Вращательное движение

1. Вращательное движение тел (физика твердого тела)

1.1 Угловая скорость и ускорение

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

Δl = RΔφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Рисунок 1.6.1.

Линейное и угловое перемещения при движении тела по окружности.

Угловой скоростью ω тел в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

υ = ωR.

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA = υB = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

Рисунок 1.6.2.

Центростремительное ускорение тела при равномерном движении по окружности.

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

где радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения.

В этой формуле Δυτ = υ2 υ1 изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Рисунок 1.6.3.

Составляющие ускорения и при неравномерном движении тела по окружности.

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υx и υy (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, υx, υy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

Рисунок 1.6.4.

Разложение вектора скорости по координатным осям.

1.2. Момент импульса

Момент импульса частицы. Моментом импульса L частицы, А относительно точки О называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора частицы r на ее импульс р:

(9.23)

В общем случае произвольного движения частицы относительно точки О модуль вектора момента импульса равен:

(9.24)

где R — плечо импульса частицы относительно точки О (см. рис. 9.8).

Пусть частица массой m совершает вращательное движение вокруг некоторой произвольной оси Z с угловой скоростью w (см. рис. 9.9). Направление вектора момента импульса относительно произвольной точки О, расположенной на этой оси, как следует из рис. 9.9, составляет с ней угол (3 и не совпадает с направлением вектора угловой скорости. Учитывая, что вектора г и v взаимно перпендикулярны, получим выражение для расчета величины вектора момента импульса частицы относительно точки О:

(9.25) Моментом импульса частицы относительно произвольной оси Z называется проекция вектора L на эту ось. Как видно из рис. 9.9,

(9.26)

Как следует из (9.26), момент импульса частицы относительно закрепленной оси не зависит от выбора точки О на этой оси.

Момент импульса твердого тела. Рассмотрим твердое тело, совершающее вращательное движение вокруг некоторой закрепленной оси с угловой скоростью со. Моментом импульса тела называется величина, равная векторной сумме моментов импульса его частей:

(9.27)

Очевидно, что, как и для случая с частицей, проекция момента импульса i-й части тела на ось Z в соответствии с рис. 9.10 равна:

(9.28)

Произведя суммирование по всему телу и исходя из определения момента инерции, получим выражение для расчета проекции момента импульса тела на ось Z:

(9.29)

При суммировании мы учли, что проекции векторов моментов импульса каждой части тела на ось Z имеют одинаковые зна ки, т. к. для них (как следует из геометрических соображений) углы между вектором угловой скорости и моментами импульсов всегда острые. Заметим, что выражение (9.29) не зависит от выбора точки О на оси вращения.

1.3. Момент силы

Момент силы относительно произвольной точки.

Пусть частица, А движется относительно точки О под действием произвольной силы F (см. рис. 9.2).

Моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиус-вектора частицы г, проведенного из точки О в точку приложения силы F, на вектор этой силы:

(9.4)

Вектор момента силы перпендикулярен плоскости, в которой находятся r и F. Направление вектора M задается в соответствии с правилом нахождения результата векторного произведения. Вектора r и F изображают исходящими из одной точки и мысленно связывают с ними правый винт (см. рис. 9.3). Затем головку винта поворачивают по кратчайшему пути от r к F. Направление вектора M совпадает с направлением поступательного движения винта.

Величина вектора момента сил рассчитывается как

(9.5)

где — плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до продолжения линии действия силы (см. рис. 9.2).

Момент силы относительно закрепленной оси. Моментом силы относительно закрепленной оси Z называется величина, равная проекции вектора момента сил М на данную ось, взятого относительно произвольной точки О, расположенной на этой оси (см. рис. 9.4).

(9.6)

Найдем значение вектора М для твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси Z под действием силы F. Разложим эту силу на три составляющие (см. рис. 9.4):

где — составляющая силы, параллельная оси вращения;

— тангенциальная составляющая силы, расположенная в плоскости вращения;

— нормальная составляющая силы, расположенная в плоскости вращения.