Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Введение

Базовые знания в области информатики и практические навыки работы на персональном компьютере позволяют эффективно применять современное программное обеспечение для решения прикладных задач в области экологии. В данной курсовой работе проводится аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Расчеты проведены при помощи программ Microsoft Excel и Turbo Pascal.

Задание Функция y = f (x) задана таблицей 1.

Таблица 1

Требуется выяснить — какая из функций — линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

Поскольку в данном примере каждая пара значений (хi, yi) встречается один раз, то корреляционная таблица примет вид единичной матрицы. Значит условные средние yi совпадают со значениями yi. Отсюда следует, что корреляционные отношение n2y/x равно 1 и следовательно между x и y существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные приводим в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Exel.

Таблица 2

Практическая часть Аппроксимируем функцию y = f (x) линейной функцией y = a1 + a2x. Для определения коэффициентов a1 и a2 воспользуемся системой (1):

n n

a1n + a2? xi = ?yi

i=1 i=1

n n n

a1?xi + a2? xi2 = ?xiyi (1)

i=1 i=1 i=1

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26, D26, запишем систему (1) в виде:

25a1 + 95,93a2 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 = 11 850,65

Решив которую, получим a1 = -88,9208, a2 = 44,9600

Таблица 3

Таким образом, линейная аппроксимация примет вид

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией. Для определения коэффициентов, и воспользуемся системой (2).

Используя итоговые значения таблицы 2, запишем эту систему в виде:

25a1 + 95,93a2 + 453,31a3 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 + 2417,57a3 = 11 850,65

453,31a1 + 2417,57a2 + 13 982,99a3 = 71 327,34

решив которую, получим a1 = 1 066 362, a2 = -18,92 451, a3 = 8,2 723

Таблица 4

Таким образом, квадратичная аппроксимация примет вид у=10,66 362+(-18,92 451х)+8,02723x²

Аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией. Для определения коэффициентов a1 и a2 прологарифмируем значения yi и, используя итоговые суммы таблицы 2, получим систему:

25c + 95,93a2 = 90,98

95,93c + 453,31a2 = 415,08

где c=ln (a1).

Найдем c = 0,6677, a2 = 0,7744.

После потенцирования получим a1 = 1,9497.

Таблица 5

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид у = 1,9497 e0,7744x

Вычислим среднее арифметическое x и y по формулам:

; .

Результаты расчета представлены в таблице 6.

Таблица 6

Чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности, необходимо заполнить таблицу 7.

Таблица 7

Коэффициент корреляции подсчитывается по формуле :

где, ,

и — среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

только для линейной аппроксимации.

Коэффициент детерминированности считаем по формуле :

Результаты расчетов представлены в таблице 8.

Таблица 8

ВЫВОД: Из результатов расчетов видно, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом отражает зависимость экспериментальных данных, так как коэффициент детерминированности для этой аппроксимации ближе к 1, чем в других случаях.

Графики аппроксимация функция детерминированность уравнение Рассмотрим результаты эксперимента. Пользуемся таблицей 1.

Исследуем характер зависимости в три этапа:

построим график зависимости.

построим линию тренда (, ,).

получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.

Сравнивая результаты, полученные графически, видим, что они полностью совпадают с вычислениями, произведенными выше. Это говорит о том, что вычисления верны.

Примечание: полученное при построении линии регрессии значение коэффициента детерминации для экспоненциальной зависимости R2= 0.946 не совпадает с истинным значением R2=0.421, поскольку при вычислении коэффициента детерминации используются не истинные значения yi, а преобразованные ln yi с дальнейшей линеаризацией.

ПОЛУЧЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

Для построения числовых характеристик пользуемся функцией ЛИНЕЙН. Функция ЛИНЕЙН использует метод наименьших квадратов для определения наилучшей аппроксимации данных. Точность линейной аппроксимации, вычисленной при помощи этой функции, зависит от разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем точность выше.

Результаты представлены в таблице 9.

Таблица 9.

Величины в ячейках A65 и B65 характеризуют соответственно наклон и сдвиг.

A67- коэффициент детерминированности.

A68- F-статистика.

B68 — число степеней свободы.

A69 — регрессионная сумма квадратов.

B69 — остаточная сумма квадратов.

Заключение

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные, т.к. согласно таблице 8 коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации — 0,86 273; квадратической аппроксимации — 0,98 103; экспоненциальной аппроксимация — 0,42 058.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим, что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln (y) с дальнейшей линеаризацией.

1, Книга «Word и Excel. Самоучитель Левина в цвете» 2-е изд. Автор Левин А. Издательство «Питер» 224 стр.

2, Word 2010. Создание и редактирование текстовых документов Автор: П. П. Мирошниченко, А. И. Голицын, Р. Г. Прокди Год издания: 2010 Издат.: Наука и техника Страниц: 192 стр.

Приложение 1

Фрагмент отчета