В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы. В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формулегде хо — нижняя граница медианного интервала;NМе- порядковый номер медианы (Σf/2);SMe-1- накопленная частота до медианного интервала;fMe — частота медианного интервала.Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 3Таблица 3Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 2008 г. Группы семей по размеру дохода, руб
ЧислосемейНакопленные частоты
Накопленные частоты, в % к итогу
До 500 060 060 065 000−6 000 700 1300(600+700)
136 000−70 001 700 3000(1300+1700)
307 000−800 025 005 500 557 952−900 022 007 700 779 008−100 001 500 920 092
Свыше 1 000 080 010 000 100
Итого10 000--Найдем моду по формуле: Рассчитаем медиану по формуле: сначала находится N медианы: NМе = Σfi/2= 5000
По накопленным частотам определим, что 5000 находится в интервале (7000 — 8000), ее значение определим по формуле:
Вывод: по моде — наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане — половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи — более 7800 руб. Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если М0<�Ме<�Х — имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<�Ме<�М0 следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ЕЕ СВОЙСТВАПод средней арифметической понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных значений признака суммарный объем этого признака по совокупности в целом сохраняется неизменным, т. е, средняя арифметическая есть среднее слагаемое. Она применяется для усреднения абсолютных и относительных величин. Кроме того, средняя арифметическая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по сгруппированным данным или вариационным рядам. В этомслучаеприменяетсясредняяарифметическаявзвешенная:=, где — значение признакавj-ой группе (j=1;m);m — число групп;
— частота (численность) j-й группы;
(доля) j-й группы. Если значение признака в группе задано интервалом, то в качестве варианта Xберется середина интервала (центральное значение):.При этом значение средней будет приближенным. Средняя арифметическая взвешенная используется также при вычислении средней по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности. При этом групповые (частные) средние — принимаются как варианты, а численности групп — как веса усреднения:.Средняя арифметическая обладает рядом свойств. Сущностныесвойствасреднейарифметической:
средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: А — А, при, А = const;алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для первичного ряда и, где — веса усреднения для сгруппированного ряда. Логически это означает, что все отклонения от средней в ту и другую сторону (положительные и отрицательные), обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются;
3) сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть величина минимальная:
или, где
А = ,(где — сколь угодно малая величина), что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения А, сколь угодно мало отличающегося от. Такойжевыводполучаемдлясгруппированныхданных. Вычислительные свойства средней арифметической:
1)если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину
А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же самую величину А;если все значения признака разделить (умножить) на какое-либо постоянное число
А, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) в, А раз;если вес каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число
А, то средняя арифметическая не изменится. Заключение
Математическая статистика, в свою очередь, на основе изучения статистических данных (результатов измерений) с использованием математического аппарата теории вероятностей позволяет устанавливать закономерности, которым подчиняются массовые случайные явления в технике, в экономике, в обществе. Современная математическая статистика разрабатывает способы сбора и группировки статистических сведений, изучает методы их анализа. Это позволяет получать оценку неизвестной вероятности случайного события, оценку параметров распределений, оценку величины взаимозависимости случайных величин, проводить статистическую проверку статистических гипотез. Для получения информации органы государственной и ведомственной статистики, а также коммерческие структуры проводят различного рода статистические исследования. От того, как собран первичный статистический материал, как он обработан и сгруппирован, в значительной степени зависят результаты и качество всей последующей работы. Недостаточная проработка программно-методологических и организационных аспектов статистического наблюдения, отсутствие логического и арифметического контроля собранных данных, несоблюдение принципов формирования групп в конечном итоге могут привести к абсолютно ошибочным выводам. Используемые на всех стадиях исследования приемы и методы сбора, обработки и анализа данных являются предметом изучения общей теории статистики, которая является базовой отраслью статистической науки. Разработанная методология общей теории статистики применяется в макроэкономической статистике, социальной статистике, в статистике населения, а также отраслевых статистиках (промышленности, сельского хозяйства, торговли и др.).
Список литературы
Балинова В. С. Статистика в вопросах и ответах: Учеб.
пособие. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004
Громыко Г. Л. Теория статистики: Практикум. -3-е изд., доп. и перераб.- М.: ИНФРА-М., 2004
Елисеева И.И., Юзбашев М. М, Общая теория статистики: Учебник. /Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. — 4-е изд.; перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 1998
Ефимова М.Р., Ганченко О. И., Петрова Е. В. Практикум по общей теории статистики: Учеб.
пособие.- 2-е изд. перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2003
Ефимова М.Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики: Учебник. Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: ИНФРА-М, 2000
Ефимова, М. Р. Практикум по общей теории статистики: учеб.
пособие для экон. специальностей вузов / М. Р. Ефимова, О. И.
Ганченко, Е. В. Петрова. -
М.: Финансы и статистика, 2007. — 336 с. Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие.
Москва: ИКЦ «Март»; Ростов — н/Д: Издательский центр «Март», 2005
Общая теория статистики: статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учеб.
пособие.-2-е изд. перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2003
Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник/Под ред. О. Э. Башиной, А. А. Спирина. — 5-е изд. доп. и перераб. — М.: Финансы и статистика, 2003
Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. Учебник/ А. И. Харламов, О. Э. Башина, В. Т. Бабурина и др.; Под. Ред. А. А. Спирина, О. Э. Башиной. — М. Финансы и статистика, 1996
Практикум по статистике: Учеб.
пособие для вузов. /Под ред. В. М. Симчеры. /ВЗФЭИ. — М.: ЗАО «Финстатинформ», 1999
Практикум по теории статистики: учеб.
пособие / под ред. Р. А. Шмойловой. — М.: Финансы и статистика, 2007.
— 415 с.Статистика. Учебник /Под ред. проф. И. И. Елисеевой. -М.:. ООО «ВИТРЭМ», 2002
Статистика: курс лекций. / Харченко Л. П., Долженкова В. Г., Ионин В. Г. и др.: под ред. к.э.н. В. Г. Ионина. — Новосибирск: Издательство НГАЭиУ. -М.: ИНФРА-М, 1998
Статистика: Учеб. пособие/ Под ред. М. Р. Ефимовой.
М.: Инфра — М, 2000
Статистика: Учебник/ И. И. Елисеева, А. В. Изотов, Е. Б. Капралова и др.; под ред. И. И. Елисеевой. — М.: КНОРУС, 2006
Статистические методы прогнозирования: Учеб. Пособие для вузов. — М.: ЮНИТИДАНА, 2003
Теория статистики: учеб. / под ред. проф. Г. Л. Громыко. — М.: ИНФРА-М, 2006. — 476 с. Теория статистики: учеб.
пособие и практикум / В. Г. Минашкин [и др.]. — М: Московский государственный университет экономики статистики и информатики, 2005. — 296 с.
