Конечномерные идеалы в некоторых групповых алгебрах

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Конечномерные идеалы в некоторых групповых алгебрах»

В курсе функционального анализа был выделен важный класс линейных пространств — банаховы пространства. В данной курсовой работе, будут изучаться банаховы алгебры, т. е. банаховы пространства, в которых определено умножение элементов. Наличие умножения в сочетании с линейной и метрической структурой наделяет банаховы алгебры рядом замечательных свойств.

В первой главе настоящей работы вводятся основные понятия, определения, свойства, приводятся примеры банаховых алгебр, разбирается понятие идеала, доказывается лемма.

Во второй главе вводится определение спектра, резольвенты, приводятся примеры.

В третьей главе доказывается теорема о фактор-алгебре, а также три леммы и их следствия.

В четвертой главе рассматриваются линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы, доказываются необходимые леммы. Также доказываются две важные теоремы об отображениях.

банаховый лемма резольвента мультипликативный

1. Определение и примеры банаховых алгебр

1.1 Банаховы алгебры, изоморфизмы банаховых алгебр

Определение 1. Линейным пространством называется непустое множество элементов, в котором введены две операции — сложение и умножение на числа.

Определение 2. Линейное пространство X называется алгеброй, если в нем введена еще одна алгебраическая операция — умножение, которое подчинено следующим аксиомам.

1. (xy) z = x (yz).

2. х (у + z) = ху + xz; (у + z) x = ух + zx.

3. а (ху) = (ах) у = х (ау).

4. Если существует элемент е € X такой, что ех = хе = х для всех х € X, то е называется единицей алгебры X, а сама алгебра называется алгеброй с единицей).

5. Если операция умножения коммутативна, т. е. если выполняется аксиома: ху = ух, то алгебру X называют коммутативной алгеброй.

Коммутативные алгебры с единицей и будут в основном объектом нашего дальнейшего рассмотрения.

Всюду в этом дополнении числовое поле, над которым рассматриваются наши алгебры, это поле С комплексных чисел.

В § 3 гл. III было введено понятие нормированного пространства, т. е. линейного пространства, снабженного нормой ||х||, удовлетворяющей трем аксиомам, сформулированным в п. 1 § 3 гл. П.

Определение 3. Нормированное пространство X называется нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей и при этом выполнены еще две аксиомы: ||е|| = 1.

||ху|| < ||x|| • ||у||.

Если нормированная алгебра X вдобавок полна (т.е. является банаховым пространством), то она называется банаховой алгеброй.

Отображение F: X > У называют гомоморфизмом алгебры X в Y, если удовлетворяются условия:

F (x + y) = Fx + Fy, (1)

F (ax) = aFx, (2)

F (xy) = Fx • Fy. (3)

Две алгебры, Х и Y, называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение F, удовлетворяющее условиям (1) — (3).

Нормированные пространства X и Y называют изометричными, если существует взаимно однозначное отображение F: X>Y, для которого выполнены условия (1) и (2) и, кроме того, ||Fx||_Y = ||х||_X.

Определение 4. Две банаховы алгебры X и Y мы назовем изометрически изоморфными, если существует алгебраический изоморфизм F: XY, являющийся изометрией X и Y как нормированных пространств.

1.2 Примеры банаховых алгебр

1. Поле С. Комплексные числа {z} доставляют простейший пример банаховой алгебры, если ввести норму формулой:

||z|| = |z| =, z = x + iy.

Комплексные числа образуют поле С. В поле С для всех элементов, кроме нуля, определено деление — операция, обратная умножению. Мы покажем в дальнейшем, что С есть единственная нормированная алгебра, являющаяся полем.

2. Алгебра С_T. Пусть Т — некоторое компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим через С_T линейное пространство всех непрерывных комплексных функций x (t), заданных на Т с обычными для функций операциями сложения и умножения на число, в котором норма определяется равенством Важным является частный случай пространства С_T, когда T — [a, b] есть отрезок вещественной прямой. Другим важным частным случаем пространства С_T является пространство Сⁿ = n-мерных комплексных векторов, т. е. функций на пространстве из n точек. Сложение, умножение на числа и умножение элементов Сⁿ производятся покоординатно, а норма определяется формулой Алгебра С_T является коммутативной банаховой алгеброй. Единицей служит функция e (t)?1.

3. Алгебра А аналитических функций в круге. Обозначим через А линейное пространство всех функций x (z) комплексного переменного z, определенных и непрерывных в круге К?{} и аналитических внутри этого круга. Определим умножение в А как обычное умножение функций и зададим норму формулой Этим путем мы превратим А в коммутативную банахову алгебру с единицей. Справедливость всех аксиом и здесь вполне очевидна.

4. Алгебра l₁. Обозначим через l₁ совокупность всех двусторонних абсолютно суммируемых комплексных последовательностей х = (…, х_-п,…, x_-1, x_o, x₁,…, x_n,) с нормой

(4)

Произведением x•у двух таких последовательностей:

х = (…, х_-п,…, x_-1, x_o, x₁,…, x_n,)

y= (…, y_-п,…, y_-1, y_o, y₁,…, y_n,)

назовем их свертку z = х * у, т. е. последовательность, члены которой определяются так:

(5)

Если каждой последовательности х из l₁ сопоставить ряд Фурье, то последовательность, определенная формулой (5) соответствует произведению функций x (t)•y (t) построенных по последовательностям х и у. Таким образом, алгебра l₁ и алгебра W функций x (t) с абсолютно сходящимися рядами Фурье и нормой, определяемой (4), изометрически изоморфны.

Поэтому аксиомы алгебры и нормированного пространства для l₁ проверяются без труда, так как для W они верны тривиально. Проверим аксиому 7. Имеем

Алгебра W, очевидно, коммутативна, следовательно, коммутативна и алгебра l₁. Единицей в l₁ служит последовательность е, соответствующая функции e (t)? 1: У этой последовательности все компоненты суть нули за исключением компоненты с нулевым номером, которая равна единице. В дальнейшем мы будем пользоваться изоморфизмом l₁ и W и соответствием {x_n} - x (t), не оговаривая этого особо.

5. Банахова алгебра ограниченных операторов. Пусть X — банахово пространство. Рассмотрим пространство L (Х, Х) всех линейных непрерывных операторов, преобразующих X в себя, с обычными для операторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения. Единицей в L (Х, Х) служит тождественный оператор. Превратим L (Х, X) в банахову алгебру, определив норму как обычно:

||A||=||Ax||.

Алгебра L (Х, X) — один из важнейших примеров некоммутативной банаховой алгебры с единицей.

1.3 Максимальные идеалы

Определение 5. Идеалом I коммутативной алгебры X называется подпространство X, обладающее тем свойством, что для всякого у I и любого х из X произведение ух принадлежит I. Идеал, состоящий из одного нуля, а также идеал, состоящий из всего X, мы называем тривиальными и в дальнейшем исключаем из рассмотрения. Максимальным называется идеал, не содержащийся ни в каком другом нетривиальном идеале.

Введенные понятия рассмотрим на примере алгебры С_T.

Пусть F — непустое подмножество компакта T. Множество M_F ={x (t) С_T: x (t) = 0, t Т}, состоящее из функций, обращающихся в нуль на F, образует, как легко видеть, идеал в С_T. Максимальные идеалы в С_T допускают простое описание, являющееся к тому же ключом к пониманию всего замысла теории коммутативных банаховых алгебр.

Лемма 1. Максимальный идеал алгебры С_T есть совокупность всех функций из С_T, обращающихся в нуль в какой-либо одной фиксированной точке ф₀ множества Т.

Доказательство.

а) Пусть Тогда M_фo есть идеал. Покажем, что он максимален. Действительно, пусть т. е. Для любого положим:. Тогда z (ф₀)=0 и, следовательно, z (t)Итак, добавление любого элемента не из приводит к тому, что идеал, порожденный и этим элементом, становится тривиальным. Следовательно, максимален.

б) Пусть наоборот, М — какой-либо максимальный идеал из С_Т.

Покажем, что все функции, входящие в этот идеал, обращаются в нуль в некоторой точке. Действительно, если это не так, то для каждой точки найдется функция x_ф(t) M такая, что х_ф(ф)? 0. В силу непрерывности x_ф(t) по t найдется такая окрестность U_ф точки ф, что х_ф(ф)? 0 в U_ф. Из открытого покрытия выберем конечное покрытие U_ф1,…, U_фn.

Тогда в силу определения идеала принадлежит М.

В силу того, что всюду на Т, функция 1/x_o(t) будет непрерывной. Поэтому. Но идеал, содержащий единицу алгебры, содержит и любой элемент алгебры, ибо y (t) = y (t)•1. Поэтому М — тривиальный идеал, что противоречит предположению о том, что М — максимальный, а следовательно, нетривиальный идеал.

Таким образом, мы получили, что между максимальными идеалами и точками из пространства-носителя Т можно установить взаимно однозначное соответствие. Это позволяет трактовать функции на Т как «функции на пространстве максимальных идеалов».

Мы покажем, — и в этом цель излагаемой ниже теории коммутативных банаховых алгебр, — что всякая такая алгебра X допускает реализацию в виде подалгебры алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, образованном ее максимальными идеалами.

2. Спектр и резольвента

В этом параграфе алгебра X не обязательно коммутативна, но имеет единицу.

2.1 Определения и примеры

Определение. Элемент х X называется обратимым, если имеет обратный, т. е. если найдется такой элемент х^-1, что х•х^-1 = х^-1 х = е.

В противном случае элемент х называется необратимым.

Спектром у (х) элемента х X называется множество комплексных чисел л, для которых элемент л е — х необратим. Если точку л называют регулярной.

Функция определенная на множестве регулярных точек элемента x, называется резольвентой этого элемента.

Спектральным радиусом r (x) элемента xX называется число

(1)

Введенные важные понятия проиллюстрируем на примерах.

а) Если X = С, то обратимы все элементы кроме нуля.

б) Если X = С_T то для обратимости x (t) необходимо и достаточно, чтобы функция x (t) была всюду отлична от нуля. Спектр у (х) совпадает с множеством значений x (t); резольвента имеет вид

3. Некоторые вспомогательные результаты

3.1 Теорема о фактор-алгебре

Пусть X-коммутативная банахова алгебра с единицей, I — идеал в X.

Отметим, во-первых что I состоит лишь из необратимых элементов, ибо если z I обратим, то для любого xX мы получим, что, т. е. I тривиален, а этот случаи мы исключаем. Во-вторых, расстояние от единицы е до любого необратимого элемента, а значит, и до любого идеала, не меньше единицы.

Рассмотрим теперь фактор-пространство X/I и определим там операцию умножения, назвав произведением двух классов о и з из X/I тот класс ж. который содержит элемент x•у, где х и у — представители классов о и з.

Таким образом, X/I становится коммутативной алгеброй. Назовем ее фактор-алгеброй X по идеалу I.

Введем в X/I норму:

где x — представитель о.

Имеет место

Теорема 1. Если X — есть банахова алгебра, а I — замкнутый идеал в ней, то фактор-алгебра X/I также является банаховой алгеброй с единицей.

Фактор-пространство банахова пространства по любому его замкнутому подпространству является банаховым пространством. Таким образом, нам остается лишь проверить, что выполняются аксиомы 6 и 7 из п. 1 § 1:

а)

b) E=e+I, т. е. E²=e²+I=e+I, значит, Е²=Е, откуда ||E||=||E²||?||E||². Но элемент Е не эквивалентен нулю, так как окрестность точки е, как мы отметили выше, не содержит необратимых элементов, из которых состоит I. Значит, 1 ?||E||. Но, с другой стороны, ||Е|| = inf ||е + у||, т. е. ||Е|| < 1. Итак, ||Е|| = 1. Теорема доказана.

3.2 Три леммы

Нам далее понадобятся три леммы: теоретико-множественная, алгебраическая и топологическая

Лемма 1. Всякий нетривиальный идеал I содержится в максимальном идеале.

Действительно, пусть J множество всех нетривиальных идеалов, содержащих I. Оно частично упорядочено по вложению:, если. Для всякого линейно упорядоченного множества {Iб} из J объединениеесть нетривиальный идеал, служащий верхней гранью для {Iб}. Значит, в силу леммы Цорна I подчинен максимальному элементу в J т. е. максимальному идеалу.

Следствие. Если X не есть поле, то в нем имеется максимальный идеал. Более того, каждый необратимый элемент, отличный от нуля, содержится в некотором максимальном идеале.

Действительно, возьмем любой необратимый элемент и рассмотрим совокупность х₀ • X. Это есть, конечно, идеал. Он содержит х₀ и не содержит е — единицы X, т. е. не является тривиальным идеалом, следовательно, в силу леммы 1 содержится в максимальном идеале.

Лемма 2. Для того чтобы идеал I содержался в некотором нетривиальном идеале, необходимо и достаточно чтобы алгебра X/I имела нетривиальный идеал.

Докажем необходимость. Пусть

Выделим среди классов о X/I, те о'=x'+I для которых х' I'. Легко проверить, что получится нетривиальный идеал в X/I. Достаточность получается аналогично.

Лемма 3. Замыкание нетривиального идеала I есть нетривиальный идеал.

Нетривиальность следует из того, что I состоит лишь из необратимых элементов, остальное следует из непрерывности алгебраических операций.

Следствие. Максимальный идеал замкнут.

4. Основные теоремы

4.1 Линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы

Определение 1. Линейный непрерывный функционал f на банаховой алгебре X называется мультипликативным, если для любых x и y

f (x•y)=f (x)•f (y) (1)

Совокупность всех нетривиальных линейных непрерывных мультипликативных функционалов мы обозначим через М.

Заметим, что линейный непрерывный мультипликативный функционал мы могли бы определить как непрерывный гомоморфизм X в С.

Если fM, то

(2)

ибо если для некоторого х_о, по норме равного единице,

то

т.е. мы получили бы, что f не непрерывен.

Далее,

откуда либо f (e) = 0, т. е. f тривиален, либо

f (e) = 1. (3)

Из (2) и (3) следует, что нетривиальные линейные непрерывные мультипликативные функционалы имеют норму единица и, следовательно, М есть подмножество единичной сферы в сопряженном пространстве X*.

Нулевое подпространство функционала f (т.е. совокупность тех х X, для которых f (x) = 0) обозначим Ker f и назовем ядром f.

Лемма 1. Ядро Ker f при f М есть максимальный идеал.

Действительно, из у I = Ker f и x Х следует, что f (x•y)=f (x)•f (y)=0, т. е. y•x Ker f.

Таким образом, Ker f — идеал. Покажем, что Ker f — максимальный идеал. Допустим, что это не так, т. е. Ker f можно расширить до идеала I? X, содержащего х_о Ker f. Но Ker f имеет коразмерность 1. Значит, элемент е можно представить так:

е = л х₀ + у, где y Ker f Отсюда следует, что e I. Значит, I = X. Противоречие доказывает лемму.

Лемма 2. По всякому максимальному идеалу М можно однозначно построить линейный непрерывный мультипликативный функционал f М такой, что М = Ker f.

Действительно, в силу следствия из леммы 3 § 3 М — замкнутый идеал. Применив теорему 1 § 3, мы получим, что Х/М есть банахова алгебра, силу леммы 2 § 3 Х/М не имеет нетривиальных идеалов, т. е. алгебра Х/М не содержит необратимых элементов, отличных от нуля (см. следствие из леммы 1 § 3). Значит, Х/М есть поле, являющееся банаховой алгеброй.

В силу следствия 1 из теоремы 1 § 2 поле Х/М изоморфно С. Это, по определению, означает, что для любого х X найдется однозначно число f (x) C, такое, что u M.

Покажем, что f есть гомоморфизм. Докажем, например, что f (x•y)=f (x)•f (y). Имеем

x=f (x)•e+u, u M

y=f (y)•e+v, v M,

откуда

xy=f (x)•f (y) •e+w, wM

Но это и означает, что f (x • y) = f (x)•f (y). Соотношения f (x+ y) = f (x)+f (y) и f (л x) = л •f (x) доказываются аналогично. Кроме того, если x M, то из (4) следует, что f (x) = 0, а если x=e, то f (x) = 1.

Лемма доказана.

Итак, мы получили, что между максимальными идеалами {M} и функционалами f из М существует однозначное соответствие. В силу этого обстоятельства условимся функционалы из М обозначать f _м а буквой М — соответствующие им максимальные идеалы. Для множества всех максимальных идеалов {е} мы будем употреблять ту же букву М что и для соответствующего ему множества {f _м}.

Пусть х — некоторый элемент из X.

Рассмотрим функцию х (М) на множества М, задав ее формулой х (М) = f_M(x). (5)

(Значение функции х (М), построенной по элементу x, на максимальном идеале М равно числу f_M(x), т. е. значению на элементе х гомоморфизма, соответствующего идеалу М.) Мы получили реализацию элементов алгебры X в виде функций на множестве М, о которой говорили в конце § 1.

4.2 Топология в множестве М. Основные теоремы

Нам осталось доказать, что М компактно в некоторой топологии и что функции х (М) непрерывны в той же топологии.

Чуть ранее мы упомянули, что М есть подмножество единичного шара. С другой стороны, справедливо следующее утверждение.

Единичный шар пространства X*, сопряженного к банаховому пространству, компактен в * - слабой топологии.

Напомним, что * - слабая топология определяется системой окрестностей

(6)

Множество М мы рассмотрим именно в * - слабой топологии.

компактность М вытекает из сформулированного выше результата и следующей леммы.

Лемма 3. Множество М есть замкнутое подмножество единичного шара в Х*, и функции х (М) непрерывны на М.

Действительно, пусть функционал f₀ принадлежит замыканию М. Это значит, что внутри любой базисной окрестности отображения f₀ найдется гомоморфизм f_М, порожденный максимальным идеалом М. Возьмем окрестности. В силу (6) и определения х (М) мы получим

(7)

f_M(x + y) — fo (x + y)<�д.

Но f_М есть гомоморфизм, т. е.

f_М(x + y) = f_М (x)+f_М (y).

Тогда из (7) следует, что

f_o(x + y) = f_o (x) + f_o (y).

Аналогично показывается, что f_o(ax) = af_o (x) и f_o(xy) = f_o(x) f_o(y). (Надо взять окрестности и.)

Значит, f есть непрерывный линейный мультипликативный функционал. Далее, взяв окрестности U_eд (f_o), мы получим, что f₀ (е) = 1, т. е. f₀ нетривиален. Значит, f₀ М, т. е. М замкнуто.

Покажем, что функция х₀(М) = f_М(х₀) непрерывна на М.

Пусть Мо .М. Для е > 0 возьмем окрестность U_xoе (Mo). Если М U_xoе, то в силу (6) получится, что, Но это и означает непрерывность функции х₀ (М) в точке М_о.

Лемма доказана.

Заключение

В курсе функционального анализа был выделен важный класс линейных пространств — банаховы пространства. В данной курсовой работе, были рассмотрены банаховы алгебры, т. е. банаховы пространства, в которых определено умножение элементов. Наличие умножения в сочетании с линейной и метрической структурой наделяет банаховы алгебры рядом замечательных свойств.

Были введены основные понятия, определения, свойства, приведены примеры банаховых алгебр, Разобрано понятие идеала. Введено определение спектра, резольвенты, приведены примеры.

Доказана теорема о фактор-алгебре, а также три леммы и их следствия.

Рассмотрены линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы, доказаны необходимые леммы. Также доказаны две важные теоремы об отображениях.

Список использованных источников

1. Колмогоров А. Н, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, Физматлит, 2006 г.

2. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ М.: Наука, 1967 г.

3. Гельфанд И. М, Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца, М., Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 г.

4. Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств М., Гостехиздат, 1956 г.

5. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

6. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.