Классификация Бэра показателей Ляпунова линейных систем

§ 1. Формулировки основных результатов.

Для заданного натурального числа п рассмотрим множество Л4п линейных уравнений вида x = A (t)x, ж е Rn, te R+, (1.1) с кусочно непрерывными и ограниченными на полупрямой R+ оператор-функциями.

A:R+ —>• End Rn.

В дальнейшем, пользуясь вольностью речи, будем отождествлять уравнение (1.1) с оператор-функцией А, фигурирующей в записи этого уравнения.

Множество Мп наделим структурой линейного пространства с естественными для оператор-функций операциями сложения и умножения на действительное число.

Определение 1.1. Будем обозначать через Л4&tradeтопологическое пространство, получаемое из Л4п введением в нем равномерной топологии при помощи нормы.

И1= sup |А"|, (1.2) te R+ где обозначено.

А (£)| = sup A{t)x, (1.3).

M=i.

М = Ai + • • • + xh х = (xi,., хп). (1.4).

Через М-Сп будем обозначать топологическое пространство, получаемое из Мп введением в нем компактно открытой топологии, задаваемой счетным набором полунорм pk (A)= sup A (t), ке N. (1.5) te[k-i, k].

Для всякого уравнения, А Е Л4п условимся обозначать через Хд (f, г), где т 6Е R+, его оператор Кошщ т. е. линейный оператор, действующий из Rn в Rn и для каждого решения х уравнения, А удовлетворяющий условию.

XA (t, r) x®=x (t). (1.6).

Существование и единственность такого оператора доказана в [17, с. 72].

Определение 1.2 [24, 27]. Показателями Ляпунова у-р&внетш (1.1) называются числа.

Xi (A)= М Пт iln|XA|F (*, 0)|, (1.7).

FsQi i-«-+oo t где i = 1 ,., n, Qi — множество г-мерных подпространств пространства Rn, a Xaf — сужение оператора Коши уравнения (1.1) на подпространство F С Rn.

Из формулы (1.7) следует, что показатели Ляпунова занумерованы в порядке нестрогого возрастания:

Х1(А)<2(А)<.<�Хп (А).

Число Ai (А) назовем младшим показателем уравнения А, число Ап (А) — старшим показателем уравнения А, а числа А-(А), г = 2,., п — 1, — промежуточными показателями.

Показатели Ляпунова названы по имени русского ученого А. М. Ляпунова, который ввел их [24] в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Так, если старший показатель Ляпунова уравнения, А Е Мп отрицателен, то нулевое решение этого уравнения асимтотиче-ски устойчиво, а если положителен — то неустойчиво. Аналогично, г-й показатель характеризует условную устойчивость относительно г-мер-ного подпространства.

Показатели Ляпунова уравнений из пространства М. п будем рассматривать как функционалы, определенные на этом пространстве:

Аг-: Мп —> R, i = 1,., п.

Из результатов работы О. Перрона [48] следует, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве .М^, имеет точки разрыва. Этот факт делает актуальными два направления исследований в теории характеристических показателей. Одно состоит в изучении устойчивости показателей Ляпунова при различных возмущениях коэффициентов уравнения, для чего рассматриваются соответствующие этим возмущениям нижние и верхние границы подвижности показателей Ляпунова. Другое направление, начало которому положил В. М. Миллионщиков [27], состоит в использовании классификации Бэра разрывных функций [10] для выяснения степени разрывности функционалов, возникающих в теории характеристических показателей.

Определение 1.3 [23, с. 401]. Пусть Л4 — топологическое пространство. Для каждого, а 6 N0 = NU{0} определим класс Фа функционалов, действующих из Л4 в R, называемый а-м классом Бэра, следующим образом: класс Фо состоит из непрерывных на Л4 функционаловкласс Фа, а > 0, состоит из функционалов ср, допускающих представление вида р (А)= lim ipm (A), АеМ, т—>- + оо где каждый из функционалов (рт: т? N, принадлежит какому-либо классу Ф^,? < а.

Скажем, что функционал <р: Л4 —> R принадлежит в точности а-му классу Бэра, если для некоторого a G N выполняются условия: ре Фа и Фа1.

Класс Бэра произвольного функционала на пространстве ЛЛсп тесно связан с классом Бэра того же функционала, рассматриваемого на семействе уравнений, зависящих от параметра. Более точно, если задано уравнение вида х = A (t, ji) x, х е Rn, /ie[a, b]cR, t G R+, с непрерывной и ограниченной оператор-функцией A: R+ х [a, b] —".

End Rn, то сужение функционала LpM. cn —> R на это семейство можно рассматривать как функцию ф параметра /i, задаваемую формулой.

И если функционал ср принадлежит некоторому классу Бэра, то функция ф принадлежит тому же классу Бэра (но, возможно, и меньшему).

Определение 1.4. Для всякого функционала (р:Л4п —> R обозначим через <ри Тр максимальную полунепрерывную снизу миноранту и, соответственно, минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого функционала в смысле равномерной топологии, т. е. функционалы, определяемые в каждой точке, А? Л4п равенствами р (А) = lim inf (р{А + С) и ЩА) = lim sup ip (A + C). — e->0||C||.

Для каждого ъ = 1,., п миноранта Лг-(А) и мажоранта Аг-(А) осуществляют соответственно точные нижнюю и верхнюю границы подвижности показателя Ляпунова А-(А) уравнения, А? Мп при равномерно малых возмущениях.

Величины А-(А) и Аг (А), г = 1 ,., п, отвечают за стабилизируе-мость и дестабилизируемость уравнения, А? М.п. Например, если для уравнения, А? Л4п миноранта Ап (А) неположительна, то оно стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, т. е. в сколь угодно малой (в смысле равномерной топологии) окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же миноранта АП (А) положительна, то уравнение, А не стабилизируемо такими возмущениями. С другой стороны, если величина Ап (А) неотрицательна, то уравнение, А дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если мажоранта АП (А) отрицательна — то не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости уравнения, А? Л4п, играют величины Аг-(А) и Аг-(А), г = 1,., п — 1.

В докладе В. М. Миллионщикова [30] была поставлена задача о точном классе Бэра, которому принадлежит каждый из функционалов Аг-, i = l,., n, на пространстве M°n (заметим [10, с. 77−78], что на пространстве для любого функционала (р: М. п R функционалы ip-a.Jp принадлежат первому классу Бэра). А. Н. Ветохиным [11] установлено, что при п > 1 функционалы Лг-, г = 1,., п, не принадлежат второму классу Бэра на пространстве М. сп (при п = 1 функционал A. i принадлежит второму классу Бэра на Из результатов Р. Э. Винограда [15] и В. М. Миллионщикова [29] вытекает принадлежность миноранты Ах младшего показателя Ляпунова для произвольного п третьему классу Бэра. И. Н. Сергеевым [42, 43] была установлена принадлежность величин ап при п = 3 и л2 для произвольного п третьему классу Бэра на исходя из полученных выражений для значений этих величин в точке, А через семейство операторов Коши уравнения А. В. В. Быковым [3] доказано, что миноранта ап старшего показателя Ляпунова для произвольного п принадлежит третьему классу Бэра. В диссертации установлена следующая (здесь и ниже в скобках после номера теоремы указаны соответствующие утверждения, изложенные в тексте диссертации).

Теорема I (следствие 10.3). Для любых п Е N и г = 1,., п функционал Х{ принадлежит третьему классу Бэра на пространстве Л4.

Таким образом, с учетом результата А. Н. Ветохина [11], получаем, что при п > 1 миноранты Аг-, г = 1,., п, принадлежат в точности третьему классу Бэра на пространстве М.сп. Теорема I содержится в работах [7] и [35] (см. также [34]).

Для любого i = 1 миноранта (Аг)(А) осуществляет нижнюю границу подвижности мажоранты А-(А) уравнения, А 6 Мп при равномерно малых возмущениях.

О. Г. Илларионовой [21] получено выражение для величины (Ап) через семейство операторов Коши уравнения А, содержащее три предельных перехода, однако функционалы семейства, от которого берутся эти предельные переходы, не являются непрерывными (и даже полунепрерывными) на М-пВ работе [13] А. Н. Ветохиным установлено, что функционал (Ап) для произвольного п > 1 не принадлежит второму классу Бэра на пространстве, а В. В. Быковым [5] доказана принадлежность величины (Ап) для всякого п > 1 третьему классу Бэра на пространстве Мсп. Аналогичный факт для остальных показателей (Аг), г = 1,., n — 1, устанавливает.

Теорема II (следствие 10.4) — Для любых п? N иг = 1 ,., гг функционал (А,-) принадлежит третьему классу Бэра на пространстве Мс.

J п.

Теорема II опубликована в работе [39].

Определение 1.5 [20]. Нижним i-м а-показателем Изобова уравнения (1.1) называется величина.

Ai (A)= inf Ai{A + B), где г' = 1,., п, сг>0, а? ст — множество оператор-функций В, каждая из которых для какой-нибудь константы С > 0 удовлетворяет условию.

B (t) < Ce~at, t e R+.

Нижние сг-показатели Изобова отвечают за стабилизируемость и не-стабилизируемость уравнения экспоненциально убывающими (с фиксированным показателем — а) возмущениями. Так, если для уравнения A G Мп величина Д™(А) отрицательна, то это уравнение стабилизируемо возмущениями В Е, а если положительна — то не стабилизируемо.

В.В.Быковым [4] установлено, что функционал Д&tradeдля произвольного п принадлежит второму классу Бэра на М.сп. Вопрос для остальных показателей Д^., г = 1,., n — 1, решает.

Теорема III (следствие 11.2). Для любых п? N, г = 1,., п и, а > 0 функционал Ага принадлежит второму классу Бэра на пространстве .

Теорема III напечатана в работе [36].

Определение 1.6 [20]. Нижним i-м показателем Изобова уравнения (1.1) называется величина.

Аг (А)= Ы{(А +В), 8 где г = 1,. ., n, а? — множество оператор-функций J5, каждая из которых для каких-нибудь С > 0 и, а > 0 удовлетворяет условию.

B (t).

Нижние показатели Изобова, подобно нижним сг-показателям Изо-бова, отвечают за стабилизируемость и нестабилизируемость уравнения экспоненциально убывающими (но уже с произвольным показателем —а) возмущениями.

В.В.Быковым [3] доказано, что функционал Дп для произвольного п принадлежит второму классу Бэра на Мсп. Аналогичный результат справедлив и для остальных показателей Дг, г = 1,., п — 1.

Теорема IV (следствие 11.5). Для любых п Е N и г = 1,., п функционал Аг принадлежит второму классу Бэра на пространстве.

Из результата [12] А. Н. Ветохина следует, что нижние ст-показатели Изобова и нижние показатели Изобова не принадлежат первому классу Бэра на М. сп (и даже на Ad™ при п > 1). Таким образом, с учетом теорем III и IV, получаем, что при п > 1 нижние сг-показатели Изобова и нижние показатели Изобова принадлежат в точности второму классу Бэра на пространстве.

Определение 1.7. Пусть М. — топологическое пространство. Для каждого, а 6 N0 обозначим через и Ф^ир классы функционалов, действующих из М. в R, получаемые следующим образом: класс Ф1^ состоит из функционалов (р, представимых в виде р (А) = inf (рт (А), АеМ, meN, а класс Ф^ир — из функционалов ср, представимых в виде р (А) = sup <�Рт (А), АеМ, meN где каждый из функционалов <рт, т е N, принадлежит какому-либо классу Ф^, ^ < а.

Для каждого a G No классы Ф1^ и Ф^ир, введенные в определении 1.7, являются промежуточными между классами Бэра Фа и Фа+1 в следующем смысле:

Ф" С Ф&tradeС Ф"+Ь фа С Ф8аир С Фа+1, Фа = Ф^ П Ф8аир.

Такая уточненная классификация рассматривалась ранее для показателей Ляпунова Аг-, г = 1,., п. Из результата А. Н. Ветохина [14] вытекает, что для любого п>1иг' = 1,., п показатель Ляпунова Аг-принадлежит в точности классу Ф1^ на пространстве Л4™

Формулируемые ниже теоремы уточняют результаты, полученные в теоремах I—IV.

Теорема V (следствие 10.1). Длл любых п? N и г = 1,., п функционал Агпринадлежит классу Ф^ на пространстве Мсп.

Теорема VI (следствие 10.2). Длл любых п Е N и i = 1 ,., п функционал (Аг) принадлежит классу Ф^ на пространстве Л4сп.

Теорема VII (следствие 11.1). Длл любых п? N, г — 1,., гг и о > 0 функционал Дгст принадлежит классу Ф11пГ на пространстве Мсп.

Теорема VIII (следствие 11.4). Длл любых п? N и г = 1,., тг функционал Аг принадлежит классу Ф1^ на пространстве М.°п.

Теоремы V, VII и VIII в иной формулировке опубликованы в [38] и [37].

Определение 1.8. Скажем, что уравнение, А? Mn ллпуновски эквивалентно уравнению В? Л4п, если справедливо равенство.

В = LAL'1 +LL'1, где L: R+ —" Aut Rn — непрерывная и кусочно непрерывно дифференцируемая оператор-функция, удовлетворяющая условиям.

L|| < +оо, ||L-1]] < +оо.

С точки зрения теории характеристических показателей, ляпунов-ски эквивалентные уравнения устроены практически одинаково. Поэтому многие авторы (см., например, обзоры [18, с. 235−236] и [19, с. 9596]) решали задачу о замене произвольного уравнения ляпуновски эквивалентным ему уравнением, которое в каком-то смысле удобнее для исследования. Так, О. Перрон доказал [49], что любое уравнение ляпуновски эквивалентно некоторому уравнению с треугольной оператор-функцией. Д. М. Гр обманом [16] и Ю. С. Богдановым [1] установлено, что для всякого уравнения существует ляпуновски эквивалентное ему кусочно постоянное уравнение. Ю. С. Богдановым [2] доказано даже более сильное утверждение о том, что всякое уравнение ляпуновски эквивалентно уравнению с кусочно постоянной матрицей, коэффициенты которой принимают лишь два значения. С. А. Мазаник [25] уточнил этот результат, показав, что для любого уравнения найдется такое число Т > О, что это уравнение ляпуновски эквивалентно некоторому уравнению с кусочно постоянной матрицей, ненулевые коэффициенты которой принимают только два значения и терпят разрывы разве лишь в точках tk = кТ, к? N.

При доказательстве теорем I—VIII потребовалось решить следующую задачу: по заданному уравнению и его произвольному возмущению построить специальное, в определенном смысле малое, кусочно постоянное или хотя бы кусочно липшицевое возмущение такое, что уравнения, полученные из исходного с помощью произвольного возмущения и соответствующего ему специального возмущения, — ляпуновски эквивалентны. Эта задача решена в теоремах IX и X, формулируемых ниже.

Для всякого R > 0 и уравнения, А 6 М. п через Ur (A) будем обозначать множество таких уравнений В? Л4п, что.

В-А||<�А (1.8).

В случае, если оператор-функция, А тождественно равна нулевому оператору, вместо Ur (A) будем писать Ur.

Обозначим через Т множество последовательностей чисел.

О = t0 < ti < t2 <.. ., 11 удовлетворяющих условию lim tk = +00. к—" — + оо.

Для всяких R > О, последовательности г Е Ти уравнения A? Л4п обозначим через Сг<�д (А) множество уравнений В = А + Q, где Q? Ur, таких, что на каждом полуинтервале [tk-i, tk), tk-i, tk? т, А-? N, оператор-функция Q постоянна.

Теорема IX (теорема 9.1). Для каждого R > О найдется такая последовательность г G Т, что для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что всякое уравнение В? Us (A), где, А? Ur, ляпуновски эквивалентно некоторому уравнению С G СТ>?(А).

Для всяких /, Г, i? > 0 и уравнения, А Е через Lipl T R (A) обозначим множество уравнений В = А + Q, где Q? ?7д, таких, что для каждого к? N и любых t, t2? [(& — 1) Т, /гТ) справедливо неравенство.

Q (t2)-Q (ti).

Теорема X (теорема 8.1). Для каждого R > 0 найдутся такие числа /, Т > 0, что для любого е > 0 существует такое 8 > 0- что всякое уравнение В? Us (A), где, А? Ur, ляпуновски эквивалентно некоторому уравнению С? LipZ T e (A).

Следует отметить, что из теоремы IX не следует теорема X, так как для последовательности т? Т из формулировки теоремы IX, вообще говоря, не существует такого числа Т > 0, что tk-tk-i=T, tk-i, tk? t, ке N.

Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук Игорю Николаевичу Сергееву за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе, а также кандидату физико-математических наук Владимиру Владиславовичу Быкову за ценные замечания и помощь в подготовке текста диссертации.

2. Используемые обозначения.

В данной работе принята двойная нумерация формул, свойств, определений, замечаний, теорем и лемм: первое число обозначает номер параграфа, второе число — это, соответственно, номер формулы, свойства, определения, замечания, теоремы или леммы.

Приведем список наиболее часто используемых обозначений с указанием мест, где они определены.

1 2 3 4 5 6 7.

8 9.

10 п — натуральное числоN — множество натуральных чиселN0 = N U {0};

R — множество действительных чиселr+ ее [0,+ос) — а] — целая часть числа a? RЛ4п — формула (1.1);

Мсп — определение 1.1- ||А||, А в Мп — формула (1.2) — Х = sup Хх, где X Е EndRn — формула (1.3) — х = 1 х|, х Е Rn — формула (1.4) — pk (A), к Е N — формула (1.5);

Е (А) — пространство решений уравнения А;

Ur{A) — формула (1.8);

Lipi tj{A) — определение 8.1;

CTir (A) — обозначение на странице 12;

Хд (1-, т) — формула (1.6);

Лг-(А) — определение 1.2- р (А), <�р (А) — определение 1.4;

Д^.(А) — определение 1.5;

Дг (А) — определение 1.6;

Фа — определение 1.3;

23) Ф^ир — определение 1.7;

24) Ка — определение 6.2;

25) Fa, Ga — определение 5.1;

26) Al = LAL-1 — LL~l — формула (3.1);

27) C (ei,., ek) — линейная оболочка векторов ei,. ., е/~ некоторого векторного пространства;

28) вА (а, г) — в условии леммы 4.1;

29) I — тождественный оператор на пространстве Rn;

30) ?(х, у) € [0,7г] — угол между ненулевыми векторами х и у из пространства Rn;

31) l (M, N)= inf l (x, y)—угол между множествами М, N С Rn.

1. Богданов Ю. С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1955. 104, Ш. С. 813−814.

2. Богданов Ю. С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах // Дифференц. уравнения. 1965. 1, № 6. С. 707−716.

3. Быков В. В. Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова. Дисс.. канд. ф.-м. наук. — М.: МГУ, 1998.

4. Быков В. В. Некоторые изменения к ранее сделанным докладам // Дифференц. уравнения. 1998. 34, № 11. С. 1575−1576.

5. Быков В. В. О бэровском классе миноранты верхнего центрального показателя // Дифференц. уравнения. 1999. 35, № 6. С. 855.

6. Быков В. В. О верхне-предельных функционалах // Дифференц. уравнения. 2002. 38, № 6. С. 852.

7. Быков В. В., Салов Е. Е. О классе Бэра минорант показателей Ляпунова // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003.т. с. зз-40.

8. Былое Б. Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы дифференциельных уравнений // Дифференц. уравнения. 1970. 6, № 2. С. 243−252.

9. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., ГробманД.М., НемыцкийВ.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: Наука, 1966.

10. Бэр Р. Теория разрывных функций. — М.-Л.: ГТТИ, 1932.

11. Ветохин А. Н. О классе Бэра минимальных показателей // Дифференц. уравнения. 1995. 31, № 12. С. 2090.13.