При дисперсионном анализе осуществляется разбиение общей суммы квадратов N=p2 наблюдений на компоненты для строк, столбцов, обработок и ошибки, например, с числом степеней свободы:
Всего Строки Столбцы Обработки Ошибка
p2−1 = p-1 + p-1 + p-1 + (р-2)(р-1).
Процедура вычислений при дисперсионном анализе приведена в таблице 2, из которой видно, что этот анализ является непосредственным обобщением случая рандомизированного полноблочного плана, причем сумма квадратов для строк определяется через суммы наблюдений по строкам [4,79].
Таблица 2
Дисперсионный анализ для латинского квадрата
Латинский квадрат, у которого буквы в первой строке и первом столбце расположены в алфавитном порядке, называется стандартным. Стандартный латинский квадрат всегда можно получить, если расположить буквы в первой строке в алфавитном порядке, а в каждой из последующих строк — со сдвигом на одно положение влево по сравнению с предыдущей.
При латинском квадрате, как и при любом плане эксперимента, наблюдения должны производиться в случайном порядке. Соответствующая процедура рандомизации состоит в том, что для проведения конкретного эксперимента латинский квадрат выбирается случайным образом.
Латинские квадраты могут оказаться полезными в ситуациях, когда строки и столбцы соответствуют факторам, которые экспериментатору требуется в действительности исследовать, а не ограничениям на рандомизацию. Таким образом, при всего р2 наблюдениях могут быть исследованы три фактора (строки, столбцы и буквы), причем каждый из них на р уровнях.
5.2 Греко-латинские квадраты Рассмотрим латинский квадрат рХр. Наложим на него другой латинский квадрат рХр, в котором обработки обозначены греческими буквами. Если при наложении каждая греческая буква встречается с каждой из латинских букв один и только один раз, то говорят, что такие латинские квадраты ортогональны, а образующийся при этом квадрат называют греко-латинским.
Греко-латинские квадраты могут использоваться при планировании экспериментов для систематического контроля трех источников мешающей неоднородности, т. е. для группирования в блоки по трем направлениям. Такие планы позволяют исследовать всего при р2 наблюдениях четыре фактора (строки, столбцы, латинские и греческие буквы), причем каждый из них на р уровнях. Греко-латинские квадраты существуют для всех р≥3, кроме р = 6.
Статистическая модель эксперимента [4,80], планом которого является греко-латинский квадрат, имеет вид
где — наблюдение в i-й строке и l-м столбце для j-й латинской и k-й греческой букв; θi —эффект i-й строки; τj— эффект j-й латинской буквы; ωk — эффект k-й греческой буквы; φl — эффект l-го столбца; εijkl ~NID (0, σ²) — случайная ошибка.
Дисперсионный анализ (табл. 3) проводится практически так же, как и в случае латинских квадратов. Поскольку любая из греческих букв в каждой строке и каждом столбце и с каждой латинской буквой встречается один и только один раз, то фактор, представленный греческими буквами, ортогонален факторам, соответствующим строкам, столбцам и латинским буквам. Следовательно, сумма квадратов, обусловленная фактором, представленным греческими буквами, может быть выражена через суммы для греческих букв, а экспериментальная ошибка должна быть уменьшена на соответствующую величину. Нулевые гипотезы о равенстве эффектов обработок, представленных строками, столбцами, латинскими и греческими буквами, проверяются на основе отношений соответствующего среднего квадрата к среднему квадрату ошибки. Критическое значение — верхняя процентная точка F-распределения с р—1 и (р—3)(р—1), степенями свободы.
Таблица 3
Дисперсионный анализ для греко-латинского квадрата
5.3 Гиперквадраты Идея образования греко-латинского квадрата из двух ортогональных латинских квадратов может быть обобщена. При наложении трех или более ортогональных латинских квадратов рХр образуется гиперквадрат рХр. В общем случае полного набора р—1 ортогонального латинского квадрата оказывается возможным исследовать до р+1 фактора включительно. При этом используются все (р+1)(р—1)=р2—1 степени свободы, так что необходима независимая оценка дисперсии ошибки. Очевидно, что при использовании гиперквадратов также требуется отсутствие взаимодействия между факторами.
Заключение
Иногда, обычно в очень сложных ситуациях, эффективны рандомизированные последовательности опытов, т. е. планы, основанные на методах случайного поиска. Рандомизированные полноблочные планы, вероятно, наиболее часто встречаются при планировании экспериментов. Ситуации, в которых они должны применяться, разнообразны.
В любом из экспериментов проблемой является ошибка этого эксперимента, которую хотелось бы максимально снизить, исключить из нее изменчивость между образцами. Для этого и применяется рандомизированное полноблочное планирование.
Для анализа при таком планировании применяются таблицы дисперсионного анализа, латинские и греческие квадраты, цепные блок-схемы.
Адлер Ю.П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. «Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Издание 2-ое. — М.: Наука, 1976. — 279с.
Зедгинидзе И. Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. — М.: Наука, 1976. — 390с.
Маркова Е. В., Лисенков А. Н, Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. М.: Наука, 1979. — 345с.
Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных: Пер. с англ.—Л.: Судостроение, 1980.—384с.
Государственный стандарт СССР. Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. ГОСТ 24 026–80.
Широкова С.А. Блок-схемы. Успехи математических наук, т. XXIII, вып. 5 (143), 1968 г.
Учебное пособие по работе в программе SPSS:
http://lib.socio.msu.ru/l/library
Приложение, А Оперативные характеристики для дисперсионного анализа, модель случайных эффектов
Приложение Б Оперативные характеристики для дисперсионного анализа, модель случайных эффектов
