Обыкновенное дифференциальное уравнение ри1)' + ди = /(= Хти) (0.1) с непрерывными параметрами д (х), /(х), т (х) уже более двух столетий служит базой для описания математических моделей самых разнообразных систем и процессов из физической и инженерной практики. В XIX веке уравнение (0.1) вошло во все учебники высшей математики. Техническая революция, отнюдь не завершившаяся в XIX веке, поставила проблему распространения уравнения (0.1) на более широкие классы объектов, где параметры могут терять регулярность и, более того, оказываться обобщенными функциями. Так, если в (0.1) коэффициент д (ж) может содержать ¿-(-функции, то вся стандартная наука об обыкновенном дифференциальном уравнении (0.1) оказывается несостоятельной, так как само уравнение теряет смысл обыкновенного — оно перестает быть поточечным, так как та же-функция не определена как скалярнозначная функция и не является поэтому объектом стандартного математического анализа.
1. Попытки создания методов, пригодных для анализа нерегулярных ситуаций, начались еще в XIX веке — знаменитая задача Стилтьеса об упругой нити с бусинками. В первой, но л овине XX века был описан спектр собственных частот для колебаний упругой струны с произвольным распределением масс (см. [1]), когда «функция» т (х) определяется обобщенной производной от произвольной неубывающей функции М{х). Далее задача и" - Хти, и{0) = и{1) = 0 3 с обобщенной функцией т{х) стала объектом изучения в спектральном анализе — довольно бурно развивающемся разделе функционального анализа (см., например, [2]-[5]). Именно это направление породило теорию обобщенных функций. Интересные для приложений вопросы о качественных свойствах решений (монотонность, число экстремумов, число нулей и проч.) для методов теории распределений (обобщенных функций) оставались недоступными.
В 90-е годы прошлого века воронежцами было предложено вместо уравнения (0.1) рассматривать уравнение вида lU СС CU dy.
J d (pu) + J udQ = J dF (— A J udM), (0.2).
0 0 0 0 где функции Q{x), F{x) и M{x) имеют ограниченные вариации, являясь поточечно определяемыми стандартными функциями. Если параметры.
Q, F и М регулярны, уравнение (0.2) после дифференцирования по х принимает вид ри’У + Q’u = F'(= ХиМ'). (0Л).
В то же время в (0.2) у этих функций допускаются, например, скачки, которые при переходе от (0.2) к (0.1) дифференцированием по х неизбежно приводят к дельта-функциям. В отличие от уравнения типа (0.1) с обобщенными коэффициентами О!, Р', М' уравнение (0.2) имеет поточечный характер — все компоненты в (0.2) определены при каждом значении х. Ю. В. Покорным было предложено придать уравнению (0.2) аналогичный (0.1) вид.
0(ри') + иБО = ХиПМ), (0.3) используя так называемый дифференциал Стилтъеса, что позволяет «угадывать» свойства решений этого уравнения, аналогичные классическим свойствам уравнения (0.1). При этом символ Ид для функции ограниченной вариации д (х) предложено трактовать в виде линейного на С[а, Ь] функционала.
Тщательная проработка такого подхода к уравнениям (0.3) и (0.2) позволила перенести (см. [9]) на случай импульсных задач (см. [10]-[14]) всю осцилляционную теорию Штурма во всей полноте — от положительности и простоты всех собственных частот до точного числа и перемежаемости нулей у соответствующих собственных функций. В рамках теории обобщенных функций (распределений) подобные результаты недостижимы уже хотя бы потому, что для обобщенной функции «число нулей» является понятием неопределяемым.
2. Ю. В. Покорным была поставлена задача о распространении метода дифференциала Стилтьеса на новые классы задач, актуализированные последними десятилетиями.
Первая из них — так называемая теория динамических уравнений на временных шкалах. Эта теория, обозначаемая далее для упрощения ссылок через [ДУВШ], получила интенсивное развитие за последние пару десятилетий — в основном в работах англоязычных авторов (см. библ. в [9]). Актуальность своей тематики авторы [ДУВШ] мотивируют самыми разнообразными приложениями и интерпретациями как в области космологии, так и в области пульсирующих и эпизодически замирающих процессов в биологии и экономике. В этих работах изучаются уравнения, вполне сходные с (0.1), о.
0.4) для случая, когда аргумент решений t принадлежит «временной шкале Т» — произвольному замкнутому множеству из вещественной оси R = (—оо, оо). Здесь Д-производная xA (t) по определению означает s->t0 t}.
С математической точки зрения уравнение (0.4) — весьма интригующий объект, так как множество Т, не будучи вообще говоря связным, может быть сильно «дырявым» по типу канторова множества. Для этой явно аномальной (с точки зрения стандартных взглядов) позиции авторы [ДУВШ] конструируют теорию, внешне вполне аналогичную теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом они вынуждены развивать дифференциальное исчисление = (^f)> обратное к нему интегральное исчисление и проч. Попытка разобраться в сущности этой «новой теории» обнаружила ряд серьезных неурядиц и нелепостей, поставивших под сомнение достоверность основных достижений [ДУВШ]. Да само направление интересов [ДУВШ] ориентировалось лишь на асимптотические (при t —> сю) свойства решений — естественно, в предположении supT = оо. Ни о каких качественных свойствах решений на конечных отрезках речь в [ДУВШ] не шла. В связи с этим Ю. В. Покорным была высказана гипотеза о том, что аномальность (несвязность) области определения Т может быть преодолена введением на M = (—00, 00) некоторой меры (функции Q), в результате чего уравнение (0.4) может оказаться частным случаем уравнения (0.3), т. е. попасть в зону действия корректной теории, развитой в [9].
3. Наши основные результаты. Излагаемые далее результаты мы формулируем, пользуясь терминологией [ДУВШ]. Мы предполагаем всюду, что функции р (1), /(?), определяющие изучаемое уравнение суммируемы на Т (в [ДУВШ] они негласно предполагались непрерывными). Мы доказываем однозначную разрешимость любой начальной задачи с0, ха (? — 0) — с1 при? € Т, а также аналогичной задачи х (£) = Со, + 0) = С2- Доказываем, что соответствующее решение непрерывно зависит от начальных условий. Здесь непрерывность решений х{Ь, со, С) понимается по норме.
1Иг)||= зир МОЦ-^И*)], (0.5) т где Т7 = Т П 7 = Т П [а, Ь] и 7 = [а, Ь) — произвольный сегмент из М.
В связи с этим вводится понятие полной вариации У^х^) функции х (-) на временной шкале Т и устанавливается полнота пространства с нормой (0.5) — именно в этом пространстве обсуждаются решения уравнения (0.4). Мы показываем, что линейное многообразие решений уравнения (0.4) имеет размерность 2. Мы обсуждаем постановку краевых задач для этого уравнения, возможность интегрального представления соответствующих решений с помощью функции Грина, изучаем распределение нулей для решений дифференциальных неравенств, аналоги теорем сравнения Штурма и ряд других качественных свойств, актуальных для приложений и проигнорированных в [ДУВШ]. Заметим, что на временной шкале в силу ее разрывности стандартный взгляд на распределение нулей изначально вызывает недоумение — как сказать, например, что функция х (р), определенная в точках ?1,^2? Т, имеет между ними к перемен знака, если между ?1 и находится хотя бы одна дырка шкалы Т. В связи с этой проблемой мы вынуждены определенные на Т решения, а вместе с тем — и уравнение (0.4), непрерывно продолжать «в дырках» .
4. Уравнение (0.4) на несвязных компактах, а точнее на временных шкалах — первое и основное направление диссертационного исследования. В качестве второго мы описываем возможность распространения метода дифференциала Стилтьеса на случай обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка в классе функций ветвящегося аргумента, когда областью его изменения является геометрический граф (пространственная сеть). Уравнение с ветвящимся аргументом (изменяющимся на пространственной сети) — достаточно распространенный объект, возникающий при моделировании самых разнообразных систем и задач, как практических, так и теоретических: транспортные и коммуникационные системы, электрические и нейронные сети, системы волноводов, малые колебания сложных молекул и проч. Для случая регулярных параметров такие задачи в последние два десятилетия математиками достаточно хорошо изучены (см., например, [15], [16]). Для нерегулярных параметров подобные задачи ранее не исследовались. Основная проблема здесь — построение меры на графе, позволяющей эффективно ставить дифференциал Стилтьеса. Нас интересует возможность распространения этой теории на случай импульсных особенностей. Здесь, естественно, основная трудность, преодолеваемая в работе, связана с разумным описанием меры на графе — заданием ее с помощью функций скалярного аргумента.
Цель работы и основные задачи. Разработка методов, позволяющих устанавливать для задач с разрывным или ветвящимся аргументом основные качественные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно:
1. аналоги теорем Коши-Пикара;
2. условия непрерывной зависимости решения от параметров;
3. анализ возможности описания знакорегулярных свойств решений;
4. аналоги теорем сравнения Штурма.
Методологическая основа исследования. Диссертационная работа опирается на аппарат интеграла Стилтьеса, на обобщенное дифференцирование по Радону-Никодиму (по мере) и на классические идеи теории дифференцирования и основополагающие идеи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на методы и средства, разработанные за последние два десятилетия воронежской математической школой в области обобщенного дифференцирования и уравнений для функций ветвящегося аргумента.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. построен и обоснован метод математического моделирования, связанный с преобразованием исходной задачи на несвязном компакте (дырявом носителе) или ветвящимся аргументом к дифференциальному уравнению второго порядка с импульсными коэффициентами в классе функций, абсолютно непрерывных на всей оси М;
2. установлена полнота пространства решений подобных уравнений в классе функций, абсолютно непрерывных с производными из ВУ;
3. доказано существование меры, позволяющей строить дифференциал Стилтьеса для почти обыкновенного дифференциального уравнения.
D (pu') + uDQ = DF (= XuDM), окаймляющего исходное уравнение вида сpuA) A (x)+q (x)u (cr (x)) = f (xy,.
4. установлены аналоги теорем сравнения типа теорем Штурма, и изучен вопрос о знакоопределенности решений дифференциальных неравенств;
5. описаны аналоги понятия краевой задачи и функции Грина.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Развитые в ней методы закладывают фундаментальную базу построению для слабоизученных ранее задач с нерегулярными параметрами методов эффективного анализа самых разнообразных качественных свойств, представляющих интерес для практических задач, в том числе для обоснования алгоритмов и численных методов приближенного построения решения.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 параграфов, разбитых на пункты, и списка цитируемой литературы из 37 наименований. Общий объем диссертации — 100 стр. Дополнение выполнено в вычислительно-программном комплексе Maple.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертации удалось показать, что важные для приложений модели, описанные с помощью сингулярных параметров, могут быть вложены в разумную теорию (Рб')-уравнений, развитую в работе и внешне аналогичную классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений с регулярными параметрами и связной областью аргументов. Проделанный автором численный эксперимент подтверждает резонность такой аналогии.
