Сравнивать по критерию Пирсона экспериментальные и теоретические частоты с целью проверки гипотезы о нормальном распределении, можем только в случае, если для каждого частичного интервала выполняется условие ≥ 5. Из таблицы 9 видно, что это условие выполняется не везде. Поэтому, те частичные интервалы, для которых частоты < 5, объеденяем с соседними. Соответственно, объеденяются и экспериментальные частоты ni.
На рисунке 1 отображены экспериментальный (синий цвет) и теоретический (красный цвет) ряды Рисунок 1 — экспериментальный и теоретический ряды
4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты.
Статистика х2 имеет распределение с V = k — r — 1 степенями свободы, где k — число интервалов имперического распределения, r — число параметров теоритического распределения, вычесленных по эксперементальным данным. Для нормального распределения число степеней равно V = k — 3.
В теории математической статистики оказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пмрсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:
N ≥ 50, ≥ 5, где i = 1, 2, 3…
Из результатов вычислений следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяются все группы с частотами < 5до тех пор, пока для каждой новой группы не выполнится условие ≥ 5.
При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V = k — 3 в качестве k принимают новое число групп, полученое после объединения частот.
Результаты объединения интервалов и теоретических частот для ранее посчитанных величин приведены в соответствие в таблице 10. Результаты вычислений из таблицы 10 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.
Таблица 10
[xi-1; xi) ni [7,18; 8,16) 0,1332 7,997 8 0,001 0,000 [8,16; 8,65) 0,1519 9,114 12 8,323 0,913 [8,65; 9,14) 0,1912 11,472 11 0,223 0,019 [9,14; 9,63) 0,1690 10,140 7 9,860 0,874 [9,63; 10,12) 0,1431 8,586 10 1,999 0,233 [10,12; 11,11) 0,1999 11,999 12 0,000 0,000 0,9883 59,308 60 2,039 Проведем процедуру оценки гипотезы о нормальном распределении случайной величины х Задаются уровнем значимости α = 0,05 или одним из следующих значений: α1 = 0,01, α2 = 0,1, α3 = 0,05.
Вычисляют наблюдаемое число критерия
используя эксперементальные и теоретические частоты из таблицы 10
Для выбранного уровня значимости α = 0,05 по таблице распределения находят критические значения при числе степеней свободы V = k — 3, где k — число групп эмпирического распределения.
Сравнивают фактически наблюдаемое с критическим и принимают решение:
А) Если >, то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.
Б) Если <, то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т. е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).
При выбраном уровне значимости α = 0,05 и числе групп k = 5 число степеней свободы V = 2.
Для α = 0,05 и V = 2 находим = 5,9915
В результате получим:
Для = 2,0390, которое нашли по результатам вычислений, приведенных в таблице 10, имеем
= 2,0390 < = 5,9915
Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределениислучайной величины.
Список используемых источников
Громыко Г. Л. Теория статистики: практикум. М.: Инфра-М, 2003 — 306с Гусаров В. М. Статистика: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 — 463с Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. Учебник 4-е издание. М.: Финансы и статистика, 2002 — 482с.
Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975 (2-е изд.) — 648с Курс социально-экономической статистики: Учебное пособие для вузов. Под редакцией Назарова М. Г. — М.: Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000 — 771с.
Моргенштерн О. О точности экономико-статистических наблюдений. — М.: Статистика, 1968 — 324с Чернова Т. В. Экономическая статистика. Учебное пособие. Таганрог: Издательство ТРТУ, 1999 — 385с.
