Положим
Если α0 и α1 должны удовлетворять уравнению (8), то μ0 и μ1 определяются из равенства
Так как это равенство должно быть справедливо для любых β0 и β1, то необходимо потребовать выполнения двух равенств:
Выполнив интегрирование после преобразований получим
(9)
Аналогично определим значения А0 = А1=1.
Окончательно получим
Это и есть формула численного интегрирования Гаусса для случая двух ординат. Ошибка ограничения равна нулю при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. При интегрировании многочленов высших степеней и прочих функций ошибка ограничения будет равна
Можно вывести гауссовы формулы численного интегрирования более высмких порядков:
Таблицы коэффициентов μi и Аi можно найти например в [3]. Ниже приведем эти коэффициенты до n = 6
Программа вычисления интеграла по методу Гаусса приведена в приложении№ 3.
Приложение № 1
Приложение № 2.
Блок-схема программы:
ДА
НЕТ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться методом трапеций. Если же необходимо получить более точный результат, идеально подходит метод Симпсона.
1. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.
М.: Наука. 1980.
2. Никольский С. М. квадратурные формулы.
М.: Наука. 1979.
3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука. 1987.
4. Волков Е. А. численные методы. — М.: Наука. 1982.
5. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. Т.
2. — М.: Наука. 1977.
M1
M0
X2
Х0
M2
M1
M0
M2
y0
y1
y2
— h
h
X1
I=i+1
S=S+(f (a+(2i-2)h) + 4 f (a+(2i-1)h)+ f (a+(2i)h))h/3
Вывод S
i≤m
h=(b-a)/n
S=0, i=1
Ввод a, b, n
S=0, i=1
h=(b-a)/n
S0=(f (a)+f (b))*0.5*h
I
Вывод Sn
S=S+f (a+i*h)*h
Sn=S0+S
i=i+1
Ввод a, b, n=2m
