Основы высшей математики

112 104 ЗФК (ЗФ) Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное Агентство морского и речного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Государственный морской университет имени адмирал Ф.Ф.Ушакова»

ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Специальность: «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТКИ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА

1 КУРСА ГОРБАТЕНКО А. П.

Г.НОВОРОССИЙСК

2011 г.

Содержание Часть 1

Часть 2

Часть 3

ПРИЛОЖЕНИЯ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Часть 1

По координатам вершин пирамиды найти:

1) длины ребер и ,

2) угол между ребрами и ,

3) площадь грани ,

4) объем пирамиды;

5) уравнения прямых и ,

6) уравнения плоскостей и ;

7) угол между плоскостями и .

Условие:

, , .

Решение:

1) Длину ребер и найдем по формуле расстояний между двумя точками:

i=

2) Угол? между ребрами А1А2 и А1А3 равен углу между векторами A1 A2 и A1 A3. Найдем координаты этих векторов:

Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

cos

Найдем угол между ребрами и

3) Площадь грани.

Площадь грани можно найти по формуле:

где Найдем площадь грани

Найдем угол между ребрами и:

Площадь грани

4) Объем пирамиды.

Найдем координаты векторов, описывающих пирамиду:

А1 (-1, -1, 1)

А2 (-1, -2, 5)

А3 (-3, -1, 1)

А4 (-1, 0, 3)

Поочереди вычитая из координат точки А1 соответсятвуующие координаты остальных точек:

вектор № 1 (0, 1, -4)

вектор № 2 (2, 0, 0)

вектор № 3 (0, -1, -2)

Запишем матрицу, найдем определитель ?:

?= =0*0*(-2)+2*(-1)*(-4)+1*0*0−0*0*(-4)+(-1)*0*0+2*1*(-2)=8+4=12

Определитель данной матрицы в 6 раз больше объма пирамиды:

V=

5) Уравнение прямых и

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой

Уравнение прямой

6) Уравнение плоскостей и

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости

(x+1)((-1) * 0−0 * 4) — (y+1)(0 * 0-(-2) * 4) + (z-1)(0 * 0-(-2) * (-1)) = 0x — 8y — 2z + 6 = 0

Уравнение плоскости

(x+1)((-1) * 2−1 * 4) — (y+1)(0 * 2−0 * 4) + (z-1)(0 * 1−0 * (-1)) = -6x + 0y + 0z + 6 = 0

7)) Угол между плоскостью и плоскостью

Косинус угла между плоскостью и плоскостью равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):

Часть 2

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение:

1) методом Крамера

2) средствами матричного исчисления

3) методом Гаусса Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матрияное умножение.

Решение:

1) методом Крамера:

По данным системы составим определитель ?:

Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?1:

Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?2:

Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?3:

Найдем :

; ;

; ;

; ;

Ответ: (-1; 1;2).

2) Средствами матричного исчисления:

Найдем обратную матрицу по формуле:

? — определитель матрицы

— транспонированная матрица Запишем матрицу, найдем главный определитель:

Вектор В =

Транспонируем матрицу:

Найдем элементы матрицы: для нахождения каждого элемента, мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент, оставшиеся четыре записываем в определитель, вычисляем.

Запишем обратную матрицу:

Проверим правильность обратной матрицы, используя матричное умножение:

Найдем :

; ;

; ;

; ;

Проверка:

— 1*(-1)+0*1+2*2=5

2*(-1)+2*1+5*2=10

3*(-1)+(-2)*1+2*2=-1

Ответ:(-1, 1, 2).

3) Методом Гаусса:

Выписываем матрицу данной системы, состоящую из коэфицентов уравнения и свободных коэфицентов:

Если в каком-то уравнении на певром месте стоит 1, то ставим это уравнение на первую строку.

С помощью этой еденицы обнуляем все первые коэфиценты в каждом уравнении.

Приводим матрицу к ступенчатому виду:

Умножаем первую строку на 2, добавим вторую строку к первой.

Умножаем вторую строку на 3.

Умножаем третью строку на (-2), добавим третью строку ко второй.

Умножим первую строку на 5.

Умножим вторую строку на (-1), ко второй строке прибавим первую.

Из последнего уравнения получившейся матрицы находим, подставляем его в последнее уравнение, поднимаясь выше, находим все неизвестные.

a)

уравнение пирамида неизвестный система б)

в) Ответ: (-1; 1; 2)

Часть 3

Привести уравнение кривой второго порядка ?(x, y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее спрямой Ax+By+C=0.

Построить графики кривой и прямой.

Решение:

1)

Приводим к каноническому виду:

Решение для переменной у:

Канонический вид — парабола.

Глобальный минимум:

min 1 в у=1

Неявные производных:

2)

Приводим к каноническому виду:

Каноническое решение:

Прямая и парабола не пересекаются.

Построение графиков.

Приложение — рис. 1.

Приложение Рис. 1.

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: 9-е изд., перераб. М.: Физматлит, 2001. 376 с.

2. Ефимов П. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебник. 13-е изд., стереотип. М.: Физ-матлит, 2003.240с.

3. Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для вузов. М.: Астрель, 2003.656с.

4. Лунгу К. Н., Макаров Е. В. Высшая математика — Руководство к решению задач — часть 1. 2002.446с.

5. Элементы высшей математики: В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский — Санкт-Петербург, Академия, 2004 г.- 320 с.