В таблице приведено содержание указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и себестоимости продуктов. Продукты
Количество кормовых единиц
Содержание компонентов в 1 кг
Себестоимость, руб./кг
БелокКальций
ФосфоргСено0,5401,2521,2Силос0,5102,510,8Определить оптимальный рацион из условия минимума себестоимости. Обозначим через и количество кг сена и силоса, которые составляют дневной рацион. По условиям задачи план должен удовлетворять ограничениям по питательности:
ограничениям по ресурсам: Кроме того, по условию, Себестоимость рациона составит
Итак, нам надо найти, , которые удовлетворяют неравенствам и для которых функция достигает наименьшего значения. Решение можно провести обычными методами решения задач линейного программирования: графическим, симплекс-методом.При решении симплекс-методом для определения опорного плана придется добавить 6 дополнительных переменных и 4 искусственных базиса, что сделает решение очень трудоемким. Если в задаче нелинейного программирования не более двух переменных и ограничения являются неравенствами, то можно такую задачу решить графически. Используем для решения графический метод. Решение задачи линейного программирования графическим способом предполагает выполнение двух этапов:
1) построение множества допустимых решений, удовлетворяющих всем ограничениям;
2) нахождение оптимального решения на множестве допустимых решений. Построим множество допустимых решений. Под областью допустимых решений понимается множество всех допустимых решений, т. е. множество всех производственных программ, которые удовлетворяют всем ресурсным ограничениям и условиям неотрицательности компонент вектора Х. Построим графически область допустимых решений из следующих уравнений (рис. 1): 0,5×1 +0,5×2 = 30(1)40×1 + 10×2 = 1000 (2)1,25×1 + 2,5×2 = 100(3)2×1 + х2 = 80(4)х1 = 50(5)х2 = 85(6)(6)(5)(4)(3)(2)(1)Рис. 1. Графическое решение задачи
Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Точки, расположенные по одну сторону прямой удовлетворяют соответствующему неравенству, а точки расположенные по другую сторону, не удовлетворяют. Точки множества допустимых решений должны удовлетворять всем ограничениям. Следовательно, множество допустимых решений является пересечением всех допустимых полуплоскостей и представляет собой многоугольник (заштрихованная область на рис. 1). Любая точка, расположенная внутри этого многоугольника или на любом отрезке его границы, является допустимым решением, т. е. удовлетворяет всем ограничениям модели. Найдем в области допустимых точку максимума целевой функции L = 1,2×1+ 0,8×2, которую обозначим Х*. Для этого найдём градиент функции z, который равен: gradz=(∂z/∂х1;∂z/∂х2)=(1,2; 0,8)Вектор gradz показывает направление возрастания функции и перпендикулярен ее линиям уровня.
Целевая функцияможет возрастать до тех пор, пока линии уровня, соответствующие возрастающим значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пресечения области допустимых решений и линии уровня, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума. На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке, лежащей на пересечении прямых (1) и (4). Поэтому ее координаты находятся какрешение системы линейных уравнений, задающих прямые: 0,5×1 +0,5×2 = 302×1 + х2 = 80Решая систему находим: х1* = 20, х2* =40При этих значениях целевая функция равна: z* = 1,2×1 + 0,8×2=1,2 * 20 + 0,8 * 40 = 56. Заключение
Как было показано в тексте работы, задача о смеси является частным случаем задачи линейного программирования, состоящая в определении такого оптимального состава смеси веществ, который удовлетворял бы определенным требованиям. Как и при решении задач линейного программирования, при решении задач о смесях можно использовать ряд методов, в числе которых самые распространенные симплекс-метод и графический метод. При решении конкретной задачи о смесях во второй главе работы был использован алгоритм графического метода. Полученное решение задачи о смеси продуктов (рационе) позволяет сделать вывод, что для получения минимальной стоимости рациона при данных ограничениях ресурсов необходимо включить в дневной рацион скота 20 кг сена и 40 кг силоса. При этом количестве стоимость дневного рациона будет равна 56 руб. Список использованной литературы
Барабаш С.Б., Воронович Н. В. Экономико-математические методы. — Новосибирск: НГАЭиУ, 2004
Бахтин А. Е. Математическое моделирование в экономике. — Новосибирск: НГАЭиУ, 2005
Кузнецов Б. Т. Математика: Учебник для студентов вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004
Красс М.С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. — М.: Дело, 2007
Устюгов
Ю.А. Экономико-математические методы и модели:
Учебно-методический комплекс. — Новосибирск: НГУЭУ, 2006. — 116 с. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. — М.: Финансы и статистика, 2011
Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 2009.
