Математика и экономика

Принимаем: Пусть до повышения производительности труда за изготовление Q1 единиц продукции рабочий получал W1 руб. Тогда стоимость одной единицы Р1 = W1 / Q1 (руб.). После повышения производительности на Х% рабочий за это же время сделал Q2 = Q1(1  Х/100) единиц продукции, получив за эту работу W2 = W1 (1  У/100) (руб.) Теперь стоимость одной единицы Р2 стала равна:

Р2 = W2 / Q2 = ((W1(1  У/100) / (Q1(1  Х/100)) = (W1 / Q1) ((1  У/100) / (1  Х/100))

Отсюда следует, что Р2 = Р1((1  У/100) / (1  Х/100))

Задача 5. Фирма, имея некоторое количество рабочих, выпускала в год постоянное число единиц продукции. Изменение технологии производства привело к изменению количество рабочих на Z%, к изменению производительности труда на Х% в первый год и на У% во второй год. Как изменилась производительность труда по сравнению с той, которая была до изменения технологии? Принимаем: N — количество рабочих, работавших до изменения технологии. Q — количество выпускаемой ими продукции до изменения технологии. П — производительность труда до изменения технологии П = Q / NПосле изменения технологии за два года фирма выпустила Q2 = Q (1  Х/100)(1  У/100) единиц продукции. Их изготовляли N2 = N (1  Z/100) рабочих, поэтому производительность труда за два года составила: П2 = Q2 / N2 = (Q (1  Х/100)(1  У/100)) / (N (1  Z/100)), учитывая, что П = Q / N, после преобразования получимП2 = П (((100  Х) (100  У)) / (100(100  Z)))

7.Математическое моделирование в экономике, различные типы моделей.

Важнейшим видом формализованного знакового моделирования является математического моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики. Для изучения какого-либо класса явлений внешнего мира строится его математическая модель, т. е. приближенное описание этого класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Сам процесс математического моделирования можно подразделить на четыре основных этапа:

I этап: Формулирование законов, связывающих основные объекты модели, т. е. запись в виде математических терминов сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

II этап: Исследование математических задач, к которым приводят математические модели.

III этап: Корректировка принятой гипотетической модели согласно критерию практики, т. е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений.

IV этап: Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изученных явлениях и модернизация модели.

С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации. Экономические модели, исходя из общего процесса математического моделирования, строятся следующим образом:

Математические методы, основанные на математическом моделировании, все шире применяются в промышленно-экономических исследованиях, в частности, в операционных исследованиях.

Операционные исследования являются методом выработки количественно обоснованных рекомендаций по принятию управленческих решений. Описание всякой задачи операционных исследований включает в себя задание факторов решения, которые являются численными переменными, налагаемых на них ограничений (отражающих ограниченность ресурсов) и системы целей.

Сущность задачи операционных исследований состоит в нахождении наиболее целесообразных, оптимальных решений. Поэтому задачи операционных исследований обычно называются оптимизационными.

Для разработки наиболее важных задач в операционных исследованиях широко используются математические модели, построенные на статистической или вероятностной (стохастической) основе. Они помогают учесть даже такие факторы, просчитать точное изменение которых практически невозможно.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами.

Теория массового обслуживания.

Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т. п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции (АТС). На АТС случайным образом поступают «требования» — вызовы абонентов, а «обслуживание» состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т. д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Предположим, что автоматическая линия связи имеет n одинаково доступных для абонентов каналов. Вызовы поступают в случайные моменты времени. Если при поступлении очередного вызова все n каналов лини связи оказываются занятыми, то поступивший вызов получает отказ и теряется. В противном случае немедленно начинается разговор по одному из свободных каналов, длящийся случайное время.

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование — это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Задача планирования работы предприятия.

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы — сырье, рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т. д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Ставиться задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т. е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

На основе метода математического моделирования в операционных исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических методов решения. К их числу относятся:

Задача замены оборудования.

Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования).

Задача распределения ресурсов.

Задача ценообразования.

Теория сетевого планирования.

Задача надежности изделий.

Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности.

Задача ценообразования.

Для предприятия вопрос образования цены на продукцию играет немаловажную роль. От того, как проводится ценообразование на предприятии, зависит его прибыль. Кроме того, в существующих сейчас условиях рыночной экономики цена стала существенным фактором в конкурентной борьбе.

Теория сетевого планирования.

Сетевое планирование и управление (СПУ), является системой планирования управления разработкой крупных хозяйственных комплексов, конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов товаров, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Сущность СПУ состоит в составлении математической модели управляемого объекта в виде сетевого графика или модели находящейся в памяти ЭВМ, в которых отражается взаимосвязь и длительность определенного комплекса работ. Сетевой график после его оптимизации средствами прикладной математики и вычислительной техники используется для оперативного управления работами.

Пример сетевого графика:

Кружочками на сетевом графике обозначается событие, т. е. начало иди конец работы, а линией со стрелкой — действия, которые надо совершить, чтобы перейти от предшествующего события к последующему.

Важным элементом разработки сетевого графика является определение продолжительности путей. Пути представлены линиями, образуемыми стрелками взаимосвязанных работ, концы которых указывают на начальное и конечное события.

Решение экономических задач с помощью метода математического моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом. Создание математической модели — важный этап познания, поскольку он позволяет четко формулировать наши представления о структуре явления, характерных его особенностях, действующих в нем связях.

Для одного и того же явления можно создать не одну, а несколько различных моделей. История науки оставила нам в наследство множество примеров такого рода. Скажем в оптике рассматривались несколько моделей распространения света: корпускулярная, волновая, электромагнитная. Для них были чисто математическим путем выведены многочисленные важные закономерности количественного характера. Каждая из названных моделей требовала особого математического подхода для своего развития и соответствующих специфических математических средств исследования. Так, корпускулярная геометрическая оптика использовала средства евклидовой геометрии и привела к выводу законов преломления и отражения лучей света.

Достаточно широко используются математические модели при анализе экономических проблем. Экономическое моделирование осложняется тем, что экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения. Моделирование производственных процессов не представляет принципиальных трудностей и не намного сложнее, чем моделирование физических процессов. Моделировать же производственные отношения невозможно, не учитывая поведения людей, их интересов и индивидуальных принятых решений.

Для того, чтобы продемонстрировать различия между моделированием чисто технологических сторон экономических явлений и описанием действий людей, приведем простой пример. Рассмотрим бригаду рабочих с мастером во главе, занятых мелкосерийным производством. Ежедневно перед мастером возникает задача распределения между рабочими заданий на изготовление различных деталей. Рабочие отличаются между собой как по общей квалификации, так и по умению выполнять отдельные производственные операции. Можно математически описать производительность каждого рабочего в каждой операции, выделить операции, необходимые для изготовления каждой детали и оставить задачу о минимальных затратах времени на выполнение полученных заданий. Такая задача сводится к задаче линейного программирования. Однако на практике полученный план распределения вряд ли удовлетворял бы мастера. Дело в том, что операции делятся на «выгодные» и «не выгодные» в смысле их оплаты. Поэтому мастер обязан следить за тем, чтобы все рабочие получили в итоге такую зарплату, которую и сам рабочий, и мастер считали бы «нормальной». К сожалению, пока невозможно математически проанализировать эту проблему, поскольку принципы построения математических моделей с учетом экономических интересов отдельных людей и их коллективов разработаны слабо.

Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно, наблюдение удается проводить крайне редко, проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.

Луканкин Г. Л., Хоркина Н. А. Приложение определенного интеграла в экономике. «Математика» (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»). — 2000, № 13.

Математика. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие. Ч. 1/ Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Яковлев Г. Н.; под ред. Г. Н. Яковлева. — М.: Агар, 1999.

Савицкая Е.В., Серегина С. Ф. Уроки экономики в школе: В 2 кн. Кн. 2: пособие для учителя. — М.: «Вита-Пресс», 1999.

Солодовников А.С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. С60 Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. 4.

1.-М.: Финансы и статистика, 2001.

Солодовников А.С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. С60 Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. 4.

1.-М.: Финансы и статистика, 2001.

Луканкин Г. Л., Хоркина Н. А. Приложение определенного интеграла в экономике. «Математика» (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»). — 2000, № 13