Вариант №1

е -(p = 1 — (р

Раскроем скобки:

где тогда а0 = T1T2TT = 4.88*10−5 c3

a1 = T1TT + T2TT + T1T2 = 0.011 c2

a2 = T1 + T2 + TT = 0.25 c

a3 = 1 — KОБЩ*(= - 3.5

a4 = KОБЩ = 500 c-1

Тогда, необходимое условие устойчивости: ai > 0, для любого i = 0. n — не выполняется.

Проведем проверку по критерию Гурвица:

=

Найдем все определители матрицы:

(1 = а1 = 0,011

(2 = а1(а2 — а0(а3= 0,275

(3 = а1(а2(а3 — а0(а32 — а12(а4 = - 0.071

(4 = а1((3 = - 0,78

Определители (3 и (4 меньше нуля, а также не удовлетворяют критерию Гурвица. Значит, система неустойчива.

Построим характеристический многочлен.

Сделаем подстановку р = j (:

Действительная часть:

Мнимая часть

где

а0 = T1T2TT = 4.88*10−5 c3

a1 = T1TT + T2TT + T1T2 = 0.011 c2

a2 = T1 + T2 + TT = 0.25 c

a3 = 1 — KОБЩ*(= - 3.5

a4 = KОБЩ = 500 c-1

Вычислим значения X (() и Y (() при различных значения частоты. (таб 11).

Таблица 1.

1.

(0 5 10 20 30 40 50 60 70 80 X (() 500 493.

78 475.

49 707.

81 314.

53 224.

93 180 232.

45 446.

69 898.

85 Y (() 0 -18.88 -46 -158 -402 -844 -1500 -2586 -4018 -5912

Построим кривую Михайлова.

Рис. 1.

1. Кривая Михайлова.

Из годографа видно, что кривая Михайлова с увеличением (до бесконечности будет постоянно убывать, а следовательно не опишет угол 360 градусов. На основании этого делаем вывод, что система не устойчива.

Определение ошибки заданной САУ в установившемся режиме Система будет устойчивой, когда логарифмическая амплитудная характеристика передаточной функции разомкнутой системы станет отрицательной раньше, чем фазовая характеристика достигнет значения -1800. L=0 при (= 31 рад/с, а (= -1800 при (= 8 рад/с. Согласно рисунку 1.2 видим, что система неустойчива.

(, рад/с

(, рад/с Рис. 1.

2. ЛЧХ передаточной функции разомкнутой системы.

Синтез системы автоматического управления Определение требуемого коэффициента передачи синтезируемой САУ

Располагаемую ЛЧХ системы будем строить по передаточной функции разомкнутой системы.

где

КОБЩ = 500 1/с — общий коэффициент передачи усилителя;

(= 0,009 с — время чистого запаздывания;

Сопрягающие частоты:

рад/с дек рад/с дек

рад/с дек График располагаемой ЛЧХ мы построили, рассмотрим его еще раз (рис. 2.

1.)

Рис. 2.

1. График располагаемой ЛЧХ.

а). Низкочастотный участок желаемой ЛЧХ (до (1) совпадает с низкочастотным участком располагаемой ЛЧХ.

б). Среднечастотный участок желаемой ЛАХ проводится из условия обеспечения требуемых запасов устойчивости для выполнения заданной величины перерегулирования — (и времени регулирования — tp.

(= 20%

tp = 0.75 c

Среднечастотный участок желаемой ЛЧХ пересекает частотную ось на частоте среза (ср и проходит под наклоном равным -20 дб/дек. Частота среза определяется согласно номограмме Солодовникова.

рад/с Lg ((ср) = 1.21 дек

Протяженность среднечастотного участка от частоты среза определяет запас устойчивости по амплитуде и находится по номограмме Бессекерского.

Для (= 20% получаем Lh = 15 дб.

в). Среднечастотный участок желаемой ЛЧХ сопрягается с низкочастотным участком отрезком ЛЧХ, имеющим наклон -60 дб/дек.

г). Высокочастотный участок желаемой ЛЧХ проводится параллельно высокочастотному участку располагаемой ЛЧХ.

В итоге получаем желаемую ЛЧХ (рис. 2.

2.)

Рис. 2.

2. График желаемой ЛЧХ

Синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик

Рассчитаем сопрягающие частоты.

(I = 0.5 рад/с

(II = 3.16 рад/с

(III = 100 рад/с

Определим постоянные времени:

TI = 1/(I = 2 c

TII = 1/(II = 0.32 c

TIII = 1/(III = 0.01 c

Получим желаемую передаточную функцию разомкнутой системы:

Где КОБЩ = 500 1/с — общий коэффициент передачи усилителя;

(= 0,009 с — время чистого запаздывания;

Выберем последовательный тип корректирующего устройства.

Тогда

WЖ (s) = WР (s)*WПКУ (s)

Где

WЖ (s) — желаемая передаточная функция

WР (s) — располагаемая передаточная функция

WПКУ (s) — передаточная функция корректирующего устройства

Перейдем к ЛАХ

LЖ (s) = LР (s) + LПКУ (s)

LПКУ (s) = LЖ (s) — LР (s)

Для построения ЛАХ корректирующего устройства необходимо взять разность ЛАХ желаемой и располагаемой систем (рис. 3.

3.).

Рис. 2.

3. Графики располагаемой и желаемой ЛАХ.

Производим вычитание:

а). Участок графика до частоты (I — пройдет с наклоном (-20) — (-20) = 0 дб/дек.

б). Участок графика от (I до (II — с наклоном (-60) — (-20) = -40 дб/дек.

в). Участок графика от (II до (1 — с наклоном (-20) — (-20) = 0 дб/дек.

г). Участок графика от (1 до (Т — с наклоном (-20) — (-40) = 20 дб/дек.

е). Участок графика от (Т до (III — с наклоном (-20) — (-60) = 40 дб/дек.

ж). Участок графика от (III до (2 — с наклоном (-80) — (-60) = -20 дб/дек.

з). Участок графика от (2 — с наклоном (-80) — (-80) = 0 дб/дек.

Получаем график переходного процесса (рис. 3.

4.):

Рис. 2.

4. График переходного процесса.

Где:

(I = 0.5 рад/с TI = 2 c

(II = 3.16 рад/с TII = 0.32 c

(1 = 5.13 рад/с T1 = 0.195 c

(T = 20 рад/с TT = 0.05 c

(III = 100 рад/с TIII = 0.01 c

(2 = 200 рад/с T2 = 0.005 c

(= 0,009 с

Определяем передаточную функцию корректирующего устройства:

Проверка результатов синтеза

Определение запасов устойчивости скорректированной САУ

Для получения желаемой передаточной функции замкнутой системы воспользуемся формулой.

Где

WЖ (s) — желаемая передаточная функция разомкнутой системы;

WЗУ (s) = КЗУ = КТ — передаточная функция задающего устройства;

WПР (s) — передаточная функция прямой цепи;

Где

Где КОБЩ = 500 1/с — общий коэффициент передачи усилителя;

(= 0,009 с — время чистого запаздывания;

TI = 2 c

TII = 0.32 c

TIII = 0.01 c

= 0,5*10−4 В/0С

Где

WТ (s) — передаточная функция;

Где

КТ = КЗУ = 0,5*10−4 — чувствительность;

ТТ = 0,05 — постоянная времени термопары;

Получаем:

Получили передаточную функцию замкнутой системы:

Где:

КОБЩ = 500 1/с — общий коэффициент передачи усилителя;

(= 0,009 с — время чистого запаздывания;

TI = 2 c

TII = 0.32 c

TIII = 0.01 c

ТТ = 0,05 — постоянная времени;

Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом

Для построения переходного процесса заменим е-(S на (-(s+1)

Из условия необходимо чтобы величина перерегулирования (была не больше 28%.

Где

y™ — максимальное отклонение управляемой величины от заданного значения;

y (() = (0з = 80 0С — заданное значение управляющей величины;

Чтобы время регулирования соответствовало заданному значению должно выполняться условие:

Где

y (tp) — значение управляющей величины при достижении времени, равном времени регулирования tP = 0.75 c.

Заключение

В результате выполнения работы показано, что заданная система является неустойчивой. Доказательство проведено методами Михайлова и Гурвица. Синтезирован коэффициент передачи системы, проведен синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик. Проведена проверка результатов синтеза.

Повзнер Л. Д. Теория систем управления: Учебное пособие для вузов. — М.: Изд. МГГУ, 2002. — 472 с.

Михайлов В. С. Теория управления. — К.: Выща школа, 1988.

Иванов В.А., Ющенко А. С. Теория дискретных систем автоматического управления. М:"Наука" 1983 г. -335с.

Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М:"Наука" 1976 г. -571с.

Цыпкин Я. З. Теория импульсных линейных систем. М:"Наука"1977 г. -421с.

Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. В. А. Бесекерского. M:"Наука"1969 г. (1978г.)

Иванов В.А.и др. Математические основы теории автоматического регулирования. Т.1−2 М:"Высшая школа", 1977

Николаев Ю.А. и др. Динамика цифровых следящих систем. М:"Энергия" 1970

Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М:"Физматгиз"1963

Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления М:"Машиностроение" 1964

L, дб

(2

(т

(

(2

(1

— 20 дб/дек

— 40 дб/дек

— 60 дб/дек

(, рад/с

— 80 дб/дек

(I

(II

(III

(T

(1

(III

(II

(I