По МУ

При этом примем нулевую гипотезу H0, что коэффициент регрессии равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияния на результат y, то есть объем грузооборота не оказывает влияния на расходы на перевозки. Альтернативная гипотеза H1 будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного и критического (табличного) значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

где — факторная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

;

— остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H0 необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное значение F-критерия Фишера — это максимальная величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α, который примем равным 0.05

Если, то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статистическая значимость и надежность. Если, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0.05 и степенях свободы, получаем. Выполнив расчет, получим. Необходимые расчеты представлены в таблице 2.

7.

Таблица 2.7

Номер дороги

1 9280 6514,257 2 458 140,051 7 649 331,926 2 9172 5359,478 170 623,302 14 535 327,811 3 6900 7136,319 4 795 691,749 55 846,459 4 4690 3318,822 2 649 047,950 1 880 128,693 5 7392 8742,783 14 412 436,079 1 824 615,255 6 6170 4984,322 1437,167 1 405 832,902 7 5194 6568,085 2 629 824,563 1 888 109,995 8 4960 5612,585 443 786,461 425 866,870 9 4742 4588,922 127 798,854 23 432,841 10 4832 6561,006 2 606 913,363 2 989 460,483 11 4231 4093,824 726 905,590 18 817,206 12 3142 3439,466 2 270 884,227 88 486,280 13 4553 4868,183 6119,800 99 340,082 14 5131 5829,826 780 421,389 488 358,314 15 2994 3931,288 1 030 476,472 878 508,597 16 372 1250,726 13 658 090,529 772 160,035 17 334 1289,108 13 375 871,781 912 231,043 ∑ 84 089 84 089,000 62 144 469,327 35 935 854,790 4946,412 4946,412 2 395 723,653

поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу. Данная эконометрическая модель вполне качественно и адекватно описывает взаимосвязь между расходами на перевозки и объемом грузооборота.

2.7 Расчет прогнозного значения расходов на железнодорожные перевозки по линейной модели при увеличении грузооборота

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу, следует рассчитать прогнозное значение расходов перевозки, если прогнозное значение грузооборота увеличится на 10% от среднего значения всех размеров грузооборота. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости, равного 0,05.

Если прогнозное значение грузооборота составит

то прогнозное точечное значение расходов на перевозку грузов можно вычислить по соотношению:

.

Для определения доверительного интервала прогноза необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

.

Здесь — табличное значение t-статистики Стьюдента для числа степеней свободы n-2=15 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза доходов от перевозок при прогнозируемом увеличении размера пассажиропотока на 10% можно вычислить по формулам:

;

.

2.8 Реализация решенных задач на компьютере Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel. Реализацию осуществим на компьютере с применением встроенной статистической функции ЛИНЕЙН. Она позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

.

Приведем результаты выполнения этой функции:

В первой строке указываются значения коэффициентов b и a:

.

Во второй строке — среднеквадратические отклонения b и a:

.

В третьей строке приведены коэффициент детерминации и среднеквадратическое отклонение y:

.

В четвертой строке мы видим значение F-статистики и число степеней свободы:

.

В пятой строке указаны регрессионная сумма квадратов и остаточная сумма квадратов: 62 144 469,33 и 35 935 854,79 соответственно.

Построим график поля корреляции. В главном меню выберем «Диаграмма», добавить линию тренда. По очереди выберем линейную, степенную и показательную линии регрессии. В параметрах укажем флажками изображение уравнения регрессии и коэффициента детерминации. При расчете линейной и показательных регрессий примем неизвестное значение пассажиропотока Калининградской дороги равным 0, для степенной регрессии — 1, т.к. логарифм определен только для положительных чисел.

Получим:

Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ ППП Excel и согласно разработанным в курсовой работе алгоритмам (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.

Выводы В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели расходов на перевозки в зависимости от грузооборота. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения размеров грузооборота и расходов на перевозки по 17 дорогам, расположенных на территории РФ. Для обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.

Выполнена оценка тесноты связи расходов на перевозки и размера грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между расходами на перевозку и грузооборотом показывают, что степенная модель несколько лучше линейной и показательной моделей.

Проведена оценка с помощью ошибки аппроксимации качества уравнений регрессии между размерами расходов на перевозку. Их анализ говорит, что ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах только для степенной парной регрессии. Значения ошибок аппроксимации остальных уравнений очень большие.

Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (грузооборот) с результатом (расходы на перевозки) с помощью среднего коэффициента эластичности. Из анализа разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% грузооборота приводит к увеличению средних расходов на 0,753% при расчете с помощью уравнения парной линейной регрессии, а при расчете с помощью степенной и показательной функций связи увеличение составит 0,597% и 1,465% соответственно.

Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что, значит необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициентов регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) она довольно велика. Интервал между верхней и нижней доверительной границами большой, т.к. качество построенной модели не очень хорошее.

Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанным в курсовой работе алгоритмам (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.