Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

КурсоваяПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Базовые знания в области информатики и практические навыки работы на персональном компьютере позволяют эффективно применять современное программное обеспечение для решения прикладных задач в области экологии. В данной курсовой работе проводится аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Расчеты проведены при помощи программ Microsoft Excel и Turbo Pascal. Для построения числовых… Читать ещё >

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Введение

Задание Функция y = f (x) задана таблицей 1.


аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	Функ-ция yi

0,28	1,05	2,34	9,11	3,33	29,43	4,23	86,44	5,55	187,54
0,87	2,87	2,65	16,86	3,41	37,45	4,83	90,85	6,32	200,45
1,65	6,43	2,77	17,97	3,55	42,44	4,92	99,06	6,66	212,97
1,99	8,96	2,83	18,99	3,85	56,94	5,14	120,45	7,13	275,74
2,08	8,08	3,06	23,75	4,01	75,08	5,23	139,65	7,25	321,43

Таблица 1

Требуется выяснить — какая из функций — линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

Поскольку в данном примере каждая пара значений (хi, yi) встречается один раз, то корреляционная таблица примет вид единичной матрицы. Значит условные средние yi совпадают со значениями yi. Отсюда следует, что корреляционные отношение n2y/x равно 1 и следовательно между x и y существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные приводим в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Exel.

Таблица 2


A	B	C	D	E	F	G	H	I
0,28	1,05	0,08	0,29	0,02	0,01	0,08	0,05	0,01
0,87	2,87	0,76	2,50	0,66	0,57	2,17	1,05	0,92
1,65	6,43	2,72	10,61	4,49	7,41	17,51	1,86	3,07
1,99	8,96	3,96	17,83	7,88	15,68	35,48	2,19	4,36
2,08	8,08	4,33	16,81	9,00	18,72	34,96	2,09	4,35
2,34	9,11	5,48	21,32	12,81	29,98	49,88	2,21	5,17
2,65	16,86	7,02	44,68	18,61	49,32	118,40	2,82	7,49
2,77	17,97	7,67	49,78	21,25	58,87	137,88	2,89	8,00
2,83	18,99	8,01	53,74	22,67	64,14	152,09	2,94	8,33
3,06	23,75	9,36	72,68	28,65	87,68	222,39	3,17	9,69
3,33	29,43	11,09	98,00	36,93	122,96	326,35	3,38	11,26
3,41	37,45	11,63	127,70	39,65	135,21	435,47	3,62	12,35
3,55	42,44	12,60	150,66	44,74	158,82	534,85	3,75	13,31
3,85	56,94	14,82	219,22	57,07	219,71	843,99	4,04	15,56
4,01	75,08	16,08	301,07	64,48	258,57	1207,29	4,32	17,32
4,23	86,44	17,89	365,64	75,69	320,16	1546,66	4,46	18,86
4,83	90,85	23,33	438,81	112,68	544,24	2119,43	4,51	21,78
4,92	99,06	24,21	487,38	119,10	585,95	2397,89	4,60	22,61
5,14	120,45	26,42	619,11	135,80	698,00	3182,24	4,79	24,63
5,23	139,65	27,35	730,37	143,06	748,18	3819,83	4,94	25,83
5,55	187,54	30,80	1040,85	170,95	948,79	5776,70	5,23	29,05
6,32	200,45	39,94	1266,84	252,44	1595,40	8006,45	5,30	33,50
6,66	212,97	44,36	1418,38	295,41	1967,42	9446,41	5,36	35,71
7,13	275,74	50,84	1966,03	362,47	2584,39	14 017,77	5,62	40,07
7,25	321,43	52,56	2330,37	381,08	2762,82	16 895,16	5,77	41,85
95,93	2089,99	453,31	11 850,65	2417,57	13 982,99	71 327,34	90,98	415,08
хi	yi	хi2	хi*yi	xi3	xi4	хi2*yi	ln (yi)	хi ln (yi)

Практическая часть Аппроксимируем функцию y = f (x) линейной функцией y = a1 + a2x. Для определения коэффициентов a1 и a2 воспользуемся системой (1):

n n

a1n + a2? xi = ?yi

i=1 i=1

n n n

a1?xi + a2? xi2 = ?xiyi (1)

i=1 i=1 i=1

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26, D26, запишем систему (1) в виде:

25a1 + 95,93a2 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 = 11 850,65

Решив которую, получим a1 = -88,9208, a2 = 44,9600

Таблица 3


A	B	C	D
	95,93	2089,99
95,93	453,31	11 850,65


0,21 280	— 0,4 503	а1=	— 88,9208
— 0,4 503	0,1 174	а2=	44,9600

Таким образом, линейная аппроксимация примет вид



у=-88,9208+44,9600х

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией. Для определения коэффициентов, и воспользуемся системой (2).

Используя итоговые значения таблицы 2, запишем эту систему в виде:

25a1 + 95,93a2 + 453,31a3 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 + 2417,57a3 = 11 850,65

453,31a1 + 2417,57a2 + 13 982,99a3 = 71 327,34

решив которую, получим a1 = 1 066 362, a2 = -18,92 451, a3 = 8,2 723

Таблица 4


A	B	C	D	E
	95,93	453,31	2089,99
95,93	453,31	2417,57	11 850,65
453,31	2417,57	13 982,99	71 327,34

0,6327	— 0,31 439	0,3 385	а1=	10,66 362
— 0,3144	0,18 453	— 0,2 171	а2=	— 18,92 451
0,0338	— 0,2 171	0,273	а3=	8,2 723

Таким образом, квадратичная аппроксимация примет вид у=10,66 362+(-18,92 451х)+8,02723x²

Аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией. Для определения коэффициентов a1 и a2 прологарифмируем значения yi и, используя итоговые суммы таблицы 2, получим систему:

25c + 95,93a2 = 90,98

95,93c + 453,31a2 = 415,08

где c=ln (a1).

Найдем c = 0,6677, a2 = 0,7744.

После потенцирования получим a1 = 1,9497.

Таблица 5


A	B	C	D
	95,93	90,98
95,93	453,31	415,08

	с=	0,6677
0,21 280	— 0,4 503	а2=	0,7744
— 0,4 503	0,1 174	а1=	1,9497

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид у = 1,9497 e0,7744x

Вычислим среднее арифметическое x и y по формулам:

; .

Результаты расчета представлены в таблице 6.

Таблица 6


	A	B
	Хср=	3,8372
	Уср=	83,5996

Чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности, необходимо заполнить таблицу 7.

Таблица 7


A	B	J	K	L	M	N	O
0,28	1,05	293,645	12,65 367	6814,436	5987,9765	24,4441	1,8818
0,87	2,87	239,541	8,80 428	6517,268	2774,7222	6,7335	0,9107
1,65	6,43	168,785	4,78 384	5955,147	448,0357	26,3958	0,3207
1,99	8,96	137,874	3,41 215	5571,070	70,7359	17,3682	0,0206
2,08	8,08	132,703	3,8 775	5703,210	12,1387	4,2039	2,8248
2,34	9,11	111,526	2,24 161	5548,701	51,4882	1,4986	7,9958
2,65	16,86	79,233	1,40 944	4454,174	178,5730	0,0006	2,8338
2,77	17,97	70,040	1,13 892	4307,244	311,4631	3,4777	1,7306
2,83	18,99	65,075	1,1 445	4174,400	373,4910	5,7914	2,3823
3,06	23,75	46,515	0,60 404	3581,975	620,3441	17,3755	8,4231
3,33	29,43	27,475	0,25 725	2934,346	983,8198	52,2462	13,9447
3,41	37,45	19,715	0,18 250	2129,786	725,9091	4,0904	102,2541
3,55	42,44	11,821	0,8 248	1694,113	797,8984	4,8610	143,3219
3,85	56,94	— 0,341	0,16	710,734	741,7500	0,0231	342,3946
4,01	75,08	— 1,472	0,2 986	72,584	265,3212	126,0007	996,9257
4,23	86,44	1,116	0,15 429	8,068	219,6288	148,7578	1214,7776
4,83	90,85	7,198	0,98 565	52,568	1397,7026	245,6958	76,6489
4,92	99,06	16,741	1,17 246	239,024	1103,7185	163,9776	121,8680
5,14	120,45	48,009	1,69 729	1357,952	471,9084	25,1788	258,6007
5,23	139,65	78,067	1,93 989	3141,647	43,1629	70,4516	769,9408
5,55	187,54	178,029	2,93 368	10 803,607	725,3842	1200,5291	1951,0602
6,32	200,45	290,116	6,16 430	13 654,016	27,2879	126,2827	3577,4085
6,66	212,97	365,187	7,96 820	16 736,700	6,0388	767,7885	15 795,8684
7,13	275,74	632,680	10,84 253	36 917,933	1944,4749	65,1469	44 766,9232
7,25	321,43	811,668	11,64 720	56 563,299	7121,8415	677,9664	45 516,7965
95,93	2089,99	3830,945	85,20 790	199 644,003	27 404,8153	3786,2861	115 678,0580
		суммы	Остаточные суммы
		(Х-Хср)*(У-Уср)	(Х-Хср)^2	(У-ср)^2	линейн.	квадр.	экспон

Коэффициент корреляции подсчитывается по формуле :

где, ,

и — среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

только для линейной аппроксимации.

Коэффициент детерминированности считаем по формуле :

Результаты расчетов представлены в таблице 8.

Таблица 8


	A	B
	коэфицент корреляции	0,92 883
	коэффицент детермированности (линейная апроксимация)	0,86 273
	коэффицент детермированности (квадратная апроксимация)	0,98 103
	коэффицент детермированности (экспонеециальная апроксимация)	0,42 058

ВЫВОД: Из результатов расчетов видно, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом отражает зависимость экспериментальных данных, так как коэффициент детерминированности для этой аппроксимации ближе к 1, чем в других случаях.

Графики аппроксимация функция детерминированность уравнение Рассмотрим результаты эксперимента. Пользуемся таблицей 1.

Исследуем характер зависимости в три этапа:

построим график зависимости.

построим линию тренда (, ,).

получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.

Сравнивая результаты, полученные графически, видим, что они полностью совпадают с вычислениями, произведенными выше. Это говорит о том, что вычисления верны.

Примечание: полученное при построении линии регрессии значение коэффициента детерминации для экспоненциальной зависимости R2= 0.946 не совпадает с истинным значением R2=0.421, поскольку при вычислении коэффициента детерминации используются не истинные значения yi, а преобразованные ln yi с дальнейшей линеаризацией.

ПОЛУЧЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

Для построения числовых характеристик пользуемся функцией ЛИНЕЙН. Функция ЛИНЕЙН использует метод наименьших квадратов для определения наилучшей аппроксимации данных. Точность линейной аппроксимации, вычисленной при помощи этой функции, зависит от разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем точность выше.

Результаты представлены в таблице 9.

Таблица 9.


	A	B
	44,9600	— 88,9208
	3,7395	15,9235
	0,8627	34,5183
	144,5549
	172 239,19	27 404,815

Величины в ячейках A65 и B65 характеризуют соответственно наклон и сдвиг.

A67- коэффициент детерминированности.

A68- F-статистика.

B68 — число степеней свободы.

A69 — регрессионная сумма квадратов.

B69 — остаточная сумма квадратов.

Заключение

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные, т.к. согласно таблице 8 коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации — 0,86 273; квадратической аппроксимации — 0,98 103; экспоненциальной аппроксимация — 0,42 058.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим, что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln (y) с дальнейшей линеаризацией.

1, Книга «Word и Excel. Самоучитель Левина в цвете» 2-е изд. Автор Левин А. Издательство «Питер» 224 стр.

2, Word 2010. Создание и редактирование текстовых документов Автор: П. П. Мирошниченко, А. И. Голицын, Р. Г. Прокди Год издания: 2010 Издат.: Наука и техника Страниц: 192 стр.

Приложение 1

Фрагмент отчета

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой