Колебания маятника переменной длины

Сдвиг фаз определяется уравнением (67) и лежит в пределах от 0 до. Фазо-частотные характеристики для рассматриваемых систем представлены на рисунке 12.

При частоте вынуждающей силы, равной частоте собственных колебаний, согласно уравнению (67), для всех систем сдвиг фаз равен .

Резонансная частота, согласно уравнению (75), меньше частоты собственных колебаний, следовательно, при резонансе сдвиг фаз меньше. Однако, в колебательных системах с малым затуханием (при <<) резонансная частота практически совпадает с частотой собственных колебаний, а сдвиг фаз можно считать равным. Таким образом, при уменьшении коэффициента затухания сдвиг фаз при резонансе приближается к :

при: = 0,474;

при: = 0,448;

при: = 0,390.

Рисунок 12 — Фазо-частотные характеристики при различных значениях коэффициента затухания (<<)

Ещё одной качественной особенностью фазо-частотных характеристик является зависимость остроты прогиба характеристики от коэффициента затухания (точнее, добротности) системы. При уменьшении коэффициента затухания и соответственном увеличении добротности колебательной системы фазо-частотная характеристика становится более чувствительной к изменению частоты вблизи резонанса (см. рисунок 12).

3.

4. Резонанс смещения, скорости и ускорения

При частоте вынуждающей силы, рассчитываемой согласно уравнению (75), достигается максимально возможная амплитуда установившихся вынужденных колебаний. Другими словами, при этом достигается резонанс смещений.

Наряду с этим можно рассмотреть зависимость скорости и ускорения установившихся вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и определить частоту, при которой достигается максимум скорости и ускорения установившихся вынужденных колебаний. При этих частотах можно говорить о резонансе скорости и ускорения, соответственно. Найдём резонансные частоты скорости и ускорения.

Последовательно дифференцируя уравнение (63) установившихся вынужденных колебаний, получим уравнение для скорости V и ускорения a:

(80)

. (81)

Сопоставляя уравнения (66), (80) и (81), получим выражения для амплитуды скорости и ускорения :

(82)

. (83)

Рассуждая аналогично рассуждениям при поиске резонансной частоты для смещения в разделе 3.2, получим следующие значения резонансных частот скорости и ускорения вынужденных колебаний:

(84)

. (85)

Резонансные частоты смещения, скорости и ускорения связаны следующим соотношением:

. (86)

Подставляя полученные значения резонансных частот скорости и ускорения в уравнения (82) и (83), соответственно, найдём значения амплитуды скорости и ускорения при резонансе:

(87)

. (88)

Зависимость амплитуды скорости и ускорения от частоты с указанием резонансных частот для рассматриваемых колебательных систем представлены на рисунке 13 и рисунке 14, соответственно.

Рисунок 13 — Зависимость амплитуды скорости от частоты при различных значениях коэффициента затухания (<<)

Рисунок 14 — Зависимость амплитуды ускорения от частоты при различных значениях коэффициента затухания (<<)

4. Вынужденные колебания без трения. Биения

Рассмотрим вынужденные колебания, совершаемые идеальной (не обладающей трением) колебательной системой под действием внешней вынуждающей силы. Также будем считать, что вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, согласно уравнению (58).

Полагая, что в колебательной системе отсутствует трение (= 0), уравнение (57) в этом частном случае можно записать в виде [16, с. 105]:

. (89)

Преобразовав и введя обозначения, получим уравнение вынужденных колебаний при отсутствии трения в дифференциальной форме:

, (90)

где — круговая (циклическая) частота собственных колебаний.

Для нахождения решения данного уравнения воспользуемся решением для уравнения вынужденных колебаний, совершаемых реальной колебательной системой с линейным трением, как более общего случая. При этом в уравнениях принимаем коэффициент затухания = 0.

Согласно уравнению (67) и как предельный случай при (см. рисунок 12) сдвиг фаз установившихся вынужденных колебаний и вынуждающей силы отсутствует при частоте вынуждающей силы меньше частоты собственных колебаний (= 0), и равен при .

Амплитуда колебаний, согласно уравнению (66), равна:

. (91)

При этом резонанс достигается при частоте собственных колебаний:

. (92)

С учётом уравнения (68), решением уравнения (90), описывающего вынужденные колебания при отсутствии трения, является:

. (93)

Полученное решение (93) для идеальной колебательной системы, совершающей вынужденные колебания, неприменимо в случае резонанса, т. е. для случая, когда частота вынужденных колебаний равна частоте собственных колебаний. При этом амплитуда колебаний, согласно уравнению (91), обращается в бесконечность. Исходя из физических соображений, очевидно, что за конечное время колебательная система не может приобрести бесконечную энергию под воздействием силы конечной величины.

Компенсировать эту нефизичность можно за счёт первого слагаемого уравнения (93). Амплитуда свободных колебаний не была фиксирована. Воспользовавшись этим, выделим из первого слагаемого член, компенсирующий бесконечность второго слагаемого при резонансе (), и перепишем уравнение в виде:

(94)

где — новое значение амплитуды.

Используя выражение для амплитуды вынужденных колебаний (91), заменяя разность косинусов во втором слагаемом уравнения (94) на удвоенное произведение синусов полусуммы и полуразности углов и рассматривая случай, придём к уравнению:

. (95)

Таким образом, в соответствии с полученным уравнением, амплитуда вынужденных колебаний в случае резонанса растет со временем линейно. При значительном увеличении амплитуды колебания перестают быть малыми и теория малых колебаний с её допущениями не может быть применима.

Рассмотрим малые колебания вблизи резонанса, когда частота вынужденных колебаний равна:

(96)

где — малая величина.

Общее решение в комплексном виде:

(97)

где, А и В — комплексные постоянные, представимые в виде:

. (98)

На основании, величину можно рассматривать как медленно меняющуюся функцию времени по сравнению с множителем. Поэтому движение вблизи резонанса представляет собой малые колебания с медленно меняющимися во времени амплитудой и фазой.

Амплитуда колебаний равна:

. (99)

Принимая во внимание уравнения (98), получим:

. (100)

Из последнего уравнения имеем:

. (101)

Согласно полученному уравнению, амплитуда С колеблется с малой частотой, изменяясь между двумя пределами:

. (102)

Это явление называется биением.

5. Колебания маятника переменной длины

5.

1. Дифференциальное уравнение движения и точное его решение

Рассмотрим груз, который подвесили на стреле крана на нить (рисунок 4), длина которой меняется по линейному закону:

(103)

где a, b — константы.

Для данной системы уравнение Лагранжа [17, с. 19] имеет известную форму:

(104)

где L — функция Лагранжа.

Функция Лагранжа равна:

(105)

где , — кинетическая и потенциальная энергии, соответственно.

Кинетическая энергия равна:

(106)

где — линейная скорость перемещения груза; m — масса груза.

Потенциальная энергия составляет:

(107)

где y — вертикальная составляющая положения груза (см. рисунок 4).

Координаты груза меняются по законам:

(108)

. (109)

Найдём скорость. Вспомним, что

(110)

для этого сначала получим и .

(111)

. (112)

Подставляя полученные зависимости в уравнение (110) и проводя соответствующие преобразования, получим:

. (113)

Тогда выражение кинетической энергии примет вид:

. (114)

С учётом уравнения (109) выражение для потенциальной энергии запишется в виде:

. (115)

Получаем функцию Лагранжа:

. (116)

С учётом уравнения (116) получим составляющие уравнения Лагранжа:

(117)

(118)

. (119)

Подставляя полученные зависимости в уравнения Лагранжа, получим:

. (120)

Преобразуя последнее уравнение, запишем окончательный вариант уравнения движения нашего маятника:

(121)

Рассмотрим малые колебания:

. (122)

Введём новые переменные:

(123)

(124)

. (125)

Уравнение (121) перепишем, учитывая (123), (124), (125):

. (126)

. (127)

. (128)

. (129)

. (130)

. (131)

. (132)

Преобразуя, получим:

. (133)

Разделим обе части уравнения на g:

. (134)

. (135)

. (136)

Перепишем уравнение (134):

. (137)

Преобразуем это уравнение: раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

(138)

(139)

. (140)

Умножим обе части уравнения на l:

(141)

или

. (142)

Введём новую переменную:

(143)

. (144)

И новую функцию:

. (145)

(146)

Уравнение (142) с учётом новой переменной и функции получим:

(147)

. (148)

Находим решение уравнения:

(149)

где — функция Бесселя; - функция Неймана.

Отсюда

. (150)

. (151)

Будем считать, что за время t (в том числе за период колебаний) изменение длины нити мало по сравнению с a:

(152)

то есть

(153)

и

. (154)

В этом случае следует воспользоваться асимптотическим разложением функции Бесселя, что будет следано далее.

5.

2. Решение в асимптотическом пределе

Асимптотическое разложение функций Бесселя:

. (155)

. (156)

z в аргументе синуса и косинуса разлагаем в бинаминальный ряд:

. (157)

. (158)

Причём

(159)

. (160)

(161)

Введём обозначения:

(162)

. (163)

Учитывая, что

, , (164)

то

(165)

(166)

. (167)

С учётом того, что в линейном по b приближении

(168)

получим

(169)

Если обозначить

, (170)

получим:

(171)

5.

3. Решение уравнения движения по теории возмущений

Последнее слагаемое в уравнении (171) сомнительно. Будем решать по теории возмущений:

(172)

, (173)

(174)

(175)

(176)

(177)

(178)

(179)

(180)

(181)

(182)

Подставим в уравнение (179):

(183)

Что касается слагаемого, независящего от времени, то установить его в этом порядке теории возмущений нельзя, а только в следующем, потому что оно удовлетворяет тому же уравнению, что и .

Заключение

В процессе работы были достигнуты следующие результаты:

Изучены и сопоставлены различные виды колебаний.

Получены уравнения движения в дифференциальной форме для различных видов колебаний (свободные, свободные с затуханием, вынужденные, параметрические).

Решены дифференциальные уравнения рассмотренных видов колебаний.

Выявлены параметры, характеризующие колебательную систему.

Получено графическое представление рассмотренных видов колебаний в различной форме (временной график, фазовый портрет).

Получено дифференциальное уравнение движения математического маятника переменной длины и найдено точное его решение.

Найдено решение уравнения движения математического маятника переменной длины в асимптотическом пределе.

Показана методика решения уравнения движения математического маятника переменной длины по теории возмущений.

Список Использованных источников

Бишоп Р. Е. Колебания. — М.: Наука, 1968. — 161 с.

Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. — М.: Мир, 1982. — 304 с.

Яворский Б.М., Детлаф А. А. Справочник по физике. — М.: Наука, 1985. — 512 с.

Трофимова Т. И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1985. — 432 с.

Бидерман В. Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов — М.: Высшая школа, 1980. — 408 с.

Цзе Ф.С., Морзе И. Е., Хинкл Р. Т. Механические колебания — М.: Машиностроение, 1966. — 508 с.

Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний — М.: Наука, 1972. — 470 с.

Колачева Н.М., Израилович М. Я., Соломатина Л. В. Колебания в механических и электрических системах: учебное пособие — М: МИРЭА, 2007. — 72 с.

Савельев И. В. Курс общей физики: учеб. в 3-х т. Т. 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. — М.: Наука, 1970. — 517 с.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. — В 10-ти т.

Т. I. Механика. — М.: Наука, 1988. — 216 с.

Бабаков И. М. Теория колебаний. — М.: Дрофа, 2004. — 591 с.

Андронов А.А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959. — 916 с.

Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма. — М.: Высшая школа, 1991. -287 с.

Рабинович М.И., Трубецков Д. И.

Введение

в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1992. — 560 с.

Алешкевич В.А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Колебания и волны. Лекции. — М.: Физический факультет МГУ, 2001. — 144 с.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 2. Пространство. Время. Движение — М.: УРСС, 2000. — 171 с.

Пановко Я.Г.

Введение

в теорию механических колебаний — М.: Наука, 1971. — 240 с.

θφ

Изм.

Лист Подп.

Дата

Выполн.

Пров.

.

Утв.

Подп.

Дата

Лист

№ докум.

Лист

Дата

Подп.

№ докум.

Лист Изм.

Стадия

Лист

Листов

№ докум.

Изм.

Лист