Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

• Линейные операторы
• Линейные уравнения
• Эрмитовы операторы
• Линейные операторы
• Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел? и ? справедливо равенство
• L (?+ ?g) = ?Lf + ?Lg (1)
• При этом множество M = M_L называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.
• Линейные уравнения
• Пусть L — линейный оператор с областью определения M_L . Уравнение
• Lu = F (2)
• называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_L — решением этого уравнения.
• Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение
• Lu = 0 (3)
• называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
• В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.
• Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_о этого уравнения и общего решения u, соответствующего линейного однородного уравнения (3)
• и = и_о + u.
• Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в M_L, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в M_L . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в M_L. Обозначим через R_l область значений оператора L, т. е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает M_L. Тогда для любого F Є R_l уравнение (2) имеет единственное решение и Є M_L , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из R_l соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L^-1, так что
• и = L^-1F. (4)
• Оператор L^-1, очевидно, является линейным и отображает R_l на M_L. Непосредственно из определения оператора L^-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
• L L^-1F = F, F Є R_l ; L^-1Lu = u, и Є M_L,
• т.е. L L^-1=I, L^-1L = I.
• Если линейный оператор L имеет обратный L^-1, то системы функций {?_k} и {L?_k} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все ?_k принадлежат M_L.)
• Рассмотрим линейное однородное уравнение
• Lu = ?u, (5)
• где? — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех ?. Может случиться, что при некоторых? оно имеет ненулевые решения из M_L. Те комплексные значения ?, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_L, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ? r ? ?, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению ?, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то? называется простым собственным значением.
• Если кратность r собственного значения? оператора L конечна и u₁,…, и₂ — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация
• u₀ = c₁u₁ + c₂u₂ + … + c_ru_r
• также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения
• Lu =? u + f (6)
• существует, то его общее решение представляется формулой
• и = и* +?с_kи_k, (7)
• где и* — частное решение (6) и с_k, k = l, 2,…, r, — произвольные постоянные.
• Эрмитовы операторы
• Линейный оператор L, переводящий M_LСL₂(G) в L₂(G), называется эрмитовым, если его область определения M_L плотна в L₂(G) и для любых f и g из M_l справедливо равенство
• (Lf,g) = (f,Lg).
• Выражения (Lf, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.
• Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є M_l, где M_l плотна в L₂(G), принимала только вещественные значения.
• Линейный оператор L, переводящий M_l С L₂(G) в L₂(G), называется положительным, если M_l плотна в L₂(G) и
• (Lf, f) ? 0, f Є M_l .
• В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
• Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
• Доказательство. Пусть ?₀ — собственное значение, u₀ — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u₀ = ?₀u₀. Умножая скалярно это равенство на u₀, получим
• (Lu₀, u₀) = (?₀ u₀, u₀) = ?₀ (u₀, u₀) ?₀|| u₀||² = ?₀. (8)
• Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) ?₀ — вещественное (неотрицательное) число.
• Докажем, что любые собственные функции и₁ и и₂, соответствующие различным собственным значениям ?₁ и ?₂, ортогональны. Действительно, из соотношений
• Lu₁ = ?₁ и₁, Lu₂ = ?₂и₂,
• из вещественности ?₁ и ?₂ и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств
• ?₁(и₁, и₂) = (? и₁, и₂) = (Lи₁, и₂) = (и₁,Lu₂) = (и₁,?₂и₂) = =?₂(и₁, и₂),
• т.е. ?₁(и₁, и₂) = ?₂(и₁, и₂). Отсюда, поскольку ?₁? ?₂, вытекает, что скалярное произведение (и₁, и₂) равно нулю. Теорема доказана.
• Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: ?₁,?₂,…, повтори ?_k столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и₁, и₂,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и_k:
• Lu_k = ?_k, и_k, k = 1,2,…
• Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {?_k} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ?₁,?₂,… линейно независимых функций из L₂(G) преобразуется в ортонормальную систему ?₁,?₂, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:
• ?₁ = ?₁ /||?₂ ||, ?₂ = ?₂ — (?_2, ?₁) ?₁ / || ?₂ — (?_2, ?₁) ?₁ ||
• ?_k = ?_k — (?_k, ?_k-1)?_k-1 — … — (?_k,?₁)?₁ / || ?_k — (?_k, ?_k-1)?_k-1 — … — - (?_k,?₁)?₁||
• При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
• Таким образом, если система собственных функций {и_к} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
• (Lu_k,u_i ) = ?_k(и_k,u_i) = ?_k?_ki
• Список литературы
• 1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
• 2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
• 3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.