Выриант №8

Линейная модель множественной регрессии выглядит так:

Y (i) = b0 + b1X1 + b2X2

где Y (i) — оценка ожидаемого значения Y при фиксированных значениях переменных факторов Х1 и Х2.;

b0, b1, b2 — коэффициенты регрессии, показывающие изменения Y с изменением соответствующего признака Х на единицу. Параметры уравнения находятся методом наименьших квадратов.

Для определения неизвестных параметров b0, b1, b2 уравнения множественной линейной регрессии используется стандартная система нормальных уравнений, которая имеет вид:

n*b0 + b1*∑X1 + b2*∑X2 = ∑Y

b0*∑X1 + b1*∑X1 + b2*∑ X1X2 =∑X1*Y

b0*∑X2 + b1*∑X1*X2 + b2*∑X2*X2 = ∑X2*Y

Исходные данные для решения данной системы представлены в таблице 10

Таблица 10

Исходные данные для решения системы уравнений множественной регрессии Номер позиции Цена автомобиля, руб. (Y) Время эксплуатации, лет (X (1)) Пробег, тыс.

км (Х (2)) х1*y x2*y x1*x2 x1²×2² 1 465 2 14,0 930 6510 28 4 196 2 520 2 46,0 1040 23 920 92 4 2116 3 465 2 31,0 930 14 415 62 4 961 4 700 1 7,3 700 5110 7,3 1 53,29 5 370 4 68,0 1480 25 160 272 16 4624 … … … … … … … … … 47 343 7 110,0 2401 37 730 770 449 12 100 48 425 3 75,0 1275 31 875 225 99 5625 49 410 3 52,0 1230 21 320 156 9 2704 50 450 2 25,0 900 11 250 50 4 625 сумма 22 544 168 2653,8 66 886 1 045 130 11 818,3 748 218 548 среднее 450,88 3,36 53,076 1337,72 20 902,6 236,366 14,96 4370,9

Подставляя данные таблицы, уравнение примет вид:

b0*50 + b1*168 + b2*2653,8 = 22 544

b0*168 + b1*748 + b2*11 818,3 = 66 886

b0*2653,8 + b1*11 818,3 + b2* 218 548,5 = 1 045 130

Для решения системы используется метод Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных: делится первое уравнение системы на 50, затем умножается полученное уравнение на 168 и вычитается из второго уравнения системы, далее умножается полученное уравнение на 2653,8 и вычитается из третьего уравнения системы. Повторяя указанный алгоритм для преобразованных второго и третьего уравнений системы, получим:

Первое решение

50 168 2653,8 22 544 168 748 11 818,3 66 886 2653,8 11 818,3 218 548,5 1 045 130

Второе решение

1 3,36 53,076 450,88 0 183,52 2901,532 -8861,84 0 2901,532 77 695,45 -151 415

Третье решение

1 3,36 53,076 450,88 0 1 15,81 044 -48,2881 0 0 31 822,23 -11 309,7

После преобразований уравнение примет вид

b0+ b1*3,36 + b2*53,076 = 450,88

b1+ b2*15,81 = -48,2881

b2* 31 822,23 = -11 309,7

Отсюда:

в2 -0,3554 в1 -42,6691 в0 613,1114

Тогда окончательно зависимость цены автомобиля от пробега и срока эксплуатации в виде линейного уравнения множественной регрессии имеет вид:

Y (i) = 613,1 -42,67X1 — 0,3552X2

Из полученного эконометрического уравнения видно, что с увеличением времени эксплуатации и пробега цена автомобиля снижается. Кроме того, чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние объясняющей переменной на зависимую переменную.

Для количественной оценки указанного вывода определятся частные коэффициенты эластичности:

Э (Х1) = b1 * (X1ср / Yср) = -42,7 * (3,36/460,8) = -0,318

Э (Х2) = b2 * (X2ср / Yср) = -0,355 * (53,076/460,8) = -0,042

Анализ полученных результатов показывает, что большее влияние на стоимость оказывает срок эксплуатации. Так, в частности, при увеличении срока эксплуатации на 1% стоимость снижается на 0,318%. В то же время с ростом пробега на 1% стоимость снижается на 0,04%.

Коэффициент множественной корреляции отражает тесноту связи между вариацией зависимой переменной и вариациями всех включенных в анализ независимых переменных. Парные коэффициенты корреляции и коэффициент множественной корреляции рассчитываются по формулам:

r (x1,x2) = [(x1*x2)ср — x1 ср* x2 ср] /[ σ(х1)* σ(х2) ]

r (x1,y) = [(x1* y) ср — x1 ср* y ср] /[ σ(х1)* σ(y) ]

r (y, x2) = [(y *x2)ср — y ср* x2 ср] /[ σ(y)* σ(х2) ]

R (y, x1, x2) =КОРЕНЬ [r (x1,y)² + r (y, x2)² — 2* r (x1,y) *r (y, x2) * r (x1,x2)] /[ 1 — - r (x1,x2)^2 ]

r (x1,x2) = (236,6−3,36*53,07)/(0,76*24,48) = 3,1191

r (x1,y) = (1337,7−3,36*450,8)/0,76*110,1 = -2,1181

r (y, x2) = (20 902,6−53,06*450,8)/(24,48*110,1)=-1,1236

R (y, x1, x2) =√(-8,4671 / -8,74) = 0,99

В рассматриваемом примере величина коэффициента регрессии b2 больше, чем величина коэффициента b1, следовательно, пробег оказывает значительно большее влияние на стоимость, чем срок эксплуатации. Между факторами наблюдается тесная связь.

С помощью таблиц EXCEL пакета «Анализ данных» выводится на печать протокол решения задачи — решение линейного уравнения регрессии. В примере используется один фактор Х1.

Таблица 11

ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,6977 R-квадрат 0,4869

Нормированный R-квадрат 0,4762

Стандартная ошибка 80,4956

Наблюдения 50 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 295 083 295 083 45,54 068 1,788E-08 Остаток 48 311 018,3 6479,5 Итого 49 606 101,3 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 554,316 19,093 29,033 0,000 515,928 592,70 515,92 592,70 Переменная X 1 -1,949 0,289 -6,748 0,000 -2,529 -1,368 -2,529 -1,368

Заключение

В работе проведено выборочное наблюдение 50 предлагаемых на продажу автомобилей марки автомобиля — Хонда-Джаз по исследуемым признакам: стоимость, срок эксплуатации, пробег. Выявлена зависимость результативного признака У (цена) от признаков-факторов Х1 (срок) и Х2 (пробег), произведены аналитические группировки продаваемых автомобилей по времени эксплуатации и пробегу. Средняя величина пробега из общей выборки 50 автомобилей составляет 53,09 км со средним сроком эксплуатации 3,36 лет.

Если рассматривать интервальный ряд с числом автомобилей в группе и стоимостью, можно заключить, что наибольшее число автомобилей в третьей группе (от 417 тыс.

руб. до 484,2 тыс.

руб.) с ценой 440 тыс.

руб. У половины автомобилей уровень стоимости превышает 457 тыс.

руб.

По результатам формирования группировки методом многомерной средней выявлено, что 29 автомобилей представлены на рынке по стоимости свыше 500 тыс.

руб. со сроком эксплуатации около 2 лет и пробегом 24,8 тыс.

руб. в среднем по группе. Из общего количества автомобилей в совокупности из 50 единиц — 17 автомобилей имеет цену около 400 тыс.

руб., пробег 83,5 тыс.

км и срок эксплуатации 4 года. Только 4 автомобиля из всей совокупности предлагаются по цене от 300 до 400 тыс.

руб. со сроком использования свыше 7 лет и пробегом свыше 100 тыс.

км.

Средняя цена автомобиля по рассчитанным ранее данным составляет 450,99 тыс.

руб. Ошибка выборки составит 17,2. Предельная ошибка выборки при t=2 составит 34,4. С вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя цена автомобиля находится в пределах доверительного интервала [416,6; 485,4]

Из полученного эконометрического уравнения видно, что с увеличением времени эксплуатации и пробега цена автомобиля снижается. Кроме того, чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние объясняющей переменной на зависимую переменную. Анализ полученных результатов показывает, что большее влияние на стоимость оказывает срок эксплуатации. Так, в частности, при увеличении срока эксплуатации на 1% стоимость снижается на 0,318%. В то же время с ростом пробега на 1% стоимость снижается на 0,04%.

1.Горемыкина Т. К. Общая теория статистики: Учебное пособие / Т. К. Горемыкина Т.К. — М.:МГИУ, 2006.

2.Зорин, А. Л. Справочник экономиста в формулах и примерах / А. Л. Зорин. — М.: Профессиональное издательство, 2006. — 336 с. (Библиотека журнала «Справочник экономиста»)

3.Общая теория статистики / Под ред О. Э. Башиной. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 226с

4. Просветов Г. И. Анализ данных с помощью EXCEL: задачи и решения: Учебно — практическое пособие / Г. И. Просветов. — М. Альфа0Пресс, 2009. — 160 с.

5. Харченко Л. П. Статистика: курс лекций / Л. П. Харченко, В. Г. Долженкова, В. Г. Ионин. — М.:Инфра-М, 2008. — 346 с.

Харченко Л. П. Статистика: курс лекций / Л. П. Харченко, В. Г. Долженкова, В. Г. Ионин. — М.:Инфра-М, 2008. — С.48

Горемыкина Т. К. Общая теория статистики: Учебное пособие / Т. К. Горемыкина Т.К. — М.:МГИУ, 2006. С.45

Общая теория статистики / Под ред О. Э. Башиной. — М.: Финансы и статистика, 2006. — С.166

Горемыкина Т. К. Общая теория статистики: Учебное пособие / Т. К. Горемыкина Т.К. — М.:МГИУ, 2006. — с.105

Харченко Л. П. Статистика: курс лекций / Л. П. Харченко, В. Г. Долженкова, В. Г. Ионин. — М.:Инфра-М, 2008. — c/26