Основы линейной алгебры

1. Определители, их вычисление и свойства

Определитель n — го порядка обозначается символом:

,

где - элементы определителя, горизонтальные ряды элементов определителя называются его строками, вертикальные столбцами. Для элемента индекс i — номер строки, j — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Элементы составляют главную диагональ, а элементы - побочную диагональ.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1) — го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием i — ой строки и j — го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком, т. е. .

При n = 1 определитель состоит из одного элемента и равен значению этого элемента: .

При n? 2 определителем n-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Например, запишем разложение определителя по элементам первой строки:

(1)

Применяя формулу (1), можно получить формулу для вычисления определителей второго и третьего порядков.

.

Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле треугольников:

Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак плюс имеют произведения элементов главной диагонали и два произведения элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали (схема I, рис. 1). Знак минус имеют произведение элементов побочной диагонали и два произведения элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали (схема II, рис. 1).

I II

Рис. 1

Свойства определителей (верны для определителей любого порядка)

1) При транспонировании, т. е. замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, величина определителя не изменится (равноправность строк и столбцов).

2) При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.

3) Определитель равен нулю, если а) все элементы какого-либо столбца (строки) равны нулю;

б) элементы двух столбцов (строк) одинаковы;

в) элементы двух столбцов (строк) пропорциональны.

4) Умножение всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя на одно и то же число равносильно умножению на определителя.

5) Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей следующим образом:

6) Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель .

Шестое свойство применяется при вычислении определителей любого порядка (n 2) по формуле (1). Оно позволяет все элементы какого-либо столбца (строки), кроме одного, сделать равными нулю. Затем определитель вычисляется разложением по элементам этого столбца (строки). Тем самым сводят его вычисление к нахождению определителя меньшего порядка. Повторяя этот прием, получают определитель второго или третьего порядка, который вычисляется непосредственно.

2. Алгебра матриц

Матрицей размеров m, n называется таблица из m n чисел, расположенных в m строк и n столбцов:

.

Две матрицы и одного размера называются равными, если все соответствующие их элементы равны, то есть .

Суммой двух матриц и одного размера называется новая матрица имеющая те же размеры, и элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, то есть

.

Произведением матрицы на число называется новая матрица, элементы которой равны произведению элементов данной матрицы на число, то есть .

Пусть даны две матрицы и, причем число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы на матрицу B называется новая матрица, число строк которой равно числу строк матрицы A,

а число столбцов числу столбцов матрицы B. Чтобы получить элемент матрицы, надо элементы - ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы - го столбца матрицы B и результаты сложить.

.

Перестановочным свойством умножение матриц не обладает.

Матрица называется обратной квадратной матрице A, если выполняется равенство:

;

, где E единичная матрица.

Для того чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, то есть чтобы определитель .

Обратная матрица определяется по формуле:

,

где - алгебраические дополнения элементов в определителе. Отметим, что алгебраические дополнения входят в обратную матрицу в транспонированном порядке по сравнению с элементами данной матрицы A.

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида и (при). Умножая первое уравнение на слева, а второе уравнение на справа, получим их решение в виде: и .

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы A называется следующие действия:

1) перестановка двух строк;

2) умножение какой-либо строки на число ;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число .

Элементарными преобразованиями второго рода матрицы A называются аналогичные действия со столбцами.

Рангом матрицы A называется максимальный порядок () отличных от нуля миноров матрицы A.

Ранг матрицы A можно вычислить последовательным нахождением его миноров, начиная с максимальных. Однако удобнее использовать свойство ранга: ранг матрицы не меняется при любых элементарных преобразованиях этой матрицы.

3. Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(1)

Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один свободный член не равен нулю.

Формулы Крамера

Если число уравнений линейной системы равно числу неизвестных (m = n) и главный определитель системы

,

то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

,

где определитель n-го порядка (i = 1,2,…, n) получается из главного определителя системы путем замены - го столбца столбцом свободных членовb₁, b₂,…, b_n.

Решение линейной системы с помощью обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными. Ее можно записать в матричной форме AX=B, где A = - матрица из коэффициентов при неизвестных, а B и X — столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица A невырожденная, т. е. определитель, то умножая обе части матричного уравнения AX=B на обратную матрицу A^-1 слева, получаем решение системы в матричной форме X=A^-1B.

Метод Гаусса

Метод Гаусса метод последовательного исключения неизвестных. Он применим для любого числа уравнений с любым числом неизвестных. Этот метод позволяет выяснить, имеет ли система единственное решение, множество решений или не имеет решений. Критерий совместности линейной системы уравнений с неизвестными (1) можно установить с помощью понятия ранга матрицы.

Теорема Кронекера Капелли.

Для того чтобы система (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы (A|B), полученной из матрицы приписыванием столбца свободных членов.

Практически эту теорему удобно применять следующим образом. Выписать расширенную матрицу (A|B) и, производя над ней элементарные преобразования только первого рода (что равносильно соответствующим действиям над уравнениями системы (1)), привести ее к треугольному виду

Если в матрице окажется, что, то данная система (1) несовместна, так как .

Если же, то система совместна, и ее решение можно найти из треугольной системы .

Однородная система линейных уравнений

Система линейных уравнений (1) называется однородной, если все свободные члены .

Однородная система всегда совместна, т.к. она всегда имеет нулевое решение .

Если главный определитель однородной системы n уравнений с n неизвестными, то система имеет единственное нулевое решение. Если же, то однородная система линейных уравнений имеет множество решений.

4. Векторная алгебра

Основные определения

Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок. Он определяется заданием начала A и конца B. Обозначается вектор или .

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Модуль вектора или - это его длина, вычисленная при выбранном масштабе.

Если, то вектор называется единичным.

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если и .

Два вектора называются противоположными, если и .

В определении равенства векторов не участвует точка приложения векторов. Такие векторы называются свободными. Свободные векторы можно переносить в любую точку пространства. Например, несколько свободных векторов можно привести к общему началу (рис. 2) или расположить их в цепь друг за другом (рис. 3).

Рис. 2 Рис. 3

Векторы называются компланарными, если они после приведения к общему началу лежат в одной плоскости.

Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов и, расположенных в цепь, называется замыкающий вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго вектора (правило треугольника). (Рис. 4).

Рис. 4

Правило треугольника распространяется на любое число слагаемых: суммой векторов, расположенных в цепь, является замыкающий вектор (рис. 5).

Рис. 5

Если векторы и приведены к общему началу, то их суммой является диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах, как на сторонах, и исходящая из их общего начала (правило параллелограмма) (Рис. 6).

Рис. 6

Разностью приведенных к общему началу векторов и является вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора (рис. 7).

Рис. 7

Произведением вектора на число называется новый вектор, который удовлетворяет трем условиям:

1) ;

2) ;

3), если л > 0,

, если л < 0.

Если ненулевой вектор разделим на число, то получим единичный вектор направления, т. е.

Декартовы прямоугольные координаты векторов в пространстве

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба и трех пересекающихся в точке О (точка О — начало координат) взаимно перпендикулярных осей: Оx — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат. Положение координатных осей Ox, Oy, Oz задается с помощью единичных векторов, которые называются базисными векторами или ортами (рис. 8).

Рис. 8

В пространстве вектор может быть разложен по базису, т. е. может быть представлен в виде:

.

Коэффициенты этого разложения называются координатами вектора .

Геометрически координаты вектора являются проекциями вектора на координатные оси: (рис. 8).

Если даны координаты точек и, то координаты вектора получаются вычитанием из координат его конца M₂соответствующих координат начала M₁:

.

Если над векторами производятся линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число), то такие же действия производятся и над их координатами.

Если векторы и коллинеарны (), то их координаты пропорциональны:

.

Длина вектора вычисляется по формуле:

.

Единичный вектор направления имеет координаты:

.

Направление вектора определяется углами, которые образует вектор с осями координат. Направляющие косинусы служат координатами единичного вектора:

, .

Направляющие косинусы связаны соотношением:

.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть точка делит отрезок между точками и в отношении, тогда радиус-вектор точки M выражается через радиусы-векторы и его концов по формуле: .

Отсюда получаются координатные формулы:

, .

В частности, если точка M делит отрезок M₁M₂ пополам, то л = 1 и

,

то есть

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число (скаляр), равное произведению их модулей на косинус угла между ними

.

Скалярное произведение силы на вектор равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по прямолинейному пути, то есть Свойства и приложения скалярного произведения

1)

2)

3)

4) Если и ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда .

5) Если, то то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Отсюда следует формула

6)

Если, то скалярное произведение векторов и выражается через координаты перемножаемых векторов по формуле

7) Косинус угла между векторами и определяется по формуле

8) Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию на него другого вектора Отсюда следует, что

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется такой третий вектор, модуль и направление которого определяются условиями:

1)

2)

3) Векторы образуют правую тройку, те есть если смотреть с конца вектора, то кратчайший поворот вектора к вектору совершается против часовой стрелки (рис. 10).

Рис. 10

Если - сила, приложенная к точке В, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и, то есть

Свойства и приложения векторного произведения

линейный уравнение матрица определитель

1)

2)

3)

4) Если, то В частности,

5) Если

то векторное произведение векторов и выражается через координаты перемножаемых векторов по формуле

.

6) Если векторы и неколлинеарны и приведены к общему началу, то модуль векторного произведения равен площади построенного на них параллелограмма (рис. 10)

Площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, вычисляется по формуле

Смешанное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других Если, то смешанное произведение выражается через координаты перемножаемых векторов по формуле

(1)

Если некомпланарные векторы приведены к общему началу, то абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах, как на ребрах:

Объем треугольной пирамиды вычисляется по формуле Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: