В начальный момент хозяин находится в точке (0, 0), собака — в точке (1, 0).
ДУ для траектории:
.
Переходим к системе:
.
Решим для v/w=0.5
Текст программы:
function z=mydog (x, y)
z=[y (2); 0.5*sqrt (1+y (2)^2)/x]'; - столбец правых частей с k=m
tic; [x y1]=ode23(‘mydog', [1 0.001], [0 0]'); toc
figure (3); plot (x, y1(, 1),'.-b'); title (‘Собачья кривая')
xlabel (‘x'); xlabel (‘y (x)').
4. Решение физических задач на уроках
1. Биения. Функция биения:
.
Несмотря на простоту формулировки, эта задача очень содержательна.
В процессе исполнения программы на экран выводится участок кривой для интервалов времени .
Текст программы:
a1=1.0; % Амплитуды гармонических
a2=1.0; % колебаний
w1=1.0; % Частоты гармонических
w2=1.2; % колебаний
t0=0; % Начальный момент времени
tm=20; % Конечный момент времени
N=600; % Число точек вывода/расчета
T=tm-t0; % Время вывода биений
dt=T/N; % Шаг по времени
t=t0:dt:tm; % Вектор времени
y=a1*cos (w1*t)+a2*cos (w2*t); % Функция биений
plot (t, y); % Вывод графика После вывода результата расчета на экран можно изменить масштаб осей с повторным выводом соответствующего участка кривой. Так, в приведенном выше примере, переменная t на графике будет изменяться от 0 до 20. Если мы хотим рассмотреть подробности графика в другом диапазоне (например, по t от 1 до 2), то необходимо ввести в командном окне команду axis ([xmin xmax ymin ymax]), где xmin xmaxдиапазон вывода по оси x, а ymin ymaxдиапазон вывода по оси y. В результате выполнения этого оператора график будет перестроен в указанном масштабе.
Задание. Другого вида биения можно наблюдать при. Для того чтобы увидеть, как действительно выглядят колебания в этом случае, желательно увеличить время вывода биений (т.е. диапазон изменения переменной t) примерно в 10−20 раз.
2. Рассмотрим колебания маятника:
.
Исследуем точки покоя маятника.
Текст программы:
Правые части: для А=1
function z=mypend (t, y)
z=[ y (2); -sin (y (1)];
Нарисуем фазовый портрет системы (для различных начальных условий):
и график потенциальной энергии:
tmax=18;
figure (1); clf; subplot (2,1,1); hold on;
for k=1:12; y0=0.4*(k-6); % разные начальные условия
[t y]=ode23(‘mypend', [0 tmax], [2*pi y0]');
plot (y (, 1), y (, 2)); end % Кривые около точки покоя (2*pi, 0)
xlabel (‘x (t)'); ylabel (‘dy/dt'); title (‘Фазовый портрет маятника');
hold off
x=[-5:
0.1:35]; v=1-cos (x);
subplot (2,1,2); plot (x, v,'r');
title (‘Потенциальная энергия маятника')
xlabel (‘x'); ylabel (‘U (x)');
Вопросы учащимся:
— что можно сказать об устойчивости точек покоя ;
— объясните характер движения маятника для каждой фазовой кривой.
Задача об изгибании консольной балки.
Из теории упругости известно ДУ для прогиба y (x) и начальные условия:
Зададим в безразмерных единицах:
.
Пусть момент инерции сечения нарисованной балки от x:
.
Текст программы.
Правые части системы ДУ
function z=mybar (x, y)
l=100; J=5*(1+4*exp (-6*x/1));
J1=-120*exp (-6*x/1)/1;J2=720*exp (-6*x/1)/1/1;
Z=[y (2);y (3);y (4);
— 2*J1/J*y (4)-J2/J*y (3)-];
Зададим начальные условия
y0=[0 0 0.667e-4 2.5335e-8]';
Решим
[x y]=ode23(‘mybar', [0 100], y0);
figure (1); subplot (2,1,1); plot (x, y (, 1)); title (‘Прогиб балки')
xlabel (‘x'); ylabel (‘Прогиб балки')
Сделаем одинаковый масштаб по осям
Axis equal
5. Задачи для самостоятельной работы
1. Фигуры Лиссажу.
Построить на экране график функции, заданной параметрически:
.
2. Падение тела в одномерном гравитационном поле с высоты Н, без начальной скорости:
.
Найти высоту и скорость в зависимости от t, если m=2k.
3. Задача о собачьей кривой.
Собака со скоростью w бежит по плоскости (х, у) к хозяину, идущему со скоростью v вдоль оси у. Найти траекторию движения собаки y (x). В начальный момент хозяин находится в точке (0, 0), собака — в точке (1, 0).
ДУ для траектории:
Решить задачу для случая, когда скорость хозяина и собаки одинаковы. Предварительно задайте команду hold on и сравните результаты.
4. Решить задачу о движении сферического маятника (координаты: y (1), y (2), углы Эйлера:).
5. Решить задачу о двумерном движении материальной точки точечного источника:
.
6. Два тела с большими массами М1 и М2 вращаются около общего центра масс О в некоторой плоскости. В той же плоскости движется тело с пренебрежимо малой массой. Какова его траектория?
Система координат:
Уравнения движения тела m:
Где у (1), у (2) — координаты x (t), y (t) малого тела, у (3), у (4) — скорости x'(t), y'(t)
.
Заключение
Помощь в работе с MATLAB
MATLAB является интерактивной, матрично-ориентированной системой для научных и инженерных расчетов. Система позволяет решать сложные численные проблемы без написания каких-либо программ.
Во время работы с системой можно пользоваться встроенной оперативной помощью, которая содержит много подробностей.
После входа в систему команда help выведет список групп, в которые объединены функции. Команда help <�имя_группы> выведет на экран список функций, размещенных в этой группе с краткими пояснениями. Команда help <�имя_функции> выдаст подробную информацию о функции. Например, команда help eig выдаст информацию о функции вычисления собственных значений матрицы eig. Вы можете познакомиться с некоторыми возможностями системы MATLAB с помощью команд intro и demo. Для более глубокого знакомства с системой желательно ознакомиться с книгой «MATLAB User’s Guide» (Руководство пользователя).
В большинстве систем после входа в саму операционную среду войти в MATLAB можно, набрав в ответ на системный запрос команду matlab. Помимо собственно команд в MATLAB можно использовать системные команды DOS. Например, команда dir выводит на экран содержимое текущей директории, команда what выводит только список m-файлов текущей директории. Команда cd позволяет сменить текущую директорию, а команды delete и type стирают и печатают на экране содержимое файла соответственно.
Существуют следующие способы получить информацию о функциях системы МАТLАВ в процессе работы:
• команда help;
• команда lookfor;
• меню Неlр;
• просмотр и вывод на печать страниц документации;
• обращение к WEB-серверу фирмы Тhe MathWorks.
Команда hеlр. Основной и наиболее быстрый способ выяснить синтаксис и особенности применения m-функции — это использовать команду help <�имя m-функции>. Соответствующая информация появляется непосредственно в командном окне.
Следует обратить внимание, что текст интерактивной справки использует верхний регистр для написания имен функций и переменных, чтобы выделить их из основной части текста. Однако при использовании функций их имена необходимо вводить с помощью символов нижнего регистра.
Команда help без аргументов выводит на экран список каталогов, которые имеются в системе с кратким описанием их содержимого. Повторный набор этой команды с именем каталога, например help elmat, выведет список функций, предназначенных для создания и работы с матрицами специального вида. Ввод команды с именем определенной функции выдаст на экран описание этой функции. Следует особо обратить внимание, что в качестве ответа на запрос о помощи выводятся все строки комментариев, которые написаны вначале каждой функции — как созданной разработчиками системы, так и собственными функциями пользователя.
Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB. М.: Горячая линия — Телеком. 2003. 592 с.
Потемкин В. Г. Система МАТLАВ5 для студентов. М.: Диалог-МИФИ. 1998.
Лазарев Юрий. Начало программирования в среде MATLAB. К.: НТУУ «КПИ». 2003. 424 с.
Гультяев А. К. MatLAB 5.
2. Имитационное моделирование в среде
Windows: Практическое пособие. Спб.: КОРОНА принт. 1999. 288 с.
Гультяев А. К. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учебный курс. Спб.: ПИТЕР. 2000. 430 с.
Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MatLAB. Специальный справочник. СПб.: Питер. 2001. 475с.
Медведев В. С., Потемкин В. Г. C
ontrol System Toolbox. M atLAB 5 для студентов. Г.: ДИАЛОГ-МИФИ. 1999. 287 с.
Коткин Г. Л., Черкасский В. С. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием MATLAB. Новосибирск. 2001. 173 с.
Мартынов Н.Н., Иванов А. П. MATLAB 5.X. Вычисления, визуализация, программирование. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ. 2000. 332 с.
Коткин Г. Л., Черкасский В. С. Численное моделирование физических процессов. Новосибирск: НГУ. 1998. 123 с.
Коткин Г. Л., Черкасский В. С. Численное моделирование физических процессов. Новосибирск: НГУ. 1998. 123 с.
Лазарев Юрий. Начало программирования в среде MATLAB. К.: НТУУ «КПИ». 2003. 424 с.
Гультяев А. К. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учебный курс. Спб.: ПИТЕР. 2000. 430 с.
Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MatLAB. Специальный справочник. СПб.: Питер. 2001. 475с.
Лазарев Юрий. Начало программирования в среде MATLAB. К.: НТУУ «КПИ». 2003. 424 с.
