Физические свойства сверхплотного вещества

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина Физический факультет Курсовая работа по специализации: Теоретическая физика тема: Физические свойства сверхплотного вещества Брест 2011

Введение

С повышением плотности происходит ионизация атомов вещества. При плотностях с > 105 г/см3 вещество любого химического состава является полностью ионизованным и находится в ядерно-электронной фазе (Ае-фазе), т. е. состоит из «голых» атомных ядер и свободных электронов.

Если с > 106 г/см3, то электронный газ релятивистский; при этом температура его вырождения превышает 1010 К, что значительно больше предполагаемых температур в недрах сверхплотных астрофизических объектов типа белых карликов и нейтронных звезд (пульсаров), где возможна реализация Ае-фазы вещества.

Дальнейшее повышение плотности приводит к насыщению ядер нейтронами за счет реакций электронного захвата; затем при с > 1011 г/см3 в веществе появляются свободные нейтроны в качестве стабильного компонента (ядерно-электронно-нейтронная или Аеnфаза); наконец, при с > 1013 г/см3 происходит развал ядер и образование сплошной ядерной материи, состоящей из электронов, нейтронов и протонов (электронно-нуклонная или еnрфаза).

Исследование Ае-, Аепи епр-фаз вещества, нахождение его параметров и уравнения состояния имеет важное значение для физики сверхплотных звезд, в частности, для построения теоретических моделей, позволяющих не только объяснять отдельные наблюдаемые эффекты, но и обосновывать гипотезы о строении и энергетике указанных небесных тел.

Целью данной работы является изучение уже установленных теоретически физических свойств сверхплотного вещества, развитие умений и навыков для решения конкретных теоретических и практических задач (решаемых с использованием персонального компьютера), в частности построение и изучение — цепочек нейтронизации, графика зависимости величины удельной энергии связи от массового числа для наиболее устойчивых ядер, чтобы определить границы применения модифицированной формулы Бете-Вайцзеккера (1) и приближённой формулы (формула Вайцзеккера (1) без учёта последнего слагаемого) для вычисления энергии связи ядра.

1. Теоритическая часть

1.1 Модифицированная формула Бете-Вайцзеккера

При приближенных вычислениях ядерных параметров сверхплотного вещества целесообразно использовать полуэмпирическую формулу Бете-Вайцзеккера, модифицированную следующим образом:

(1)

Здесь Wэнергия связи ядра с массовым числом, А и зарядовым числом Z. В соответствии с капельной моделью ядра первое слагаемое в (1) определяет объемную энергию (собственно энергию связи), второе — поверхностную энергию, третье — энергию кулоновского взаимодействия протонов ядра.

Далее следуют энергия асимметрии ядра и уточняющая ее малая поправка, существенная лишь для ядер, аномально богатых нейтронами. Последнее слагаемое в (1) учитывает эффекты, связанные с четностью чисел протонов и нейтронов в ядре.

Численные коэффициенты в (1):

c0 = 15,75 МэВ,

с1 = 17,8 МэВ,

с2 = 0,71 МэВ,

с3 = 23,7 МэВ,

с4 = с3 /27;

д = 0 для четно-нечетных ядер,

д = - 1 для четно-четных ядер,

д = 1 для нечетно-нечетных ядер (значения коэффициентов взяты из.

Знание энергии связи позволяет вычислить энергию покоя ядра:

(2)

где mn и mp — массы нейтрона и протона соответственно, с — скорость света в вакууме.

1.2 Термодинамическое описание крайне вырожденных идеальных ферми-газов

Для определения термодинамических параметров и получения необходимого при астрофизических оценках уравнения состояния сверхплотного вещества используются различные модельные представления. Наиболее простой и в то же время достаточно эффективной при оценочных расчетах является модель крайне вырожденных и идеальных ферми-газов для микрочастиц, не входящих в состав ядер вещества: электронов в Ае-, Аепи епр-фазах, свободных нейтронов в Аеn-фазе, протонов и нейтронов в епр-фазе. В последнем случае пренебрежение ядерным взаимодействием нуклонов приводит к заметным погрешностям результатов вычислений, но при грубых оценках вполне допустимо.

Известно, что химический потенциал ч, давление Р и плотность энергии w крайне вырожденного идеального релятивистского ферми-газа связаны с концентрацией фермионов п соотношениями:

(3)

(4)

(5)

где m — масса фермиона, ћ - постоянная Планка, химпульс Ферми в единицах mс:

(6)

(7)

Для нерелятивистского ферми-газа х << 1, и из (3) — (5) несложно получить:

(8)

(9)

(10)

В ультрарелятивистском пределе х >> 1. Это дает:

(11)

(12)

(13)

1.3 Нейтронизация холодного сверхплотного вещества

Известно, что повышение плотности ядерно-электронного вещества приводит к состояниям, в которых энергетически выгодными оказываются реакции захвата электронов ядрами с одновременным испусканием электронного нейтрино.

При этом в ядрах происходит превращение протонов в нейтроны (нейтронизация вещества):

(14)

где (A, Z) — символическое обозначение ядра с массовым числом, А и зарядовым числом Z. Таким образом, порядковый номер химического элемента зависит от плотности. Процессы электронных захватов приводят к перенасыщению ядер нейтронами, и энергетически выгодным становится появление в ядерно-электронном веществе свободных нейтронов в качестве стабильного компонента. Термодинамическое равновесие в веществе осуществляется в этом случае с помощью реакций:

(15)

В результате реакций (14) и (15) для каждого значения, А существует минимальное (из возможных для стабильных ядер) значение Z.

Рассмотрим, как изменяется заряд ядра с увеличением плотности вещества.

Рисунок 1 — Зависимость давления p от плотности с при нейтронизации холодного звёздного вещества Считая, что электроны при рассматриваемых плотностях образуют крайне вырожденный идеальный газ, и пренебрегая кинетической энергией ядра по сравнению с его энергией покоя, запишем уравнение химического равновесия, соответствующее реакции (14):

(16)

где M (A, Z) — масса ядра с параметрами, А и Z, че — химический потенциал релятивистских электронов. Для вычисления пороговых значений че, при которых Z уменьшается на единицу, можно использовать модифицированную формулу Бете-Вайцзеккера (1).

Считая, что образовавшиеся в результате реакций (15) свободные нейтроны представляют собой крайне вырожденный идеальный нерелятивистский газ, представим уравнение химического равновесия, соответствующее (15), в виде:

(17)

где чп — химический потенциал свободных нейтронов, связанный с их концентрацией пп. У порога появления свободных нейтронов пп = 0, и из (17) получаем соответствующее значение химического потенциала электронов:

(18)

Сравнивая данную величину со значением химического потенциала электронов из (16)

(19)

можно установить направление реакции, идущей в сторону меньшего значения химического потенциала (граничной энергии) электронов.

Знание величин че и че (n) позволяет вычислить соответствующие им концентрации электронов пe и плотности р вещества:

(20)

(21)

где М — масса ядра, пА — концентрация ядер; при этом в (21) учтена электронейтральность среды (равенство чисел протонов и электронов).

Рассмотрим пример. Приведем цепочки нейтронизации, взяв в качестве исходных элементов три изотопа железа (56Fe, 57Fe, 58Fe) и ограничивая наименьшее значение Z порогом появления свободных нейтронов. Цифры над горизонтальными линиями и справа от вертикальных линий указывают значения че и че (n), cсоответствующие данным переходам (значения даны в МэВ); стрелками обозначены энергетически разрешенные переходы. Легко видеть, что нечетно-нечетные ядра (58Mn, 56Mn, 58V, 56V, 58Sc, 56Sc), образующиеся в результате захвата электрона, неустойчивы относительно второго самопроизвольного е- -захвата. Все цепочки обрываются справа, т. е. каждому значению, А соответствует определенное минимальное значение Z.

В таблице указаны значения плотности, соответствующие данным реакциям нейтронизации.

Таблица 1

1.4 Относительно равновесное состояние холодного сверхплотного вещества

Процессы нейтронизации приводят к установлению в ядерно-электронном или ядерно-электронно-нейтронном веществе так называемого относительно устойчивого состояния термодинамического равновесия. Дня исследования свойств вещества в этом состоянии целесообразно исходить из выражения для плотности энергии. В случае Аеn-фазы для простейшей модели невзаимодействующих компонентов плотность энергии вещества равна сумме плотностей энергий ядер, электронов и свободных нейтронов:

(22)

Здесь

(23)

nA — концентрация ядер, Mc2 определяется формулами (1) и (2), причем при численных расчетах последним слагаемым в (1) можно пренебречь (оно существенно лишь для легких ядер); плотности энергии крайне вырожденных ультрарелятивистского электронного и нерелятивистского нейтронного газов даются выражениями вида (13) и (10) соответственно.

Среда электронейтральна, поэтому концентрация всех нуклонов

(24)

пе и пп — концентрации электронов и свободных нейтронов соответственно.

Таким образом, при заданной плотности вещества с? mn n плотность энергии w — функция независимых параметров пп, Z, А. Относительно устойчивому состоянию вещества соответствует минимум w относительно пп и Z при заданных A и n (или с):

(25)

Подставляя (22) в (25), несложно выразить химические потенциалы

и соответственно электронного и нейтронного газов как функции массового, А и зарядового Z чисел.

Итак, при фиксированном значении, А задавая Z, можно вычислять химические потенциалы электронного и нейтронного газов, а затем, используя формулы (11) и (8), их концентрации и плотность среды. Несложно вычислить давления электронного и нейтронного газов (см. формулы (12) и (9)) и плотности энергий (формулы (13) и (10)).

При пп = 0 все приведенные в данном подразделе формулы применимы для описания Ае-фазы вещества. Следовательно, порог перехода фаз Ае>Аеп соответствует условию чn = mnc2.

Если же Z меньше порогового значения (Ае-фаза), то в приведенных выше формулах следует полагать при чn< mnc2 (в слу свойств функции распределения Ферми-Дирака при температуре Т = 0 К).

Верхняя граница Аепфазы (порог развала ядер) в рамках данной модели определяется условием W= 0.

1.5 Абсолютно равновесное состояние холодного сверхплотного вещества

Помимо процессов нейтронизации, в сверхплотном веществе могут протекать пикноядерные реакции синтеза легких ядер и обмена тяжелых ядер нейтронами. В результате этих реакций в веществе устанавливается абсолютно устойчивое состояние термодинамического равновесия, при котором нет ядерных превращений. Процесс перехода от относительно к абсолютно устойчивому состоянию сопровождается выделением энергии и рассматривается как один из источников энергии сверхплотной звезды, находящейся в конечной стадии своей эволюции.

При пикноядерных реакциях изменяется массовое число А, поэтому абсолютно устойчивому состоянию соответствует минимум плотности энергии w относительно независимых параметров пп, Z, А при заданном п (или с):

(26)

При этом справедливы все соотношения предыдущего подраздела, а также имеет место однозначная зависимость между Z и А:

(27)

Последнее означает однозначную зависимость массового числа наиболее устойчивого ядра от плотности вещества.

1.6 Пикноядерные реакции синтеза в холодном веществе

В модели упорядоченной структуры (решетки) ядерно-электронного вещества с повышением плотности уменьшаются равновесные расстояния между ядрами, что ведет к росту вероятности их столкновений и синтеза, т. е. в веществе за счет туннельного эффекта протекают пикноядерные реакции, причем тем интенсивнее, чем больше плотность вещества.

Для расчета скорости пикноядерной реакции рассмотрим простейшую модель [1, с. 75]. Предположим, что ядро совершает колебания в узле решетки при условии «неподвижности» ядер в других узлах. Учитываем взаимодействие этого ядра только с двумя соседними, расположенными на прямой, вдоль которой происходят колебания первого ядра. Энергия такого взаимодействия дается выражением:

(28)

где e — заряд протона, r — смещение ядра от положения равновесия, R0 — равновесное расстояние между ядрами:

(29)

с — плотность вещества, mр — масса протона, М? mрА — масса ядра.

Начальная энергия ядра

(30)

где частота колебаний

(31)

Известно, что кулоновское отталкивание ядер, препятствующее ядерной реакции, может преодолеваться за счет туннельного эффекта. Экспонента прохождения под потенциальный барьер

(32)

где r0 = 1,2•10−13(А11/3 + А21/3) см — величина порядка суммы радиусов двух ядер (минимально возможное расстояние между ними), а находится из условия U (a) = Е.

Несколько сложнее (с учетом взаимных колебаний пары ядер) вычисляется подбарьерная экспонента.

Согласно [5], плотность вероятности нахождения двух одинаковых ядер в одной точке в отсутствие ядерного взаимодействия

. (33)

Скорость реакции

(34)

где w = 5•10−40 см3/с.

В рассмотренной выше модели не учитывается влияние электронов вещества на вероятность подбарьерного перехода ядра. При этом использовалась модель электронно-ядерного вещества, предложенная в для оценочных расчетов критериев устойчивости фазы твердого тела (решетки из ядер). Согласно этой модели среда разделена на нейтральные сферические ячейки, которые упакованы максимально плотно. Каждая ячейка состоит из электронного облака и ядра, совершающего нулевые колебания относительно ее центра. Радиус R такой ячейки определяется из условия ее нейтральности. Энергия взаимодействия ядра с электронным облаком своей ячейки равна

(35)

где r — расстояние ядра от центра ячейки. Взаимодействием с другими ячейками можно пренебречь. Потенциал (35) осцилляторного типа, и частота колебаний ядра

(36)

В формуле (35) предполагается, что заряд электронного облака распределен по ячейке равномерно. Строго говоря, это неверно, но отклонения от равномерного распределения несущественны.

Не повторяя здесь всех выкладок, остановимся на основных моментах этой работы. Была сделана попытка вычислить вероятность перехода ядра из одной ячейки в фиксированную точку соседней ячейки и встречи в этой точки с соседним ядром. При этом полагалось, что электронные ячейки сохраняют первоначальную сферическую симметрию. Приближение, вообще говоря, нельзя считать корректным, поскольку электроны должны увлекаться движущимся ядром Более корректной была бы модель одной эллипсоидальной ячейки с двумя ядрами, находящимися первоначально в фокусах эллипсоида. По мере сближения ядер такая ячейка изменяла бы эллипсоидальную форму на сферическую с двумя слившимися ядрами в центре. Однако нахождение волновых функций и вероятности в этом случае довольно затруднительно и пока не проделано. Поэтому ограничимся здесь рассмотрением результатов использования модели (осознавая ее некорректность).

Энергия взаимодействия первого ядра, движущегося в соседнюю ячейку, с соседним ядром и электронами обеих ячеек может быть приближенно вычислена следующим образом:

(37)

термодинамический сверхплотный холодный вещество Здесь r — расстояние первого протона от центра своей ячейки, s — расстояние от центра первой ячейки до места встречи ядер (во второй ячейке), l — расстояние между центрами ячеек, и — угол между направлением движения первого протона и прямой, проходящей через центры ячеек. При усреднении принималось

и .

Скорость вероятности прохождения первого ядра с массой М1 в соседнюю ячейку внутри элементарного телесного угла, соответствующего плоскому углу и, равна:

(38)

(39)

(40)

E1 — энергия основного состояния первого осциллятора, которая отсчитывается не со дна потенциальной ямы, а от нуля, r1 — расстояние от центра первой ячейки до точки, где уровень энергии пересекает барьер (находится из условия U (r1)=Е1), r0= 1,2•10−13(А11/3+ А21/3) см.

Вероятность попадания второго протона в элемент объема в окрестностях точки встречи с первым протоном

(41)

где r' - смещение второго ядра от центра своей ячейки, — амплитуда колебания второго осциллятора, щ2 — его частота, а — угол между направлением движения второго протона и прямой, проходящей через центры ячеек.

Тогда для вероятности встречи двух ядер в произвольной точке второй ячейки можно записать:

(42)

д — функция введена для того, чтобы б и и можно было считать независимыми, N — число ячеек, соседних с первой при их максимально плотной упаковке. Умножая F на вероятность слияния ядер при столкновении (величина, близкая к единице), получим искомую скорость вероятности пикноядерной реакции синтеза.

Интегрируя в (42) по и, находим

(43)

Где (44)

При численных оценках можно использовать приближения (б = 0, r' = 0, и0 = 0, s =l). Расчетная формула скорости вероятности пикноядерной реакции синтеза имеет вид]:

(45)

Заметим, что интеграл I (s, и0) представлен в алгебраическом виде, однако прямая подстановка разумных численных значений в соответствующую формулу приводит к физически бессмысленным результатам. Поэтому, интеграл I (s, и0)?I (l, 0) имеет смысл брать численно.

Следует учесть, что модель рассмотренная модель — это предельный случай, учитывающий максимальное взаимодействие с протонов с электронами (в альтернативной модели и приведенной в выше упрощенной модели взаимодействие протонов с электронами не учитывается вовсе). Имеются все основания полагать, что в рамках модели, более корректно отражающей реальную физическую ситуацию в сверхплотном водороде, будет иметь место некий более корректный промежуточный результат.

1.7 Пикноядерные реакции обмена ядер нейтронами в холодном сверхплотном веществе

Как отмечалось выше, в холодном сверхплотном ядерно-электронном и ядерно-электронно-нейтронном веществе абсолютно устойчивое состояние термодинамического равновесия достигается за счет бета-процессов и пикноядерных реакций. Последние на первом этапе представляют собой синтез легких ядер, а на заключительном этапе — обмен средних и тяжелых ядер нейтронами (преакции). Как известно [7], энергетический выход п-реакции вида

(46)

для тяжелых ядер с достаточной степенью точности определяется выражением:

(47)

где (А, Z) — символическое обозначение ядра с массовым числом, А и зарядовым числом Z; W1 и W2 — энергии связи обменивающихся нейтронами ядер. Энергию связи ядра будем вычислять с помощью модифицированной формулы Бете-Вайцзеккера (1) без последнего слагаемого, несущественного для тяжелых ядер:

(48)

Учитывая, что преакции представляют собой конечный этап пикноядерных реакций, при численных расчетах естественно взять в качестве А1 и А2 массовые числа, отличающиеся на единицу от массового числа А0 наиболее устойчивого ядра; Z1 = Z2? Z0. Вычисление абсолютно равновесных ядерных параметров А0 и Z0 в зависимости от с и В производится описанным в подразделе 5 способом.

Скорость вероятности п-реакции определяется произведением независимых вероятности сближения ядер (прохождения одного ядра под кулоновский барьер другого) и скорости вероятности перехода нейтрона из одного ядра в другое. Формулы для вероятности столкновения ядер любого сорта аналогичны приведенным в в подразделе 6. Скорость вероятности перехода нейтрона из ядра (А1,Z1) в ядро (А2,Z2) определяется произведением следующих основных сомножителей: 1) частота ударов нейтрона о стенки сферической потенциальной ямы первого ядра; 2) вероятность выхода нейтрона в направлении второго ядра внутри телесного угла, гарантирующего попадание нейтрона в ядро; 3) вероятность самого туннельного перехода. Для получения полной скорости вероятности рассматриваемого процесса все это нужно еще умножить на количество нейтронов в первом ядре (А1-Z1) и на число N ядер, ближайших к первому ядру. По аналогии с соответствующим выражением для скорости вероятности собственно п-реакции в незамагниченном веществе, запишем:

(49)

где d1 и d2 — диаметры ядер (d = 2,4•10−13А1/3 см), r = R1+R2 — исходное расстояние между центрами ядер (), е1 — энергия нейтрона в потенциальной яме первого ядра, Uглубина потенциальной ямы. При этом

(50)

где в нашем случае W1 дается формулой (48).

Таким образом, влияние магнитного поля на величину w сводится к появлению под знаком радикала в подбарьерной экспоненте дополнительного положительного слагаемого, определяемого производной величины последнего слагаемого из (48) по массовому числу, т. е. скорость вероятности w в магнитном поле несколько уменьшается Поскольку при Z1=Z0(А0) и A1=А0+1 выражение для этой производной имеет довольно громоздкий вид, мы его здесь не приводим.

2. Практическая часть

Задание 1

По данным справочной таблицы, построить график зависимости величины удельной энергии связи b = |W| /А от массового числа А (А =40ч70) для наиболее устойчивых ядер (максимальное b при данном А) — график 1.

Для тех же, А и Z построить аналогичный график, используя формулу Бете-Вайцзеккера (1) — график 2.

Пренебрегая последним слагаемым в (1), исследовать оставшееся выражение на экстремум (т. е. для данного, А найдено Z из условия и построить график зависимости b от A (A = 40ч70) — график 3.

Физическая интерпретация полученных результатов.

В результате, видим, что график 2, построенный по полуэмпирической формуле Бете-Вайцзеккера (1) в интервале значений от 50 до 65 имеет малое расхождение с графиком 1, который построен на основе точных табличных данных. Следовательно на данном промежутке (для ядер с. массовым числом А (А =50ч65) данная формула Вайцзеккера (1) имеет наиболее эффективное применение.

Также на данном интервале целесообразно использование и приближённой формулы (формула Вайцзеккера (1) без учёта последнего слагаемого), наблюдается не большое расхождение графиков 2 и 3.

Дальнейшее расхождение результатов объясняется различием лёгких и тяжёлых ядер.

Задание 2

Построить цепочки нейтронизации для ядер с A = 40ч70 (исходные ядра взять из таблицы элементов Менделеева); вычислить плотности, соответствующие каждой реакции.

График зависимости Z от А, соответствующий правой границе всех цепочек нейтронизации.

Физическая интерпретация полученных результатов.

Заключение

1. Изучен вопрос о физических свойствах сверхплотного вещества. Разобран обширный теоретический материал из различных источников.

2. Приобретено умение и навык в решении конкретных теоретических и практических задач — по построению цепочек нейтронизации для ядер.

3. По графикам зависимости величины удельной энергии связи b = |W| /А от массового числа, А для наиболее устойчивых ядер определены границы применения модифицированной формулы Бете-Вайцзеккера (1) и приближённой формулы. Это интервал значений A = 50ч 65.

Список литературы

1. Киржниц, Д.А. О внутреннем строении сверхплотных звезд / Д. А. Киржниц // Ж. эксперим. и теор. физ. — I960. — Т. 38, № 2. — С. 503−508.

2. Саакян, Г. С. О ядерных реакциях в вырожденной электронно-ядерной плазме / Г. С. Саакян, P.M. Авакян // Астрофизика — 1972. — Т. 8, выл 1. — С. 123−138.

3. Саакян, Г. С. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс / Г. С. Саакян. — М.: Наука, 1972. — 344 с.: ил.

4. Секержицкий, B.C. Равновесные системы фермионов и бозонов в магнитных полях / B.C. Секержицкий. — Брест: Изд-во БрГУ, 2008. — 198 с.: ил

5. Секержицкий, В. С. Физические свойства сверхплотного вещества. Практикум. / В. С. Секержицкий, И. В. Секержицкий — эл. уч. — Брест: Изд-во БрГУ, 2010. — 31 с .