Расчет дифракционного предела преломляющей рентгеновской оптики

Курсовая работа Расчет дифракционного предела преломляющей рентгеновской оптики

Открытие и применение рентгеновского излучения неразрывно связаны с техническими возможностями управления рентгеновским излучением. Возможности управления рентгеновским излучением с помощью той же техники, что и для видимой области спектра, ограничиваются с одной стороны — особенностями взаимодействия рентгеновского излучения, а с другой стороны техническими возможностями изготовления стабильных высокоточных микроструктур. Долгие годы все внимание исследователей было сосредоточено на создании рентгенооптических элементов, базирующихся на использовании полного внешнего отражения от поверхностей заданной формы или брэгговской дифракции на кристаллах и многослойных структурах. С появлением мощных синхротронных источников выяснилось, что традиционные рентгенооптические элементы не могут обеспечить фокусировку и коллимацию рентгеновского излучения в области высоких энергий. Одним из важных этапов в развитии рентгеновской оптики, можно с уверенностью считать 1996 год, когда была предложена идея использовать большое количество (от 10 до 500) преломляющих линз для уменьшения фокусного расстояния. Расчеты показывают, что диаметр таких линз не должен превышать сотен микрометров. В качестве материала для линз должны использоваться слабопоглощающие вещества.

Энергия рентгеновского излучения совпадает с энергией колебаний внутренних атомных электронов, что позволяет исследовать строение вещества, исследовать физические процессы, протекающие в звездах, термоядерной плазме. Большое поглощение рентгеновского излучения и малая длина волны позволяет применять его для анализа малоконтрастных биологических срезов, поверхностных слоев твердых тел обеспечивая разрешение равное десяткам нанометрам.

Рентгеновское излучение широко используется в литографии для производства элементов с субмикронными размерами. Речь идёт о перенесении рисунка с шаблона на поверхность полупроводниковой пластины. Если необходимо производить детали с размером менее 0,1 мкм, традиционная оптическая фотолитография не может быть использована из-за дифракционных эффектов. В отличие от электронной литографии рентгеновская литография даёт более «чёткие» изображения, так как фотоэлектроны, образующиеся в процессе экспонирования, имеют меньшую энергию и, следовательно, меньшую длину пробега. Рентгеновская микроскопия занимает промежуточное место между оптической и электронной. В отличие от оптической она обладает лучшим дифракционным разрешением и контрастом, что позволяет без предварительного окрашивания или внесения тяжёлых элементов исследовать биологические клетки, тонкие биологические срезы и плёнки. В то же время в отличие от электронной рентгеновская микроскопия не требует трудоёмкой предварительной подготовки объекта, и в принципе позволяет исследовать влажные и живые биологические образцы. Глубина проникновения рентгеновского излучения 1−10 мкм также существенно больше значения, характерного для электронных микроскопов. Традиционные рентгеновские микроскопы являются сканирующими или проекционными. Появление преломляющих линз для рентгеновского излучения позволяет разработать новый тип микроскопа в рентгеновской области спектра. Благодаря этому работы по исследованию особенностей формирования изображений в рентгеновских лучах являются перспективными и актуальными.

1. Возможности оптики

оптика дифракция линза преломляющий

Разрешающая способность оптических систем ограничена дифракцией света, в результате которой изображение бесконечно малой светящейся точки имеет вид яркого пятна (диск Эри) концентрическими тёмными и светлыми кольцами постепенно убывающей яркости. Диаметр диска Эри, в котором сосредоточено 84% всей энергии точки, имеет величину:

(1)

где л — длина волны света, А — числовая апертура.

Предел разрешения оптической системы определяется при сближении точек до такого расстояния, когда падение освещённости в промежутке между ними становится не заметным, и точки сливаются в одну. Установить однозначно этот предел трудно. Чаще всего для его определения используется критерий Рэлея, в соответствии с которым точки считаются разрешёнными, когда расстояние между ними равно радиусу диска Эйри. При этом в случае самосветящихся некогерентных излучателей освещённость в промежутке между точками составляет ~ 80% от освещённости в максимуме.

До настоящего времени в рентгеновском диапазоне не существовало изображающих объективов аналогичным в оптике, основу которых составляет преломляющая линза. Появление новой преломляющей оптики и экспериментальные работы, показывающие принципиальную возможность не только фокусировать рентгеновское излучение с энергией 5−100 кэВ, но и возможность получения изображений объектов в жестких рентгеновских лучах, делают актуальной задачу разработки изображающего рентгеновского объектива.

Глубина резкости характеризует наибольшее расстояние, измеренное вдоль оптической оси, между точками в пространстве, изображаемыми объективом достаточно резко, и определяется как:

(2)

где R_d — радиус эффективной диафрагмы преломляющей рентгеновской линзы.

Разрешающая способность характеризует возможность объектива воспроизводить изображение двух близких точек объекта. Пользуясь теорией дифракции можно вычислить наименьшее расстояние разрешимое объективом:

(3)

2. Явление дифракции

Следует подробнее остановиться на явлении дифракции, дабы установить, откуда возникают ограничения, накладываемые на оптические системы.

Законы геометрической оптики строго точны лишь в идеальном случае, когда длину волны можно рассматривать как бесконечно малую. Чем хуже выполнено это условие, тем сильнее проявляются отклонения от геометрической оптики. Явления, наблюдающиеся в результате этих отклонений, носят название явлений дифракции.

Дифракция — случай интерференции ограниченных в пространстве волн (интерференция вторичных волн). Общим свойством всех эффектов дифракции является зависимость степени её проявления от соотношения между длиной волны и размером ширины волнового фронта, либо непрозрачного экрана на пути его распространения, либо неоднородностей структуры самой волны.

Явления дифракции можно наблюдать, например, если на пути распространения света находятся препятствия — непрозрачные тела (будем называть их экранами) произвольной формы или, например, если свет проходит через отверстия в непрозрачных экранах. Если бы законы геометрической оптики строго выполнялись, то за экранами находились бы области тени, резко отграниченные от областей, куда свет попадает. Дифракция же приводит к тому, что вместо резкой границы между светом и тенью получается довольно сложная картина распределения интенсивности света. Эти явления дифракции тем сильнее выражены, чем меньше размеры экранов и отверстий в них или чем больше длина волны.

Задача теории дифракции заключается в том, чтобы при данном расположении и форме тел (и расположении источников света) определить распределение света, т. е. электромагнитное поле во всем пространстве. Точное разрешение этой задачи возможно только путем решения волнового уравнения с соответствующими граничными условиями на поверхности тел, зависящими еще к тому же и от оптических свойств материала. Такое решение обычно представляет большие математические трудности[6].

Однако во многих случаях оказывается достаточным приближенный метод решения задачи о распределении света вблизи границы между светом и тенью. Этот метод применим в случаях слабого отклонения от геометрической оптики. Тем самым предполагается, во-первых, что все размеры велики по сравнению с длиной волны (это относится как к размерам экранов или отверстий в них, так и к расстояниям от тел до точек испускания и наблюдения света); во-вторых, рассматриваются лишь небольшие отклонения света от направления лучей, определяемых геометрической оптикой.

Рис. 1

Рассмотрим какой-нибудь экран с отверстием, через которое проходит свет от данных источников. Рисунок 1 изображает этот экран в разрезе (жирная линия); свет идет слева направо. Будем обозначать буквой и любую из компонент поля Е или Н. При этом под и мы будем подразумевать поле как функцию только от координат, т. е. без множителя определяющего зависимость от времени. Нашей задачей является определение интенсивности света, т. е. поля и в любой точке наблюдения Р за экраном. При приближенном решении этой задачи в случаях, когда отклонения от геометрической оптики малы, можно считать, что в точках отверстия поле таково, каким оно было бы при отсутствии вообще какого-либо экрана.

Другими словами, значения поля здесь те, которые следуют из геометрической оптики. Во всех же точках, находящихся непосредственно за экраном, поле можно положить равным нулю. При этом, очевидно, свойства самого экрана (материала, из которого он сделан) вообще не играют роли. Очевидно также, что в рассматриваемых случаях для дифракции существенна только форма края отверстия и не существенна форма непрозрачного экрана.

Проведем какую-нибудь волновую поверхность, закрывающую отверстие в экране и ограниченную его краями (разрез такой поверхности на рис. 1 изображен штриховой линией). Эту поверхность разобьем на участки с площадью df, малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны света. Мы можем тогда рассматривать каждый из этих участков, до которых дошла световая волна, так, как будто бы он сам становиться источником световой волны, распространяющейся во все стороны от этого участка. Поле в точке Р мы будем рассматривать как результат наложения полей, исходящих из всех участков df поверхности, закрывающей отверстие (так называемый принцип Гюйгенса).

Поле, создаваемое участком df в точке Р, пропорционально значению и поля в самом участке df (напоминаем, что поле в df мы предполагаем таким, каким оно было бы при отсутствии экрана. Кроме того, оно пропорционально проекции df_n площади df на плоскость, перпендикулярную к направлению n луча, пришедшего из источника света в df. Это следует из того, что какой бы формой ни обладал участок df, через него будут проходить одинаковые лучи, если только его проекция df_n будет неизменной, а потому и его действие на поле в точке Р будет одинаковым.

Таким образом, поле, создаваемое в точке Р участком df, пропорционально udf_n. Далее, надо еще учесть изменение амплитуды и фазы волны при ее распространении от df к точке Р. udf_n надо умножить еще на (где R-расстояние от df до Р, а к — абсолютная величина волнового вектора света), и мы находим, что искомое поле равно[6]:

(4)

где а есть неизвестная пока постоянная. Полное же поле в точке Р, являющееся результатом наложения полей, создаваемых всеми df, есть:

(5)

где интеграл распространен по поверхности, ограниченной краем отверстия. Этот интеграл в рассматриваемом приближении не зависит, конечно, от формы этой поверхности. Формула (5) применима, очевидно, и к дифракции не от отверстия на экране, а от экрана, вокруг которого свет может свободно распространяться. В этом случае поверхность интегрирования в (5) простирается во все стороны от края экрана.

Для определения постоянной а рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x; волновые поверхности параллельны плоскости yz. Пусть и есть значение поля в плоскости yz. Тогда в точке Р, которую мы выберем на оси ж, поле равно:

(6)

С другой стороны, поле в точке Р можно определить, исходя из формулы (5) и выбрав в качестве поверхности интегрирования, например, плоскость yz. При этом ввиду малости угла дифракции в интеграле существенны только точки плоскости yz, близкие к началу координат, т. е. точки, в которых y, z << x (x — координата точки P).

Тогда:

(7)

И это с учетом (5) даёт:

(8)

где и — постоянная (поле в плоскости yz); в множителе 1 /R можно положить. Стоящие здесь интегралы подстановкой приводятся к виду:

(9)

И мы получаем:

(10)

При выводе формулы (10) источник света предполагался, по существу, точечным, а самый свет-строго монохроматическим. Случай реального протяженного источника, испускающего немонохроматический свет, не нуждается, однако, в особом исследовании. Вследствие полной независимости (некогерентности) света, испускаемого различными точками источника, и некогерентности различных спектральных компонент испускаемого света суммарный результат дифракции сводится просто к сумме распределений интенсивности, получающихся от дифракции каждой из независимых компонент света.

Применим формулу (10) для решения вопроса об изменении фазы при прохождении луча через точку его касания с каустикой. Выберем в качестве поверхности интегрирования в (10) какую-либо волновую поверхность и будем определять поле u_p в точке Р, лежащей на некотором данном луче на расстоянии х от точки его пересечения с выбранной волновой поверхностью (эту точку выберем в качестве начала координат О, а в качестве плоскости yz — плоскость, касательную к волновой поверхности в точке О). При интегрировании в (10) существен только небольшой участок волновой поверхности вблизи точки О. Если плоскости ху и xz выбраны совпадающими с главными плоскостями кривизны волновой поверхности в точке О, то вблизи этой точки уравнение поверхности есть:

(11)

где R₁ и R₂ — радиусы кривизны. Расстояние же R от точки волновой поверхности с координатами x, у, z до точки Р с координатами x, 0, 0 есть:

(12)

Вдоль волновой поверхности поле и можно считать постоянным; то же касается и множителя 1/R. Поскольку мы интересуемся только изменением фазы волны, то коэффициент опускаем и пишем просто:

(13)

Центры кривизны волновой поверхности лежат на рассматриваемом луче в точках х = R₁ и х = R₂; это и есть точки касания лучом обеих каустик. Пусть R₂< R₁ - При х < R₂ коэффициенты при i в показателях подынтегральных выражений в обоих интегралах положительны, и каждый из этих интегралов содержит множитель 1 + i. Поэтому на участке луча до касания первой каустики имеем u_p ~ е^iкх. При R₂< х < R₁, т. е. на отрезке луча между двумя точками касания, интеграл по dy содержит множитель 1 + i, а интеграл по dz — множитель 1 — i, так что их произведение вовсе не содержит i. Таким образом, имеем здесь:

up ~ - е^iкх = е^i(кх-р/2) (14)

т.е. при прохождении луча вблизи первой каустики фаза дополнительно меняется нар/2. Наконец, при х > R₁ имеем

up ~ - е^iкх = е^i(кх-р) (15)

т.е. при прохождении вблизи второй каустики фаза еще раз меняется на —р/2.

Наибольший вклад в рассмотрении дифракции сферических или плоских волн, путем изучения дифракционной картины в точке наблюдения, лежащей на конечном расстоянии от препятствия, сделал Френель и поэтому дифракционные явления такого рода называют обычно дифракцией Френеля.

Если источник света и точка Р, в которой мы ищем интенсивность света, находятся на конечном расстоянии от экрана, то для определения интенсивности в точке Р играет роль лишь небольшой участок волновой поверхности, по которой происходит интегрирование в (10) — участок, лежащий вблизи прямой, соединяющей источник с точкой Р. Действительно, поскольку отклонения от геометрической оптики слабы, то интенсивность света, приходящего в Р из различных точек волновой поверхности, очень быстро падает по мере удаления от указанной прямой. Дифракционные явления, в которых играют роль лишь небольшие участки волновой поверхности, носят название дифракции Френеля[5].

Особый интерес для физических применений имеют дифракционные явления, возникающие при падении на экраны плоскопараллельного пучка лучей. В результате дифракции пучок теряет параллельность и появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Поставим задачу об определении распределения по направлениям интенсивности дифрагированного света на больших расстояниях позади экрана (такая постановка вопроса отвечает так называемой дифракции Фраунгофера). При этом мы снова ограничиваемся случаем малых отклонений от геометрической оптики, т. е. предполагаем малыми углы отклонения от первоначального направления лучей (углы дифракции).

В опытах Фраунгофера, перед объективом трубы помещался экран с отверстиями, в большей или меньшей степени прикрывающими объектив. Оказалось, что вид изображения наблюдаемого объекта зависит от размеров и формы этих отверстий. Только тогда, когда открыта достаточная часть объектива, изображение имеет вид, точно воспроизводящий форму объекта. При уменьшении же работающей части объектива наблюдаемая картина в большей или меньшей степени искажается и может даже совсем не напоминать формы источника.

Так, например, при рассматривании удаленной светящейся нити через объектив, прикрытый экраном с узкой щелью, в фокальной плоскости объектива видна светлая размытая полоса с несколькими максимумами и минимумами.

Таким образом, изображение, даваемое объективом, есть всегда дифракционная картина, возникающая вследствие ограничения сечения светового пучка.

Это ограничение осуществляется так называемой апертурной диафрагмой объектива, роль которой в простейшем случае играет оправа какой-либо линзы объектива или специальная диафрагма. При значительной работающей части объектива (широкая апертурная диафрагма) наблюдаемая дифракционная картина хорошо воспроизводит вид объекта; при малых ее размерах изображение может сильно (до неузнаваемости) отличаться от объекта.

Поставленную задачу можно было бы решить, исходя из общей формулы (10), переходя в ней к пределу бесконечно удаленных от экрана источника света и точки наблюдения. Характерной особенностью рассматриваемого случая является при этом то обстоятельство, что в интеграле, определяющем интенсивность дифрагированного света, существенна вся волновая поверхность, по которой производится интегрирование (в противоположность случаю дифракции Френеля, когда важны лишь участки волновой поверхности вблизи края экрана).

Проще, однако, рассмотреть поставленный вопрос заново, не прибегая к помощи общей формулы (10).

Обозначим через u₀ то поле позади экранов, которое имелось бы при строгом соблюдении геометрической оптики. Оно представляет собой плоскую волну, в поперечном сечении которой, однако, имеются участки (отвечающие «тени» непрозрачных экранов) с равным нулю полем. Обозначим буквой S ту часть плоскости поперечного сечения, на которой поле u₀ отлично от нуля; поскольку каждая такая плоскость является волновой поверхностью плоской волны, то u₀ = const вдоль всей площади S.

В действительности, однако, волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской. В ее пространственное разложение Фурье входят компоненты с волновыми векторами различных направлений, что и является источником дифракции.

Разложим поле u₀ в двумерный интеграл Фурье по координатам у, z в плоскости поперечного сечения волны. Для компонент Фурье имеем:

(16)

где q — постоянный вектор в плоскости yz; интегрирование производится фактически лишь по той части S плоскости yz, на которой u₀ отлично от нуля. Если к есть волновой вектор падающей волны, то компоненте поля и_qе^iqr отвечает волновой вектор к' = к + q. Таким образом, вектор q = к' - к определяет изменение волнового вектора света при дифракции. Поскольку абсолютные значения к = к' = w/с, то малые углы дифракции ?_y, ?_z в плоскостях ху и xz связаны с составляющими вектора q соотношениями:

(17)

При малом отклонении от геометрической оптики компоненты разложения поля u₀ можно считать совпадающими с компонентами истинного поля дифрагированного света, так что формула (17) решает поставленную задачу.

Определим дифракцию Фраунгофера при нормальном падении плоской волны на бесконечную щель (ширины 2а) с параллельными краями, прорезанную в непрозрачном экране.

Рисунок 2. Постановка задачи Решение. Выберем плоскость щели в качестве плоскости yz с осью z вдоль длины щели (рис. 13 представляет разрез экрана). При нормальном падении света плоскость щели является одной из волновых поверхностей, которую мы возьмем в качестве поверхности интегрирования в (16). Ввиду бесконечности длины щели свет отклоняется только в плоскости ху (интеграл (16) обращается в нуль при q_z? 0). Поэтому разложение поля u_о должно производиться лишь по координате у:

(18)

Интенсивность дифрагированного света в интервале углов d есть

(19)

где к = w/с, I_о-полная интенсивность света, падающего на щель.

Рис. 3

dI/d? как функция угла дифракции имеет вид, изображенный на рис. 3. При увеличении ? в ту или другую сторону от ? = 0 интенсивность пробегает ряд максимумов с быстро убывающей высотой. Максимумы разделены в точках:

(20)

(п-целые числа) минимумами, в которых интенсивность обращается в нуль.

3. Преломляющая линза

Рис. 4. Преломляющая рентгеновская линза Теперь рассмотрим оптическую систему, когда в отверстии появляется линза. В этом случае, для расчета дифракции Фраунгофера на круглом отверстии нам надо знать ее функцию пропускания. Для этого нам надо знать форму линзы.

Действительная часть комплексного показателя преломления (1-) меньше 1, следовательно, фокусирующей линзой для рентгеновского диапазона длин волн будет вогнутая линза, в отличие от выпуклой линзы для оптического диапазона. Минимум поглощения приходиться на центральную часть линзы, а края линзы в большинстве экспериментов не пропускают рентгеновское излучение. В области жесткого рентгеновского излучения имеются материалы, слабо поглощающие рентгеновское излучение. Однако слабая преломляющая способность таких материалов приводит к многоэлементной структуре преломляющей линзы.

Так как оптическая длина пути рентгеновского луча в системе линз увеличена в N раз по сравнению с одной линзой, то можно предположить, что многоэлементная линза при вышеназванных ограничениях может быть представлена в виде одной линзы, комплексный показатель вещества которой выражается в виде [3]:

n=1-d—N—+—i—b—N (21)

Разработанная модель была положена в основу расчета дифракции рентгеновского излучения на преломляющей рентгеновской линзе.

4. Численные расчеты

Распространение рентгеновского излучения в преломляющей рентгеновской линзе может быть описано достаточно строго в рамках элементарной теории идеально монохроматических волн. В большинстве случаев можно полагать, что все рассматриваемые волны линейно поляризованы в одном и том же направлении, и это позволяет описать световую волну в скалярном приближении. Монохроматическую плоскую волну можно записать следующим образом:

(22)

где w — круговая частота, r — радиус вектор точки наблюдения, k — волновой вектор.

Колебания происходят синфазно во всех точках плоскости волнового фронта kr = const. Когда плоская волна проходит через преломляющую рентгеновскую линзу, изменяются ее амплитуда и фаза. Амплитуда прошедшей волны будет теперь изменяться от точки к точке по некоторому закону П (x). Рентгеновская преломляющая линза двояковогнута и имеет разную в разных точках толщину L (x), то и фронт волны на выходе из транспаранта не будет плоским; он деформирован по некоторому закону ц (x), связанному с вариацией толщины ц (x)=kL (x). Эти изменения амплитуды и фазы прошедшей волны можно описать с помощью комплексной функции пропускания T преломляющей рентгеновской линзы:

(23)

Вариации толщины L (x) преломляющей микрокапиллярной линзы будут определяться следующим соотношением[4]:

(24)

Распределение интенсивности в фокальной плоскости будет описываться интегральным выражением:

(25)

Где µ - линейный коэффициент поглощения материала, q — определяет изменение волнового вектора при дифракции.

Рис. 5 Распределение интенсивности в фокусной плоскости преломляющей рентгеновской линзы

Рис. 6 Зависимость размера диска Эйри от линейного коэффициента поглощения

Заключение

1. Выполнены расчеты для дифракции Фраунгофера на круглом полупрозрачном отверстии, характеризующимся функцией пропускания многоэлементной преломляющей рентгеновской линзы.

2. Учет поглощения излучения в многоэлементной преломляющей рентгеновской линзе приводит к уменьшению радиуса эффективной диафрагмы линзы. При малых значениях линейного коэффициента поглощения материала RNµ << 1 радиус эффективной диафрагмы равен радиусу линзы. При увеличении значения линейного коэффициента поглощения материала RNµ >0.1 радиус эффективной диафрагмы уменьшается. При большим значениях линейного коэффициента поглощения материала RNµ>1, размер эффективной диафрагмы пропорционален µ^-½ Значения размера эффективной диафрагмы можно определить по дифракционной картине и, при RNµ = 2 эффективный радиус диафрагмы примерно равен половине радиуса линзы.

3. Учет поглощения излучения в многоэлементной преломляющей рентгеновской линзе приводит к изменению дифракционной картины. При малых значения RNµ<<1, учет поглощения приводит к уменьшению интенсивности дифракционных пиков и незначительному смещению их положения. При увеличении значения RNµ>0.1, дифракционная картина расплывается. При большим значениях линейного коэффициента поглощения материала RNµ>1 характер дифракционной картины резко меняется. Дифракционная картина описывается центральным максимумом.

A. Snigirev, V. Kohn, I. Snigireva, B. Lengeler // Nature, 1996, V. 384., P.49.

A. Snigirev, V. Kohn, I. Snigireva, e.a. // Appl. Opt., 1998, V. 37., P.653.

Yu.I. Dudchik, N.N. Kolchevsky //Nucl. Ins. and Methods., 1999, A421., P.361.

И.Л. Мудрецов, И. В. Жданович, П. В. Петров, Н. Н. Кольчевский, // Дифракция рентгеновского излучения на преломляющей рентгеновской линзе, УДК 535.317; 621.386, с. 3. (2012)

Г. С. Ландсберг // Оптика, с. 848 (2003)

Л.Д. Ландау, Е. М. Лившиц // Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т.II Теория поля. с. 531