Эффективная годовая процентная ставка

Лучший способ быстро произвести расчёт эффективной процентной ставки (не имея под рукой специального финансового калькулятора или компьютерной программы) — это воспользоваться каким-нибудь табличным редактором. Например, в онлайновом табличном редакторе Google весь расчёт выглядит примерно следующим образом:

Рис.

1. Вычисление эффективной процентной ставки с помощью табличного редактора Пример 6: Кредит размером 24 тысячи евро, выданный на два года под 12% годовых, погашается ежемесячными платежами в соответствии с дифференцированной схемой. Комиссия за организацию кредита составляет 1% от его суммы. Кроме того, каждый месяц с заёмщика взимается комиссия за ведение ссудного счёта размером 0,1% от суммы кредита. Нам нужно найти эффективную процентную ставку по данному кредиту.

Прежде всего, построим график погашения кредита (без учёта структуры платежей). Платежи в счёт погашения кредита образуют арифметическую прогрессию с начальным членом

A1 = (+ 0,12 ·) · 24 000 = 1240 евро и разностью

— (0,12 ·

· 24 000)

· = - 10 евро.

Кроме того, при получении кредита заёмщик был вынужден заплатить 0,01

· 24 000 = 240 евро, а каждый месяц с него взимается комиссия размером 0,001

· 24 000 = 24 евро. Значит, график платежей по кредиту имеет следующий вид:

Рис.

2. График платежей по кредиту Значения столбца «с комиссией, Rk», за исключением самого первого (с индексом 0), совпадают с коэффициентами при степенях x у функции f (x), которую мы будем использовать в расчётах. Для получения первого коэффициента (при нулевой степени x) нужно из начального платежа R0 = 240 вычесть размер кредита (формула в левом верхнем углу):

Рис 3. Нахождение коэффициентов функции f (x)

Коэффициенты при степенях x у производной f'(x) находятся по уже известному нам принципу:

Рис.

4. Нахождение коэффициентов производной f'(x)

Теперь, наконец, можно применить метод Ньютона для нахождения месячного множителя дисконтирования (формула в левом верхнем углу):

Рис.

5. Нахождение месячного множителя дисконтирования Одновременно с вычислением месячного множителя дисконтирования определяем саму эффективную процентную ставку i:

Рис. 6. Нахождение эффективной процентной ставки Метод Ньютона привёл к окончательному ответу всего лишь за пять вычислений: эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту приближённо равна 16,38%, на 4,38% больше, чем номинальная ставка.

3.

2. Вычисление эффективной процентной ставки для аннуитетной схемы

в определённых случаях, а именно, для аннуитетной схемы погашения ссуды, эффективную процентную ставку можно найти ещё быстрее и проще. Собственно, основное преимущество метода, который мы далее рассмотрим, заключается в его большей компактности.

Перепишем формулу (19) — соотношение для определения эффективной процентной ставки, которое справедливо при погашении кредита аннуитетными платежами — с помощью уже знакомого нам множителя дисконтирования vτ = (1 + i)-τ :

(20)

Умножим обе части уравнения (20) на (1 — vτ), приведём подобные слагаемые, а затем разделим результат на (S0 — R0 + R). В результате мы получим следующее соотношение:

(21)

Для нахождения корня уравнения (21) можно использовать уже знакомый нам метод Ньютона. Для этого введём функцию

и найдём её производную:

.

Теперь, если в качестве начального приближения выбрать

(22)

то с помощью формулы (17) можно получить последовательность чисел {x (k)}, приближающихся к точному значению множителя дисконтирования vτ .

Пример 7: Найдём эффективную процентную ставку для кредита:

— срок кредитования — 3 года;

— процентная ставка j — 18% годовых;

— схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;

— комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;

— ежемесячная комиссия за ведение ссудного счёта — 0,1% от суммы кредита.

Кроме того, для определённости будем считать, что размер кредита составляет 12 млн. рублей.

Вычислять эффективную процентную ставку по этому кредиту по-прежнему будем с помощью какого-нибудь удобного табличного редактора. Вот так приблизительно будут выглядеть начальные условия (нет необходимости вручную вычислять размеры платежей — можно использовать нужные формулы непосредственно в ячейках таблицы):

Рис.

7. Внесение начальных условий Следующий шаг — это вычисление коэффициентов функции f (x):

Рис.

8. Вычисление коэффициентов функции f (x)

Первый коэффициент по совместительству является начальным приближением x (0). Переносим его в соответствующую ячейку и по методу Ньютона вычисляем несколько приближений месячного множителя дисконтирования (обратите внимание на формулу в левом верхнем углу):

Рис.

9. Вычисление месячного множителя дисконтирования Одновременно с этим вычисляем приближённые значения эффективной процентной ставки i:

Рис. 10. Вычисление эффективной процентной ставки После восьми вычислений мы ещё раз подтвердили, что эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту составляет около 22,8%, на 4,8% больше, чем номинальная.

Заключение

В заключение хочется сделать ещё одно важное общее замечание. Рассмотренный нами метод гарантированно сойдётся (то есть приведёт к искомым значениям множителя дисконтирования и эффективной процентной ставки), если в качестве начального значения выбрать величину (21). Если же взять какое-нибудь другое начальное приближение, то метод может сойтись ко второму корню функции f (x) — единице (соответствующее значение эффективной процентной ставки равно нулю). Например, в рассмотренном нами примере так произошло бы, возьми мы в качестве начального приближения любое число больше 0,992.

И ещё одно общее замечание относительно выбора численного метода. Существует великое множество численных методов, многие из которых вполне можно было бы применить для решения наших задач. Метод Ньютона был выбран из-за его, на мой взгляд, оптимального соотношения между сложностью применения и скоростью сходимости (вы ведь помните, мы ни в одном из примеров не делали больше восьми вычислений). Существуют более быстрые, но более сложные для понимания методы. Существуют более простые методы, с меньшим количеством ограничений и гарантированной сходимостью, но требующие большого количества вычислений. Например, если бы мы в последнем примере использовали широко известный метод простой итерации, то для достижения требуемой точности нам пришлось бы сделать около сотни вычислений. Понятно, что эти вычисления делает программа, но тем не менее.

Положение № 254-П «О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности» от 01.

07.2007

Бухвалов А. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста и менеджера. / Бухвалова В., Идельсон А. Спб.: БХВ-Петербург, 2001 — 320c.

Ковалев В.В., Уланов В. А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2005 — 560c.

Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика: учеб.

справ. пособие. / Я. С. Мелкумов — М.: ИНФРА-М, 2007

Уланов В. А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2003

Цымбаленко С. В. Финансовые вычисления, М., дело, 2002

Четыркин Е. М. Финансовая математика: учеб. / Е. М. Четыркин — М.: Дело, 2007

Четыркин Е. М. Финансовая математика: учеб. / Е. М. Четыркин — М.: Дело, 2007

Бухвалов А. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста и менеджера. / Бухвалова В., Идельсон А. Спб.: БХВ-Петербург, 2001 — 320c.

Бухвалов А. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста и менеджера. / Бухвалова В., Идельсон А. Спб.: БХВ-Петербург, 2001 — 320c.

Ковалев В.В., Уланов В. А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2005 — 560c.

Ковалев В.В., Уланов В. А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2005 — 560c.

Уланов В. А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2003

Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика: учеб.

справ. пособие. / Я. С. Мелкумов — М.: ИНФРА-М, 2007

См там же

Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика: учеб.

справ. пособие. / Я. С. Мелкумов — М.: ИНФРА-М, 2007

Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика: учеб.

справ. пособие. / Я. С. Мелкумов — М.: ИНФРА-М, 2007

Уланов В. А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2003

Четыркин Е. М. Финансовая математика: учеб. / Е. М. Четыркин — М.: Дело, 2007

Четыркин Е. М. Финансовая математика: учеб. / Е. М. Четыркин — М.: Дело, 2007

Уланов В. А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2003

Уланов В. А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2003

Цымбаленко С. В. Финансовые вычисления, М., дело, 2002