Исследование течений вязкой жидкости в каналах сложной формы

В настоящее время в связи с развитием численных методов и электронно-вычислительных машин появилась возможность моделировать сложные процессы, в частности, исследовать пространственные течения крови в кровеносной системе человека. Основой для изучения гемодинамики в крупных сосудах человека с развитым течением являются уравнения Навье — Стокса [1], либо уравнения движения неньютоновских жидкостей в других фрагментах сосудистой системы [2]. В крупных кровеносных сосудах малого круга кровообращения человека часто возникают различные патологии, обусловленные значительной динамической нагрузкой на стенки кровеносных сосудов, так как числа Рейнольдса здесь достаточно велики. Одной из таких патологий является аневризма. Аневризмой называется раздутие стенки кровеносного сосуда, появляющееся в первую очередь на искривленных и разветвляющихся участках сосудов вследствие ослабления упругих свойств стенки. В результате в пазухе вздутия формируются слабоинтенсивные вторичные вихревые структуры, в которых образуются тромбы. Математическая модель этого процесса описана в работе [3]. Вымывание тромба из аневризмы, может привести к закупорке кровеносных сосудов. Исследованию вопроса формирования аневризмы и структуры течений в ней посвящено значительное число работ [4,5,6,7,8,9]. Большая часть этих работ была посвящена обсуждению экспериментальных результатов [5,6,7,8]. Наиболее яркими работами, посвященными численному моделированию движения крови в аневризме, являются [4,9]. В работе [4] рассматриваются причины появления аневризмы и даются распределения напряжения сдвига по исследуемым областям. В работе [9] проводится исследование структуры течения в сформировавшейся аневризме и вымывание тромбов в кровеносную систему из вздутия. Однако, ни в одной из работ, посвященных проблематике движения крови, через кровеносный сосуд с аневризмой не проводилось детального исследования структуры вихрей в зависимости от положения вздутия, степени искривления сосуда и величины числа Рейнольдса. Одна из главных причин связана с тем, что во всех этих работах использовались сложные модели кровеносного сосуда, которые учитывали упругость стенок, нестационарный характер течения крови и другие качества биологической системы. Это потребовало значительных ресурсов ЭВМ, и как следствие, продолжительных расчетов. Сложность модели и продолжительность расчетов не дает возможности провести параметрический анализ. Поэтому, проблема формирования вихрей в зарождающейся аневризме недостаточно изучена.

Во всех вышеуказанных работах применялись конечно-элементные методы, которые позволяют хорошо моделировать различные физические процессы в геометрически сложных областях. Однако, при использовании таких методов с низким порядком аппроксимации существует большая чем у конечно-разностных методов опасность получения нефизических распределений в областях со значительными градиентами расчетных величин [10]. В таких областях следует сгущать сетку, либо значительно усложнять алгоритм, повышая порядок аппроксимации. Это приводит к значительному увеличению времени счета, что, несомненно, затрудняет моделирование. Конечно-разностные методы позволяют более точно интегрировать системы дифференциальных уравнений [11]. Для применения конечно-разностных методов в областях сложной формы наиболее удобна неразнесенная сетка. Однако, при расчетах на такой сетке также существует опасность получения нефизичных решений, связанных с тем что разностный оператор, отвечающий системе уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости имеет ненулевое ядро. Для разрешения этой проблемы обычно используют регуляризацию [12,13], либо различные стабилизирующие процедуры, например, метод искусственной сжимаемости [14,15]. Широко известно, что использование тех или иных регуляризирующих процедур часто приводит к фиктивным решениям. А использование метода искусственной сжимаемости приводит к значительному количеству итераций [16], что делает проблематичным его использования для моделирования нестационарных течений жидкости.

В патологических ситуациях сонная артерия человека делает петлю, называемую кинкингом. В таких участках кровеносной системы наблюдается эффект увеличения сопротивления, в сравнении прямолинейным участкам такой же длинны. Следствием этого может служить недостаточно снабжение мозга кислородом. В силу того, что данная патология встречается редко, оценок сопротивления таких участков не сделано. Во всех учебниках по хирургии указано, что такие участки кровеносных сосудов необходимо удалять. Однако, на практике удаление кинкинга не всегда приводит к значительным улучшениям. Поэтому оценка относительного сопротивления кровеносного сосуда делающего петлю актуальна для практики.

Целью данной работы является исследование течений вязкой несжимаемой жидкости в ранней аневризме с жесткими (ригидными) стенками на искривленных участках и кинкинга сонной артерии. Для достижения поставленой цели были решены следующие задачи:

1. Разработан способ аппроксимации полных уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости, позволяющий строить разностный оператор с нулевым ядром без ввода регуляризирующих операторов.

2. На основе данного подхода к интегрированию уравнений, описывающих движения жидкости было создано программное обеспечение, позволяющее моделировать течения в областях сложной формы.

3. Исследовано влияние положения несимметричного вздутия и степени кривизны искривленной трубки с жесткими стенками на структуру течения при различных числах Рейнольдса.

4. Рассчитано относительное сопротивление кинкинга сонной артерии при различных значениях чисел Рейнольдса и кривизны закрутки петли.

Методы исследования.

Решение поставленных задач осуществлялось с использованием численных методов (в том числе метода конечных разностей), методов моделирования на ЭВМ и методов алгебры.

На основе анализа существующих конечно-разностных схем решения уравнений Навье — Стокса был разработан новый способ аппроксимации, позволяющий строить систему разностных уравнений с нулевым ядром на неразнесенной сетке.

С использованием методов алгебры было доказано, что для решения полученной системы разностных уравнений возможно применить широко известную SIMPLE процедуру. Для расчета траекторий движения жидких частиц по насчитанному полю скоростей был применен метод Рунге-Кутта, интерполяционный многочлен Лагранжа и кубический сглаживающий сплайн.

Основные положения выносимые на защиту.

1. Предложен способ конечно-разностной аппроксимации уравнений НавьеСтокса, описывающих вязкую несжимаемую жидкость, реализованный на неразнесенной сетке и позволяющий получить разностный оператор системы с нулевым ядром. Способ основан на алгебраическом разложении скоростей на две части, и при аппроксимации уравнения неразрывности для каждой из скоростей применяются разности, направленные в противоположные стороны, а градиент давления аппроксимируется центрально-разностным оператором, разложенным на сумму двух операторов, шаблоны которых направлены в разные стороны.

2. При расположении вздутия на вогнутой части сосуда, наблюдается эффект снижения сопротивления. А в одном из положений вздутия близком к выпуклой части искривленного сосуда достигается максимум сопротивления, который связан с возникновением в таком положении интенсивной одно-вихревой структуры.

3. Кровеносный сосуд с несимметричной аневризмой подвергается максимальной нагрузке при расположении вздутия на выпуклой части сосуда вследствие наличия эффекта локального повышения давления и увеличенния нагрузки, вызванной повышенным сопротивлением.

Достоверность.

Достоверность полученных результатов работы, обеспечивается строгостью используемых математических постановок задач, непротиворечивостью результатов и выводов, их соответствием современным представлениям в гемодинамике. Результаты расчетов являются достоверными, поскольку использованная разностная схема имела обратимый разностный оператор, и следовательно являлась абсолютно устойчивой. Кроме того, полученные по предложенной разностной схеме результаты сравнивались с экспериментом, расчетами других авторов и расчетами на основе других способов аппроксимации.

Научная новизна.

1. Предложен новый способ аппроксимации уравнений Навье — Стокса на неразнесенных сетках, позволяющий строить матрицу системы с нулевым ядром без ввода регуляризирующих операторов и стабилизирующих процедур. Это делает построенную разностную схему абсолютно устойчивой.

2. Установлена структура течения вязкой несжимаемой жидкости в трубках с несимметричным вздутием в зависимости от местоположения вздутия.

3. Установлено, что при стационарном течении ньютоновской жидкости через искривленную трубку с несимметричным, ранним вздутием наблюдается эффект обмена массы с остальным потоком.

4. Найдено, что максимальное давление на стенку возникает при расположении вздутия на внешней стороне искривленной трубки.

5. Обнаружен эффект снижения сопротивления искривленного участка сосуда с несимметричным вздутием при его расположении на вогнутой стороне.

6. Рассчитано относительное сопротивление кинкинга сонной артерии.

Практическая значимость диссертационной работы определяется возможностью применения нового способа аппроксимации уравнений НавьеСтокса на неразнесенной сетке в переменных скорость-давление, позволяющего строить совместную систему разностных уравнений с нулевым ядром, и соответственно абсолютно устойчивую неявную разностную схему. Тем самым отпадает необходимость подбора способа регуляризации или стабилизирующих процедур, а так же позволяет решать возникающую систему линейных уравнений используя безитерационные методы. Раскрытые эффекты течения жидкости через трубки с несимметричным вздутием позволят глубже понять причины возникновения аневризмы в крупных кровеносных сосудах человека.

Созданы пакеты программ:

1. Для построения трехмерной разностной сетки на основе эллиптического сеточного генератора.

2. Для расчета и визуализации течений вязкой несжимаемой жидкости на сетках, полученных в сеточном генераторе. Построенная диалоговая система позволяет проводить параметрический анализ и визуализацию в различных сечениях трехмерной области решения по полям скорости, по распределениям давления и проводить визуализацию траекторий движения жидких частиц.

3. Создана программа для пространственной визуализации расчетных областей.

Данные пакеты обеспечивают высокую точность расчетов и наглядность представления результатов.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на четырех конференциях, в том числе на оной международной: посвященной 80-летию академика H.H. Яненко, Новосибирск 2001 г и трех Всероссийских: «Механика летательных аппаратов» Томск 1999 г., «Вычислительные технологии-2000» Новосибирск 2000 г, конференция молодых ученых, посвященная 10 летию ИВТ СО РАН Новосибирск 2000 г.

Вклад автора.

При получении результатов данной работы, автором сделан определяющий вклад, заключающийся в создании нового способа аппроксимации уравнений Навье — Стокса и реализации комплекса программ для численного решения указанных уравнений в сложных областях. Автору принадлежит идеи исследования невыраженных, несимметричных вздутий в искривленных трубках. Идея исследования разворота вздутия вокруг оси искривленной трубки и структуры давления жидкости в трубке принадлежит Бубенчикову A.M. Эффект обмена массой несимметричным вздутия с основным потоком, используя траектории жидких частиц, был обнаружен автором совместно с Альбрандтом Е. В. и Бубенчиковым A.M.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

.

Совокупность результатов изложенных в работе позволила расширить диапазон численного анализа в динамике вязкой жидкости и решить проблему аппроксимации уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости на неразнесенной сетке, посредством конструирования обратимого оператора разностной схемы без использования регуляризаторов. Это позволяет строить абсолютно устойчивые неявные аппроксимации указанных уравнений. Метод, развиваемый в настоящей работе, может найти широкое применение при решении задач гидромеханики, в сложных областях, покрытых неразнесенной сеткой, для которых затруднен поиск надежной регуляризации. Основные результаты работы.

1. Разработан новый способ аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, позволяющий строить разностный оператор системы с нулевым ядром без использования регуляризаторов и стабилизирующих процедур.

2. Разработан пакет программ для конструирования сетки, покрывающей исследуемую область, и выполнены численные исследования течений ньютоновской и неньютоновской жидкостей, на полученных сетках. Создан пакет программ для визуализации пространственных течений в трехмерных областях. Проведено сравнение результатов расчета по полученному алгоритму с экспериментом и другими численными расчетами. Показана эффективность и надежность предлагаемой численной процедуры на примерах численного анализа течений ньютоновской и неньютоновской жидкостей с использованием различных способов аппроксимации конвективных членов, градиента давления и уравнения неразрывности.

3. Расчетами показано, что модель ньютоновской среды является вполне приемлемой при описании течения крови через рассмотренные крупные кровеносные сосуды.

4. Проведены исследования течения ньютоновской и неньютоновской жидкостей в искривленных трубках с несимметричным вздутием. Результаты.

88 расчетов показали, что максимальное давление на такую трубку формируется в месте смыкания вздутия с не раздутой частью трубки. Причем максимальное давление во вздутии и сопротивление изучаемого сегмента падает при развороте вздутия от выпуклой стороны трубки к ее вогнутой части. Вихревые структуры, формирующиеся во вздутии, обмениваются массой с остальным потоком, что снижает вероятность образования тромба.

6. Петля, образуемая кровеносным сосудом, оказывает значительное относительное сопротивление движению крови при малых числах Рейнольдса и малой кривизне изгиба.