Основы математического анализа

Правительство РФ Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Кафедра высшей математики

Домашнее задание № 2

по математике на тему:

«Основы математического анализа»

Москва 2011

Задание № 1

Найти/вычислить (если существуют) пределы:

а); б); в) ;

г); д); е); ж).

Решение:

a) =

б) =

в)=

г)=

д)

е) =

ж) =

Задание № 2

а) найти по определению f '(-3), если ;

б) продифференцировать: б.1); б.2); б.3)

в) доказать, что функция (С₁, С₂ — const) удовлетворяет уравнению 2y" - 9y' + 4y =0.

Решение:

а) найти по определению f '(-3), если ;

.

Возьмем произвольное значение аргумента х, дадим ему приращение, получив новое значение :

.f

'(x)=

f '(-3)=

б) продифференцировать: б.1); б.2); б.3)

б.1) ;

б.2)

Прологарифмируем обе части равенства:

Продифференцируем обе части равенства:

Из этого следует, что:

б.3)

в) Доказать, что функция (С₁, С₂ — const) удовлетворяет уравнению 2y" - 9y' + 4y =0.

Доказательство:

Подставим найденные значения в уравнение

:

следовательно, функция (С₁, С₂ — const) удовлетворяет уравнению 2y" - 9y' + 4y =0

Задание №3

Исследовать функцию и построить график:

а) б).

Исследование:

а) ;

1) Область определения:

2)Область допустимых значений:

3)Четность, нечетность:

Функция f (x) называется нечетной, если для любого х входящего область определения данной функции выполняется равенство: .

Функция f (x) называется четной, если для любого х входящего в область определения данной функции выполняется равенство:

Функция симметрична относительно 0, значит, имеет смысл проверить ее на нечетность:

Проверим функцию на четность:

Следовательно, функция ни четная, ни нечетная (общего вида)

4) Периодичность:

Функция у=f (х) называется периодичной, если существует такое число Т, что для любого верно равенство. Т называют периодом функции у= f (х).

5) Непрерывность:

Определение непрерывности:

Следовательно, функция непрерывна на всей области определения.

6) Точки максимума и минимума:

Если, то:

Таким образом:

— функция возрастает;

— функция убывает;

— функция возрастает;

Значит:

— точка максимума (смена знака с «+» на «-»);

— точка минимума (смена знака с «-» на «+»);

7) Ограниченность:

Наибольшим/наименьшим значением функции на некотором промежутке может быть максимум/минимум функции на этом промежутке, а могут быть значения (предельные) на концах промежутка.

Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

8) Выпуклость/вогнутость и точки перегиба:

;

при Проверим на них знак второй производной функции, чтобы узнать характер кривой:

При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, при функция выпукла, а при — вогнута

9) Пересечения с осями координат:

Пересечение кривой с осью Оy:

;

Найдем пересечение кривой с осью Ox:

10) Интервалы знакопостоянства:

Необходимо найти интервалы, при которых :

при

при

11) Асимптоты:

Функция непрерывна на всей области определения, точек разрыва 2го рода нет, следовательно, вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты:

где

;

;

Наклонных асимптот нет.

12) Сводная таблица:

13) График по результатам исследования:

б) ;

1) Область определения:

2) Область допустимых значений:

3) Четность/Нечетность:

Функция f (x) называется нечетной, если для любого х входящего область определения данной функции выполняется равенство: .

Функция f (x) называется четной, если для любого х входящего в область определения данной функции выполняется равенство:

Проверим функцию на нечетность:

Проверим функцию на четность:

Следовательно, функция ни четная, ни нечетная (общего вида)

4) Периодичность:

Из уравнения видно, что не существует таких T, удовлетворяющих условию, следовательно, функция не периодична.

5) Непрерывность:

Проверим точки

Функция терпит разрыв в точках и разрыв этот 2-го рода.

6) Точки максимума/минимума:

Если, то

Из этого следует, что эта функция не имеет значений

7) Ограниченность:

Из 6 пункта следует, что функция не ограничена

8) Выпуклость/вогнутость, точки перегиба:

Используя полученные данные, найдем точку перегиба:

При переходе через точку x = 1 вторая производная меняет знак, следовательно, — точка перегиба.

— вогнута

— выпукла

9) Пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Оy:

Пересечение с осью Ox:

10) Интервалы знакопостоянства:

Нули функции:

11) Асимптоты:

Вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва, следовательно

— двухсторонняя вертикальна асимптота.

Наклонные асимптоты:

где

;

;

Для правой асимптоты:

Следовательно, наклон ой асимптоты нет

12) Сводная таблица:

13) График по результатам исследования:

Задание №4

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на .

График заданной функции не имеет точек пересечения с осью Ox, найдем точки пересечения с осью Oy:

Найдем значение функции на концах данного отрезка:

Следовательно, при х=(-1):

при х=(-1):

Задание № 5

Найти:

а); б); в); г) ;

д).

Решение:

а) б)

в) г)

д) Вычислим отдельно интеграл:

Отсюда следует, что:

Задание № 6

Вычислить:

а); б); в)

а) б)

в)

Задание № 7

Найти все частные производные первого и второго порядка функции

Решение:

Найдем все частные производные первого порядка:

Найдем все частные производные второго порядка:

Задание № 8

Построить график фигуры, ограниченной линиями и найти (если существует) ее площадь.

Решение:

функция интервал асимптота интеграл

1) Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.— М.: Наука, 1980. — 976 c.

2) Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. — 303 с.

3) Ногин В. Д.

Введение

в математический анализ. Уч. пособие. — СПб.: Изд. СПбГТУ, 1994. — 68 с.

4) Овчинников О, Н., Шестакова Г. П.

Введение

в математический анализ. Уч. пособие. — СПб.: Изд. СПбГТУ, 1996. — 95с.

5) Тюрникова Г. В. Курс высшей математики для начинающих. Уч. пособие. — М.: ГУ-ВШЭ, 2003. — 339с.