Устойчивость и жесткость частных решений задачи о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в консервативных силовых полях

Задача об устойчивости перманентных вращений твердого тела в консервативных силовых полях имеет непродолжительную историю. Ее появление связано с потребностями инженерной практики. Моменты гравитационных сил Земли, Луны и планет являются одним из важных факторов, влияющих на вращение искусственных и естественных небесных тел и других космических объектов. Анализ гравитационных полей Земли и Луны показывает, что они являются неоднородными с достаточно сложной нелинейной потенциальной функцией. Нецентральное ть гравитационного поля Земли, а также, и других планет обусловлена неоднородностью массы планеты, ее фигурой и т. п. Неоднородности силового поля создают также магнитные силы, как естественного происхождения, так и искусственно генерируемые.

Первым, кто начал изучать перманентные вращения твердого тела и прежде всего их устойчивость, был Н. Е. Жуковский /24/. В этой связи следует также упомянуть работы Р. Граммеля /20/, 0. Боттема /10/, Н. ГЛетаева /72/, В. В. Румянцева /55,56,58/, В. Г. Демина /23/, В. В. Крементуло /36/, В. Н. Скимеля /62/, В.Н.Рубановско-го /54/ и др. Работы названных авторов объединяет то, что в mix рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести. Такая модель силового поля Земли, является приближенной и в некоторых задачах механики оказывается довольногрубой. В таких случаях следует рассматривать более близкое к реальному неоднородное гравитационное поле, например, центральное.

Изучение перманентных вращений твердого тела, движущегося в неоднородном поле сил, связано с развитием космонавтики. За одну из основных моделей гравитационного поля Земли принималась модель, в которой силовое поле Земли трактовалось как центральное ньютоновское поле с силовой функцией, представляющей собой сумму линейной и квадратичной форм относительно направляющих косинусов вертикали с главными осями инерции твердого тела для закрепленной точки. К исследованию такого рода задач относятся работы В. В. Белецкого /9/, Г. К. Пожарицкого /51/, П. А. Кузьмина /37/, А.А.Ан-чева /4/ и др. Ряд практически важных задач устойчивости движения искусственных небесных тел решен Д. Е. Охоцимским и В.А.Сары-чевьзм /49/.

Нахождению всего множества перманентных осей вращения твердого тела и исследованию их устойчивости в произвольном консервативном поле сил с аналитической относительно трех направляющих косинусов, прямой в главных осях инерции силовой функцией посвящены работы Н. Г. Апыхтина /5−7/.

Бурное развитие ракетной техники и космических полетов сделало задачу о движении гиростата, т. е. твердого тела с роторами или с полостями, частично или полностью заполненными идеальной или вязкой жидкостью, одной из первоочередных задач механики.

Задачи динамики тел с полостями, содержащими жидкость, относятся к числу трудных классических задач механики. Их исследование было начато еще в прошлом веке Стокеом /69/ и продолжено затем в работах Гельмгольца, Неймана /46/ и Ламба /38, 39/. В дальнейшем различные аспекты этой задачи рассматривались Кель-виным /28/, Гринхилмом /21−22/, Пуанкаре /52/ и др. В работах Н. Е. Жуковского /25/ и В. Вольтерра /13/ детально разработана теория движения твердого тела с полостью, полностью наполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей потенциальное движение. Н. Е. Жуковский в работе /25/ показал, что потенциальное движение жидкости в полости определяется движением тела, само лее движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена эквивалентным твердым телом.

Для абсолютно твердого тела с полостями, содержащими жидкость, когда массы тела и жидкости неизменны, наиболее, общий характер имеют дифференциальные уравнения движения, выведенные В. В. Румянцевым /44/.

Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки служит базой многих технических приложений, прикладной гироско-пии, теории инерциальной навигации и динамики вращательного движения космических аппаратов. Более сложной, по сравнению с классической, является задача о движении твердого тела с одной закрепленной точкой /гиростата/, имеющего роторы и полости с жидкостью, в исследовании которой важную роль сыграли труды Н. Е. Жуковского /25/, А. Ю. Ишлинского /26/, Ламба /39/, Н. Н. Моисеева /43, 44/, Г. С. Нариманова /45/, Д. Е. Охоцимского /50/, В. В. Румянцева /44,57,58/, С. Л. Соболева /68/, Стокса /69/, Н. Г. Четаева /72/.

С середины XIX века была поставлена задача о движении твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Как показал В. В. Румянцев /44/, движение такого тела может быть описано конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Одновременно с изучением задачи о движении твердых тел с полостями, заполненными жидкостью, возник вопрос об устойчивости частных движений таких тел. Еще в опытах Кельвина было обнаружено, что вращение волчка будет устойчиво, если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчиво в противном случае. В работах Гринхилла /22/, Хао-а /71/, Пуанкаре /52/ и др. проводилось теоретическое исследование этой задачи.

В работе С. Л. Соболева /68/ рассматривалось движение тяжелого симметричного волчка с полостью, заполненной идеальной жидкостью, им, в частности, указаны некоторые условия устойчивости. Стюартсон в работе /70/ исследовал устойчивость тяжелого волчка с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью.

Более интересные результаты устойчивости перманентных вращений твердого тела с полостями заполненными жидкостью, принадлежат Н. Г. Четаеву /72/ и В. В. Румянцеву /44,57/. К исследованию такого рода задач относятся работы Н. Н. Колесникова /32−34/, В. Н. Скимеля /63,64/ и др. В названных работах движение твердого тела рассматривается в однородном ньютоновском поле сил.

Развитие современной техники и ее качественное изменение, вызванное широким применением реактивного движения, требует решения задач о движении тел переменной массы.

Механику тел переменной массы, основы которой были заложены в работах И. В. Мещерского /40−42/, можно разбить на два этапа. На первом этапе /до середины 50-х годов XX века/ исследуется, главным образом, движение тел с отбрасыванием частиц и проводится систематическое построение теории. Этому посвящены работы М. Ш. Аминова /2,3/, А. С. Галиуллина /14/, И. Ф. Верещагина /II/, Ф. Р. Гантмахера и Л. М. Левина /19/, Л. А. Космодемьянского /35/, B.C. Новоселова /47,48/ и др.

Второй этап /с середины 50-х годов XX века/ соответствует исследованию движения тел как с отбрасыванием, так и с присоединением частиц. Таковы, например, работы В. М. Карагодина /27/ и В. В. Сапа /61/.

При построении достаточных условий устойчивости движения тела переменной массы оказался плодотворным модифицированный метод Н. Г. Четаева, предложенный М. Ш. Аминовым /I/. М. Ш. Аминов в своей монографии /3/ дал вывод дифференциальных уравнений движения свободного и закрепленного в одной точке твердого тела, масса которого меняется за счет отделения частиц. В этой же работе 1/1.Ш.Аминов изучил устойчивость перманентных вращений тела переменной массы с одной неподвижной точкой в однородном поле сил. Изучению перманентных вращений твердого тела переменной массы в неоднородном поле сил посвящена также работа И. Й. Вовченко /12/.

В работах А. С. Галиуллина /15−18/ изучена устойчивость вращательного движения твердого тела переменной массы, центр тяжести которого совершает программное движение.

Изучению перманентных вращений гиростата переменной массы в ньютоновском поле сил с силовой функцией, представляющей собой сумму линейной и квадрапшчной форм относительно направляющих косинусов вертикали с главными осями инерции гиростата, посвящены работы Ж. Киргизбаева /29−31/.

В работах В. Н. Скимеля /65,67/ вводится определение жесткости движения механических систем. Свойство жесткости можно рассматривать как своего рода обощение и модификацию понятия устойчивости. Действительно, после Ляпунова изучались свойства движений, которые по-прежнему продолжали называть устойчивостью. Термин «устойчивость» приобрел более широкий смысл, нежели тот, который был заложен в определении Ляпунова. Так, например, понятие технической устойчивости /72/ уже не связано непосредственно с представлением об устойчивости /" сохранении" / движения при малых начальных возмущениях. Также обстоит дело и с понятием жесткости, которое охарактеризуем ниже.

На практике часто встречаются случаи, когда невозмущенное /ведущее/ движение некоторой механической системы по определенной части переменных подвергается большим возмущениям. При этом требуется, чтобы отклонения возмущенного движения от невозмущенного в остальных переменных были бы малыми. Что касается поведения с течением времени первой части переменных в возмущенном движении, то обычно требуется лишь их ограниченность.

Перечисленным требованиям можно удовлетворить выбором величин определенных параметров, содержащихся в уравнениях возмущенного движения рассматриваемой системы. Такие параметры В.Н.Ски-мель называет существенными. Заметим, что за существенные параметры, наряду с некоторыми физическими параметрами системы, могут приниматься и начальные условия, определяющие семейство невозмущенных движений. В работах /65,67/ приводятся и обсуждаются соответствующе определения.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения системы предполагаются зависящими от существенных параметров:

0.1) где ОС — /2 -мерный вектор, CL — постоянный векторный параметр, вектор-функция, удовлетворяющая условию.

XHfOfOjsO при i У/ и условиям теоремы существования и единственности решения в соответствующей области пространства переменных Х^ • • •, Хп. Обозначим через хЦ-toj Щ решение системы (0.1).

Разделил переменные на части.

Хы, Xjj, Ш) р — Wi, • • п) и введем области.

П ('/х: fx*/**, Ixfl+bj,.

— г П -).

Определение. Решение Х-О уравнения (0.1) обладает жесткостью по переменным, если для любых наперед заданных чисел? f 7 О, <Рл 7 О /первое может быть сколь-угодно мало, а второе — велико/ и момента io У/ «to можно указать зависящие от ншс параметр ft* и числа ^ у 0, определяющие области.

0,2) такие, что решение системы /0.1) ^ Я1* Ol*)^ fli, если только Х0 6 П$ .

Вводится и ряд других определений, представляющих собой модификации основного определения /сильная жесткость, практическая устойчивость и т. п./. Свойство жесткости не исключает возможности использования и других областей, отличных от (0.2). В частности, например, можно было воспользоваться областями вида которыми мы пользуемся в настоящей работе.

Обратим здесь внимание на то обстоятельство, что жесткость решения =г О и его устойчивость представляют собой, вообще говоря, независимые свойства /65/.

Признаки жесткости устанавливаются с помощью теорем, связывающих поведение решений уравнений возмущенного движения /как того требуют определения/ с существованием функции V • С этой целью в рассмотрение вводится функция VHjOCjCt), зависящая определенным образом от параметров. Такие функции В. Н. Скимель называет обладающими свойствами /. Свойство /4 связано также и с принятым разделением переменных на части Хы, Xj} .

Что касается самих теорем жесткости, то как их формулировки, так и доказательства подобны теоремам прямого метода Ляпунова. Однако для этих случаев могут быть использованы функции, не зависящие от параметров. В частности, предлагается аналог известной теоремы Четаева о неустойчивости. Изложение теоремы сопровождается примерами преимущественно академического характера.

В частности, в работе /67/ как пример рассмотрена жесткость перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа. В работе /66/ изучены свойства жесткости некоторых движений консервативных систем.

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости перманентных вращений гиростата постоянной и переменной массы с одной неподвижной точкой в произвольном консервативном силовом поле и жесткости перманентных вращений гиростата постоянной массы и стационарных движений в задаче Розе.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной и цитированной литературы.

Во введении дан краткий исторический обзор работ, связанных с рассматриваемыми здесь вопросами устойчивости и жесткости движения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Исследование условий устойчивости невозмущенного движения твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из самых первоочередных проблем механики. Интерес к ней определяется ее практическим значением для прикладной теории гироскопов и динамики вращательного движения космических аппаратов. В нашей работе получены:

— необходимые, идостаточные условия устойчивости, перманентных вращений гиростатов-постоянной массы в произвольном консервативно!, i поле сил. Практически важный случай ньютоновского поля сил рассмотрен как частный случай, где в разложении силовой функции сохранены три первых гармоники;

— применяя метод Четаева-Аминова для построения функции Ляпунова получены достаточные, условия устойчивости перманентного движения симметричного и несимметричного гиростата переменной массы в произвольном консервативном поле сил. Здесь также ньютоновское поле сил рассмотрено как частный случай консервативного поля сил;

— исследована жесткость осивертикально•выпрямленного симметричного и несимметричного гиростата соответственно в консервативном и ньютоновском полях сил ;

— отдельно рассмотрена жесткость оси вертикально выпрямленного гироскопа Зйлера-Пуансо.;

— исследована жесткость стационарных движений связки двух тел с цилиндрическим шарниром и. показано, что стационарное движение обладает жесткостью по углам нутации.