Вид логической модели определяет возможность получения расчетных формул. Наиболее распространенные формальные преобразования достаточно подробно описаны в литературе. Для описания надежности наибольшее распространение получили следующие методы [15]: метод, основанный на интегральных уравнениях;
метод, основанный на дифференциальных уравнениях;
метод, основанный на оценке надежности на основании анализа графавсевозможных состояний системы. Метод интегральных уравнений. Данный метод применяется при расчете надежности любых систем при любых распределениях времени БР и времени восстановления. Определение ПН здесь происходит с помощью составления и решения интегральных или интегро-дифференциальных уравнений. При составлениикоторых обычно выделяют один или несколько бесконечно малых интервалов времени. Для этих интервалов времени рассматривают сложные события, которые появляются при совместном действии нескольких факторов. Указанные уравнения сравнительно просто составлять, но трудно решать, поэтому на практике нередко для этих целей применяютспециальные программы, написанные для ЭВМ. В связи с этим метод интегральных уравнений в настоящее время не получил широкого распространения. В качестве примера применения этого метода рассмотрим расчет надежности невосстанавливаемой ТС с холодным резервом. При этом предположим:
индикатор отказа и переключатель абсолютно надежны;
резервные элементы не могут отказать до включения их в работу;
ремонт резервной системы в процессе ее работы невозможен. Такая резервированная система будет безотказно работать в течениевремени при двух возможных событиях:
основной элемент не отказал;
основной элемент отказал в момент, а резервный элемент проработал безотказно в течение интервала. Обозначим вероятность первого события. Очевидно, что вероятность появления отказа основного элемента в течение малого интервала времени равна:
где — плотность вероятности моментаго отказа. Вероятность БР системы при условии, что в момент произошел отказ основного элемента и включился резервный, равна:
Таким образом, вероятность осуществления второго события на интервале равна:
Интегрируя выражение от 0 до, получим вероятность осуществления второго события:
Очевидно, что вероятность дублированной системы с холодным резервом равна сумме вероятностей осуществления первого и второго событий:
При показательном распределении наработки до отказа основного и резервного элементов, имеющих интенсивность отказов λ1 и λ2 из выражения имеем:
Плотность наработки подобной системы до отказа может быть вычислена по формуле:
В случае, когда системарасполагает одним основным и резервным элементом, то, еслипринять выражение за основу, можетбыть получена рекуррентная формула:
где — индекс, который показывает, что соответствующие характеристики имеют отношение к резервной системе, при ее отказе в происходит включение в работу последнего резервного элемента. Метод, основанный на дифференциальных уравнениях [7]. В основе этого метода лежит допущении о том, что как время, проходящее между отказами, так и время, потребное для восстановления, могут быть описаны показательным распределением. В этом случае параметр потока отказовможет быть определен по из выражения, а интенсивность восстановления вычислена по формулегде Тср, Тв-среднее время, прошедшее до отказа и до восстановления соответственно. Этот метод можно применять для расчетов надежности, как подлежащих восстановлению, так и не подлежащих восстановлению систем. Для того чтобы эффективно применять этот метод, требуется математическая модель, имеющая вид множества состояний системы, в одном из которых система может пребывать при отказах и восстановлениях. Чтобы определить ПН, следуетсоставить и решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (систему уравнений Колмогорова). С целью предельногосокращения объема расчетов, обычно исходят из предположения, что:
отказавшие объекты начинают немедленно восстанавливать;
отсутствуют ограничения на число восстановлений;
надежность средств контроля идеальна.Рис.. Граф состояний восстанавливаемой системы
Математическая модель изображается в виде графа состояний. На таком графе кружочками показаны всевозможные состояния системы при отказах ее элементов. Стрелками изображены возможные направления переходов системы из одного состояния в другое. Около стрелок указывается интенсивность переходов (например, и).Изобразим пример такого графа (см. Рис. 4).Если рассматривается невосстанавливаемая система, то между состояниями имеется только одна стрелка. Для определения вероятностей нахождения системы вом состоянии в момент времени составляют по графу состояний систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого в левую часть каждого уравнения ставят производную по времени от вероятности нахождения системы вом состоянии в момент времени. Число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другим. При этом каждый член равен вероятности перехода из одного состояния в другое, а именно произведению интенсивности перехода (например,) на вероятность тогого состояния, из которого стрелка выходит. Знак произведения берется положительным, когда стрелка входит в рассматриваемое состояние. Полученная система дифференциальных уравнений дополняется нормированным условием:
где- вероятность нахождения системы вом состоянии, — число возможных состояний. Далее все множество состояний разбивается на два подмножества: — подмножество состояний, в котором система неработоспособна, — подмножество состояний, в которых система работоспособна. Тогда функцию готовности системы можно определить как:
где — вероятность нахождения системы вом работоспособном состоянии. Если необходимо определить коэффициент готовности (или простоя), рассматривают установившийся режим эксплуатации при. В этом случае все производные и система дифференциальных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений. Пример[9, c. 82]. Вычислим коэффициент готовности системы, если коэффициент готовности каждого из n элементов системы соответственно равны: …, …, Считаем, что вся система отказывает, если отказал хотя бы один из ее элементов. Необходимо рассмотреть все состояния системы. Для этого составляется граф состояний (Рис. 4). Этот граф обозначает следующие состояния системы: 0 — все элементы работоспособны;
1 — первый элемент неработоспособен, остальныеработоспособны;
2 — второй элемент неработоспособен, остальные работоспособныи т. д. Вероятность появления одновременно двух неработоспособных элементов считаем пренебрежительно малой. Символами — обозначены интенсивности отказов; -обозначены интенсивности восстановления. По графу состояний составляем систему дифференциальных уравнений:
Сюда же добавляют нормировочное условие: При установившемся режиме эксплуатации уравнения вида примут вид: Решив полученную систему алгебраических уравнений с учетом нормировочного условия, получим:
Вероятность нахождения системы вм состоянии:
Зная формулу имеем:
Подставив в выражение дляиз, получим:
Пусть = 0,6; = 0,7; = 0,8.Подставив эти значения в, получим: = = 0,43.Метод оценки надежности по графу возможных состояний систем. В основе данного метода лежит решение дифференциальных уравнений путем решения системы линейных алгебраических. Структура определителей этой системы дает возможность сформулировать правило нахождения выражений для ПН непосредственно по графу. Правило для выражений стационарной вероятности нахождения системы вом состоянии состоит в следующем: проходят кратчайшие пути (без возвращения) из всех крайних состояний в каждое состояние системы по направлению стрелок и перемножают все интенсивности переходов. Каждая интенсивность перехода учитывается только один раз. Вероятность нахождения в о-м состоянии для графов без колец определяется по формуле:
где — произведения интенсивностей переходов из всех кратчайших состояний соответственно вое иое при движении по кратчайшему пути в направлении стрелок; - число состояний системы. Если состояние не имеет выходящих стрелок для невосстанавливаемой системы или состояние имеет одну или менее выходящую стрелку для восстанавливаемой системы, то такое состояние называется кратчайшим. Применяя это правило, получаем формулу для определения (коэффициента готовности системы) без составления и решения дифференциальных уравнений. Пример[9, с. 84]. ТС состоит из трех узлов. Отказ любого узла — отказ ТС. Известны интенсивности отказов и интенсивности восстановлений узлов ТС. Определить — коэффициент готовности ТС.Решение.Описание системы, а, следовательно, и ее граф аналогичен графу (Рис. 4).
Изобразим граф ТО согласно условию задачи (Рис. 3).Используя изложенное ранее правило, определяем по графу (Рис. 3) коэффициент готовности ТО: где Рис.. Иллюстрация к примеру (Пример 2) Подставляя и в окончательно получим:
Для состояния, не являющегося стационарным, следует найти выражения для осуществления преобразования Лапласа вероятности нахождения в рассматриваемом состоянии. Заключение
Даннаяработа содержит основы теории надежности, базирующиеся на математическом аппарате теории вероятностей, и ставшие, в некотором смысле, уже классическими. Данная работа имела своей целью изучить основы теории выполнения расчетов надежности технических систем. В рамках поставленной цели изучены основные понятия надежности технических систем, приведены определения основных показатели надежности ТС и дана их характеристика. Осуществлен анализ причин потери работоспособности технических объектов, выявлены основные характеристики надежности элементов и систем. Изучена методика проведения расчетов, позволяющих определить показатели надежности ТС. Разумеется, представленный материал далеко не исчерпывает всего многообразия подходов, применяемых при оценках надежности различных объектов, но информация предоставлена достаточно подробно и поставленные в начале работы задачи выполнены. За пределами рассмотрения остались, например, описание методов ускоренных испытаний, моделирование процессов возникновения отказов, научные основы организации ремонтных (восстановительных) работ и многие другие вопросы.
Список литературы
Законодательные акты
ГОСТ 27.002−89. Надежность в технике. Основные понятия, термины и определения. ГОСТ 18 322–78. Система технического обслуживания и ремонта техники. Термины и определения. Федеральный закон «О промышленной безопасности опасных производственных объектов» от 21.
07.97 г., № 116-ФЗ.Источники на русском языке
Безопасность жизнедеятельности./Под ред. С. В. Белова. 5-е изд. — М.: Высшая школа, 2014 — 250 с. Болотин В. В. Ресурс машин и конструкций / В. В. Болотин. — М.: Машиностроение, 2009. -
118 с. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций / В. В. Болотин. — М.: Машиностроени, 2010. — 465 с. Гнеденко Б. В. Математические методы в теории надежности / Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. — М.: Наука, 2009.
— 372 с. Диллон Б.Инженерные методы обеспечения надежности систем / Б. Диллон, Ч. Сингх.
— М.: Мир, 2013. — 225 с. Матвеевский В. Р. Надежность технических систем: Учебное пособие / В. Р. Матвеевский; Московский государственный институт электроники и математики -М.: 2012.
— 113 с. Матвеевский В. Р. Проектирование и надежность устройств автоматики и телемеханики: Учеб.
пособие. / В.Р. Матвеевский- М.: МИЭМ, 2011. — 96с.: ил. Надежность и эффективность в технике: справочник /B.C. Авдуевский[и др.]. — М.: Машиностроение, 2011. — 385 с. Надежность технических систем: справочник / Ю. К. Беляев [и др.]. — М.: Радио и связь, 2010.
— 268 с. Проников А. С. Надежность машин / А. С. Проников. — М.: Машиностроение, 2011. — 412 с. Райзер В. Д. Теория надежности в строительном проектировании. / В.Д. райзер — М.: Изд-во АСВ, 2012.
— 365 с. Решетов Д. Н. Надежность машин /Д.Н. Решетов, А. С. Иванов, В. З. Фадеев. — М.: Высшая школа, 2009. — 223 с. Северцев Н. А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке / Н. А. Северцев.
— М.; Высшая школа, 2010. — 185 с. Труханов В. М. Надежность изделий машиностроения. Теория и практика / В. М. Труханов. — М.: Машиностроение, 2012. -
423 с. Хазов Б. Ф. Справочник по расчету надежности машин на стадии проектирования / Б. В. Хазов, Б. А. Дидусев. — М.: Машиностроение, 2011. — 512 с. Хенли
Э.Дж.Надежность технических систем и оценка риска / Э.Дж. Хенли, Х. Кумамото. — М.: Машиностроение, 2010.
— 112 с. Чулков Н. А. Надежность технических систем и техногенный риск: учебное пособие / Н. А. Чулков, А. Н. Деренок; Томский политехнический университет. — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. — 150 с.
