

Рис. 4.1 Переходная характеристика выходного напряжения.

Определим переходную характеристику входного напряжения при условии задании на входе скачка тока величиной I₀=10 нА:

(4.6.)

Для нахождения оригинала функции (4.6.) произведем ее разложение на простые дроби:

(4.7.)

Составляем систему уравнений для определения коэффициентов простых дробей:

(4.8.)

Находим: А=10^-5; В=1; С= - 10^-5; D= - 1.

По таблицам обратного преобразования Лапласа находим оригинал функции (4.7):

(4.9.)

Определяем время затухания переходной характеристики:

(4.5.)

Производим расчет по формуле (4.9.). Результаты расчета помещены в табл.4.2.

Таблица 4.2.

Расчет переходной характеристики входного напряжения

Рис. 4.1 Переходная характеристика выходного напряжения.

Выводы

Рассматриваемый фильтр по типу частотной характеристики представляет собой ФВЧ.

На нулевой частоте коэффициент передачи фильтра равен нулю, так как входной сигнал не проходит через конденсатор С1.

На средних частотах коэффициент передачи фильтра определяется суммарным сопротивлением цепи С1R1С2C3 и резистором обратной связи R2.

На высоких частотах сопротивление конденсаторов С1 — С3 становится равным нулю и сигнал проходит на выход без ослабления.

Входное сопротивление ФВЧ определяется сопротивлением конденсатора С1 и уменьшается с ростом частоты. На постоянном токе входное сопротивление ФВЧ бесконечно велико.

Переходная характеристика выходного напряжения представляет собой сумму двух затухающих экспонент.

Переходная характеристика входного напряжения при подачи на вход ФВЧ скачка тока представляет собой функцию, рост которой можно приближенно описать законом натурального логарифма.

1. Попов В. П. Основы теории цепей. М. «Высшая школа», 1985 г.

2. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи М. «Высшая школа», 1990 г.

3. Шебес М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей. М. «Высшая школа», 1990 г.

4. Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей. М. «Высшая школа», 1987 г.