Вариационные уравнения типа Шредингера. 
Разрешимость и приближенные методы

Данная диссертационная работа посвящена вопросам разрешимости линейной нестационарной начально-краевой задачи типа Шредингера, заданной в вариационной форме, теоретическому обоснованию сходимости и получению оценок скорости сходимости проекционного и проекционно-разностных методов приближенного решения такого уравнения.

Известно, что вариационная трактовка начально-краевых задач является весьма эффективной. При изучении параболических уравнений такой подход представлен, например, в монографиях [1], [2], [3]- при изучении эллиптических уравнений — [4], [5], [6]. При этом главное внимание уделяется вопросам слабой разрешимости соответствующих задач. Обоснование разрешимости данных задач часто проводится с помощью полудискретного проекционного метода, априорных оценок приближенных решений и последующего обоснования слабого предельного перехода. В этой связи, кроме уже отмеченных монографий, обратим внимание на работы [7], [8].

Существенно меньше результатов для уравнений гиперболического типа. Обоснование разрешимости задач и получение оценок погрешности с помощью проекционных методов проводилось для частных случаев гиперболических уравнений второго порядка, одномерных или двумерных по пространственным переменным, с коэффициентами, не зависящими от времени (см., напр., [9], [10], [11] — [17]). При этом делаются ограничения на проекционные подпространства: завышенные условия на гладкость базисных элементов, предположения о достаточно равномерном разбиении области пространственных переменных (для подпространств типа «конечных элементов»)(см., напр., [18] — [24]).

Исследований подобного рода для уравнения типа Шредингера фактически проведено не было. Здесь можно отметить работы [25] — [27], в которых, в основном, обсуждались вопросы разрешимости.

Полученные априорные оценки приближенных решений, найденных проекционным методом, могут быть с успехом, как показано и в данной х работе, использованы не только для обоснования разрешимости исходной точной задачи с помощью обоснования соответствующего слабого предельного перехода, но и для доказательства сходимости приближенных решений к точному в сильных нормах. Это позволяет рассматривать проекционный метод в качестве одного из методов приближенного решения задач (в том числе и задачи типа Шредингера).

Отметим, что проекционный метод сводит решение начально-краевой задачи для линейного уравнения типа Шредингера к решению задачи Коши для конечномерной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом смысле проекционный метод является полудискретным приближенным методом.

Теория проекционных методов достаточно хорошо развита в применении к эллиптическим и параболическим уравнениям. Приближенное решение при этом, в определенном смысле, является элементом наилучшей аппроксимации точного решения в соответствующем гильбертовом пространстве. Изложение этой теории можно найти, например, в работах [2], [3], [4], [10], [28], [29], [30] - [32]. Это позволяет при оценке погрешности в полной мере использовать аппроксимационные свойства проекционных подпространств.

Проекционно-разностные приближенные методы, в отличии от методов проекционных, являются методами полной дискретизации. При этом очевидна зависимость сходимости как от аппроксимационных свойств проекционных подпространств, так и от способа аппроксимации производной по времени. Рассмотрение таких вопросов можно найти, например, в работах [3], [7], [28], [33], [34] - [39].

При исследованиях полудискретного метода и проекционно-разно-стных методов возможен подход, при котором приближенная задача рассматривается в пространстве функций, зависящих от временной и пространственных переменных. При этом весьма распространен способ исследования, имеющий место и в настоящей работе, трактующий временную переменную как параметр. Отметим в этой связи работы [10], [31], [32].

Перейдем к основному содержанию данной работы.

Пусть даны два сепарабельных гильбертовых пространства V и Н, причем У С Я и вложение плотно и непрерывно, то есть для любого жбЯ существует последовательность {хп С У такая, что ||ж — жп||# —> 0- существует число с > 0 такое, что для любого и € V выполнено ||гх||# < с||и||у .

Пусть V' и Н' — пространства двойственные к V и Н соответственно, тогда Н' С V' и данное вложение плотно и непрерывно. Далее по теореме Рисса проводится отождествление Н и Н'. Таким образом, приходим к включениям V С Н = Н' С V', где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны [4].

Для? е [0, Т], где Т < оо, на и, у Е V определено семейство симметричных полуторалинейных форм а (£, и, у). Предположим, что для всех и, v G V функция t —* a (t, u, v) абсолютно непрерывна на [0,Т] и для V выполнены оценки: a (i, ti, u)| сиЦ^Цу, (0.1) где, а > 0. Кроме того, почти всюду на [0, Т] da{t, u, v)/dt | < M2\u\v\v\v. (0.2).

Форма a (t, и, v), очевидно, порождает линейный ограниченный оператор A (t): V —> V' такой, что a (t, u, v) = (A (t)v, v) и < Мь.

Под выражением (z, v) понимается значение функционала z? V' на элементе v G V. Заметим [4], если z? Н, то выражение (2-, г-) совпадает со скалярным произведением в Н, в силу отождествления Н и Н'.

Для заданной со значениями в V' функции f (t) и элемента и0 рассмотрим вариационную задачу: найти функцию u,(t) со значениями в V такую, что почти всюду на [0, Т] для всех v G V выполнено u'(t), v)+ia (t, u (t), v) = (f (t), v), и (0) = и0 G V. (0.3).

Задача (0.3) и есть начально-краевая задача для уравнения типа Шре-дингера в вариационной постановке. Производные функций в (0.3) и далее понимаются в обобщенном смысле (см., напр., [1], [40], [41]).

Очевидно, что задача (0.3) равносильна задаче Коши в пространстве V': u'(t) + i A (t)u (t) = /(t), u (0) = u° EV. (0.4).

Приведем результат о разрешимости задачи (0.3), или эквивалентной ей задаче (0.4) из [1].

Теорема 0.1. Пусть для задачи (0.4) выполнены условия, перечисленные выше. Дополнительно предположим, что f G ?2(0, ТН) и существует производная f G ?2(0, Т V'). Тогда задача (0.4) имеет единственное решение u (t) тлкое, что и G ?2(0, ТV) П С ([0,Т], Я) — и' € ?2(0, ТV), уравнение удовлетворяется почти всюду на [0,Т] и выполняется начальное условие. Кроме того, справедлива оценка Т mag,+ / (|Mt)|ft + ||u'(t)|&) dt < — J О м ju^+?(\fmir+wnrni) A}. (0.5).

Здесь и далее, под пространством 1^(0, Т-У) понимается пространство функций t —u (t) G V, измеримых на [0,Т] и таких, что \u (t)\2v суммируема на [0, Т] по Лебегу, с нормой.

ЫШыо, т-У)= ^?Ht)\vdtj .

Под С ([0, Т], Я) понимается пространство функций t —*¦ u (t) G Я, непрерывных на [0,Т], с нормой.

Ht)\c ([o:T], H) = ma* |М*)||я •.

Для полноты восприятия приведем простейший пример сведения классической начально-краевой задачи типа Шредингера к виду (0.3) или (0.4).

Пусть задан прямоугольник Q = [0,Т] х [а, 6]. Пусть заданы функции p (t, х), c (t, .т), принадлежащие пространству L^Q) и, кроме того, p (t, x) >ро> 0, q{t, x) > q0 > 0. Положим Я = L2(a, b), V = w (a, b),.

1 0 1 V' = W 2 (а, 6). Для u, v ew Ja, b) определим форму ди (х) dv{x) а (^, и, г>) = J р{Ь, х)—+ Я^, х) и (х)у (х) йх. (0.6).

Нетрудно проверить, что для и, и е V форма удовлетворяет условиям (0.1) и (0.2). Задача (0.3), или эквивалентная ей задача (0.4), приводят нас к классической начально-краевой задаче с первым краевым условием по пространству: du (t, х)/дЬ + i A{t)u (t, х) = f (t, х) (t, х) е Qu (t, а) = u (t, 6) = 0 tG [О, Т] - ii (0,a-) = ^(а-) aG [а, 6].

О 1.

В (0.7) для и &W2iai оператор имеет вид.

0.7) а ди. .

0.8).

Полагая в (0.7) / G L2(0, ТL2(a, 6)), f G L2(0, ГW g (a, &)) и «о (я) G L2(a, 6), получим решение u (t, x) задачи (0.7) такое, что г/ G L2(0,T]W 1(а, Ь))ПС ([0,Т, Ь2(а, Ь)), и' G L2(0, ГVT^CM)) — Уравнение в (0.7) удовлетворяется почти всюду на [0,Т] в смысле равенства обобщенных из функций, начальное условие — в смысле пространства L2(a, b).

Если же рассмотреть Н— L2(a, b), V= W^a, 6) и для и, v G W^a, Ь), и констант a < 0, (3 > 0 определить форму.

Гъ a (t, гл, г') = / p (t, + жМжМж) dx + /%>(?, Ь) и (Ь)у{Ь) — ар (г, а) и{а)у{а), (0.9) то форма (0.9) также удовлетворяет условиям (0.1) и (0.2) для и, у € V. При этом задача (0.3) приводит нас к классической начально-краевой задаче с третьим краевым условием по пространству: ди{г, X)/дъ + % A (t)г¿-(í-, х) = /(?, ж) (г, ж) е <Э — а) + аи{Ь, а) = Ъ) + /?"(*, Ъ) = 0? Е [0, Т]- (0.10) и (0, ж) = щ (х) х Е [а, 6].

В (0.10) для и е УУ^^Ь) оператор А (Ь) также задается выражением (0.8). Тогда рассматривая / <Е Ь2(0,Т- ?2(а, Ь)), /' € £2(0,Т- (И/^а, Ь))') и «о (я) € Ь2(а, &), получим решение и{р, х) задачи (0.10) такое, что гг € Ь2(0,ТП С ([0, Г], Ь2(а, Ь)), и' € Ь2(0, Г- (И'21(а, Ь))/).

Также в приложениях в качестве оператора А (Ь) можно брать, например, симметричный равномерно эллиптический оператор второго порядка в ограниченной области О, С Мп с гладкой границей, порожденный дифференциальным выражением второго порядка и первым крае° 1 —1 вым условием. Тогда Я = Ь2(П), V У — ^ 2 (П). Если же на границе области Г2 задано третье краевое условие, то Н = ½(П), V = Можно рассматривать и эллиптические операторы произвольного 2 т порядка, где т> 1.

Перейдем к изложению и обсуждению основных результатов, полученных в данной работе.

В первом параграфе, состоящем из трех пунктов, рассматриваются вопросы разрешимости задач (0.3), (0.4).

Решения задачи (0.4), существование которых обусловлено теоремой 0.1, будем называть слабыми. В пункте 1.1 приводится доказательство этой теоремы 0.1, так как соответствующие рассуждения используются в дальнейшем.

В пункте 1.2 основные усилия направлены на получение более гладких, чем в теореме 0.1, решений. Для этого сделаем дополнительные предположения об исходных данных задачи (0.4): пусть функция Ь —> да{1), и, у)/дЬ абсолютно непрерывна на [0, Т} и для д2а{Ь, и, г>)/<9£2 справедлива оценка.

Мъ\и\у\у\у ¦ (0.11).

Доказана следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть форма и, и) удовлетворяет перечисленным выше требованиям (0.1), (0.2), (0.11). Пусть функция / такая, что /' е ½(0, ТН), /" е Х2(0,Т-У) и /(0) 6 V. Считаем, что элемент У и такой, что А (0)и°? V. Относительно координатной системы {.

В пункте 1.3, для исходной задачи (0.4) предполагается, что при почти всех t? [0, Т] функция /(/:) 6 V, то есть более гладкая по пространственным переменным, чем в предыдущих пунктах. В этой связи получены новые условия разрешимости задачи (0.4).

Так в теореме 1.2 считается, что / 6 ?2(0,Т-У), а существование производной fl не предполагается. Относительно полной координатной системы в У считаем, что Рт — ортопроекторы Н на Ут такие, что ||Рт||у>у < с. Тогда задача (0.4) имеет единственное решение и{1) такое, что и е Ь2(0,ТV) П С ([0,Т], Я), и'? Ь2(0,ТV').

Отметим, что достаточным условием существования полной в V системы такой, что ||Рт||у>у- < с Для вссх т € М, является компактность вложения V С Н (см. [42]).

В теореме 1.3 устанавливаются условия более гладкой разрешимости задачи (0.4), чем в теореме 1.2, а именно, условия обеспечивающие для слабого решения и{&euro-) дополнительную гладкость: и'? Ь⁰, ТУ).

Во втором параграфе, состоящем из трех пунктов, изучается сходимость полудискретного метода Галеркина.

Содержание пункта 2.1 носит вспомогательный характер. В нем рассматриваются проекционные конечномерные подпространства 14 пространства V, где к — положительный параметр, и свойства ортогональных проекторов на эти подпространства (Р^: Н Ун и: У —> У]г).

Кроме норм пространств V, H и V', на a h G Vf, рассматривается двойственная норма.

Iuh\v?= SUP.

Эта норма в V^ хороша тем, что, как показано в [43], проектор Р^ допускает расширение по непрерывности до оператора Р}г: V —а также справедлива оценка.

— P/, u||v^ < \u\v> для u G V'.

Определим множество.

D{A (t)} = {г- 6 V A (t)v G #}. (0.12).

Пусть существует сепарабелыюе гильбертово пространство Е такое, что D[A{t)] GEaV для t G [0, Т] и пространство V совпадает с интерполяционным пространством [Е, H]i/2 (см., напр., [1]). Например, для оператора A (t) в задаче (0.7) с первым краевым условием возьмем Е = D[A (t)] =.

О ° 1.

W-(а, Ь) П W2(ai b), а в задаче (0.10) с третьим краевым условием следует взять Е = W{a, Ъ) и D[A (t)] — {u G W (a, b) u'{t, а) + au (t, а) = u'(t, b) + ?u (t, b) = 0}.

А также определим гильбертовы пространства.

V{t) = {и, V G V I (и, v) v{t) = a (t, u, v)}.

Ортогональный проектор пространства V (t) на Vh обозначается Qh (t).

В данном пункте приведен ряд результатов, используемых в последующем (лемма 2.2 — лемма 2.6), об аппроксимационных свойствах проекционных подпространств и связанных с ними проекторов. Например, в лемме 2.5 и лемме 2.6 обсуждается вопрос существования производной по t G [0,Т] операторов Q’h (t), Q'^(t) и их аппроксимационных свойств.

В пункте 2.2 исследуется получение оценок погрешности и скорость сходимости полудискретного метода Галеркина в случае произвольного выбора проекционных подпространств.

В конечномерном подпространстве Vh С V рассматривается задача u’h (t), vh) + г a (t, uh (t), vh) = (f (t), vh), uh{0) = u°h G Vh, (0.13) где Vh G Vh произвольный элемент, элемент u G Vh считаем заданным.

В теореме 2.1 для слабого решения задачи (0.4) u (t), имеющего дополнительную гладкость и' G L2(0,TV) и и = PhU° доказана оценка тах.

Для получения из (0.14) сходимости погрешности к нулю дополнительно в следствии 2.2 предполагается, что последовательность подпространств {Vh} является предельно плотной в пространстве V при h —> 0, то есть ||(/ — Qh) v\v 0 при h 0 для всех v G V. Кроме того, оценка (0.14) позволяет получать и характеристики скорости сходимости погрешности к нулю. Конечно, при этом от подпространств Vh нужна информация об их аппроксимационных свойствах..

Пусть, например, подпространства Vh такие, что.

Ш — Qh) u\v < ch\u\E, (0.15) для всех и G Е. Заметим, что условие (0.15) типично для подпространств Vh типа «конечных элементов» (см., напр., [5], [28], [33])..

Если теперь предположить, что слабое решение задачи (0.4) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и u G L2(0,TЕ), то из (0.14), (0.15) следует оценка.

Гр ш" |Ki) — Uh (t)\2H < Л2 ((|Hi)||! + |Иё)||2к) dt. u{t)-uh (t)VH <.

Далее в пункте 2.2 доказана теорема 2.2 при более сильных условиях на гладкость решения и" е Ь2(0, ТV) и для г^ = ф⁰- Тогда оценка погрешности получена в более сильной норме: т.

70 и (/ - он) и'т2у+ц [/ - (о.1б).

В (0.16) для предельно плотной в V последовательности подпространств 04} при /г —> 0 правая часть оценки стремится к нулю. Если же выполняется (0.15), то из (0.16) получается следствие 2.5, где при соответствующих предположениях на гладкость решения и^) установлена оценка Т ш^ИиЮ-адЮП?- < сЛ'^ (|И*)111 + ||"'(<)||| + ||и" (4)||27)"..

В пункте 2.3 показано, что можно освободиться от повышенного условия на гладкость решения точной задачи, но для этого наложим на проекционные подпространства 14 дополнительные требования, а именно, {Т4} — последовательность конечномерных подпространств из V такая, что ЦР^Цу^уравномерно по К ограничены, то есть.

РЛ||^<�с. (0.17).

В приложениях, для подпространств 14 типа «конечных элементов», условие (0.17) равносильно равномерному разбиению области пространственных переменных (см., напр., [29])..

В теореме 2.3 устанавливается базовая оценка погрешности в норме С ([0,Т], Я") при условии, что исходные данные задачи обеспечивают лишь слабую разрешимость и подпространства {Т4} удовлетворяют (0.17). Если же решение и{&euro-) обладает дополнительной гладкостью:.

Ь2(0,Т] Е), то из этой оценки в следствии 2.7 при условии (0.15) получается оценка max ||i/(t) -uh (t)\H < + c2hK (u°J) (?\u (t)\2Edt.

½ где ku°J) = \АЬ +1 (H/WIIIt + II/WIIf')л..

Далее в пункте 2.3 обсуждается получение оценок погрешности, сходимость и порядок скорости сходимости в норме С ([0, Т], V) при условии выполнения требования (0.17) на подпространства VhТакая оценка погрешности установлена в теореме 2.4, в которой, в отличие от теоремы 2.2 пункта 2.2, от слабого решения u (t) требуется лишь выполнения условий теоремы 1.1. В следствии 2.10 из оценки, полученной в теореме 2.4, при условии (0.15) получается для и? С ([0,Т], Е) оценка с порядком скорости max ||ii (t) — Uh (t)\Ь.

MV,/) = \Ab +11/(0) IIH IH (0K||2f + rp J (\№Гн+У'т2н+\гт1)м..

Как уже упоминалось, проекционный метод (0.13) приближенного решения задачи (0.3) является полудискретным методом. В этой связи естественно рассмотреть проекционно-разностные методы приближенного решения задачи (0.3), которые являются полностью дискретными методами..

В третьем параграфе диссертации, состоящем из двух пунктов, рассматривается проекционно-разностный метод приближенного решения задачи (0.3) с неявной схемой Эйлера по времени..

В пункте 3.1 приближенная задача для задачи (0.3) строится следующим образом. Пусть 0 = ¿-о < ?1 < ¦ ¦ ¦ < tN — Т — разбиение отрезка.

0, Т]. В подпространстве Т4 С V рассматривается для к = 1, N разностная задача.

-+ га (гьи1ун) = (/(4), О, (0.18) где Уь? Ун — произвольный элемент, элемент 1/д? Ун считаем заданным, N — натуральное число, Тк = — Отметим, что задача (0.18) однозначно разрешима для любых т^..

В теореме 3.1 и замечании 3.1 устанавливаются оценки погрешности в норме тах1<^<�дг \и^к) — и^,\2н. При этом для слабого решения задачи (0.4) и (р) предполагается дополнительная гладкость и" € Ьр (0,Т] Н) (1 <Р< 2), и' е Ь2(0, Т] У) и = Рни°..

Если же подпространства 14 удовлетворяют условию (0.15), то из оценки в замечании 3.1 выписывается оценка погрешности с порядком скорости сходимости как по т, так и по Н (следствие 3.2). А именно, если решение задачи (0.4) обладает дополнительной гладкостью и ?.

2(0, ТЕ), то справедлива следующая оценка: гт 2/р.

1<�Фа-)-4\2н < с1Т^ Ц \и'Шн<*) +.

-т гт.

2 / ||Л, ЛЛ||2, / ц".//+М|2 С2Н I \и{г)\гЕйь + J \и'(г)\2у (И}..

В пункте 3.2 обсуждается получение оценок погрешности, сходимость и порядок скорости сходимости в норме тах1<�д-<�лг \и (Ьк)—и^.\у, при этом основным требованием на задачу (0.4) является выполнение условий слабой разрешимости из теоремы 0.1..

В первой теореме данного пункта (теорема 3.2) предполагается выполнение требования на разбиение отрезка [0,Т] точками (к = 1,^) такое, что г = тахг^ < с пин т^. а также на решение задачи: и' Е Ь2{0,Г-У), существует и" е Ьр (0,Т-У) (1 < р < 2) и = В данных условиях справедлива оценка погрешности тах |К4) — 4\1 < С1 т22Л> ||и" {г)Гу, й^ «+ т.

0.19) и^С^-^ I /д.

Далее, в следствиях 3.3 и 3.4, обсуждается эффективность оценки (0.19), то есть порядок скорости сходимости при дополнительном предположении (0.15) на подпространства У/г и сходимость погрешности к нулю при условии согласования шагов по времени и по пространству, а именно, /г2/т —> 0..

Затем в теореме 3.3 показано, что дополнительные условия гладкости на решение и{&euro-) (и" е 1/1(0, ТV) и = позволяют как освободиться от согласования шагов по времени и по пространству, так и от требования на разбиение отрезка [0, Т]. При этом, если подпространства Цг удовлетворяют условию (0.15), то выписывается оценка погрешности с порядком скорости сходимости как по т, так и по к (следствие 3.6). А именно, если решение задачи (0.4) обладает дополнительной гладкостью: и" е 1/р (0,ТУ)(1 < р < 2) и и' е ½(0,ТЕ), то справедлива оценка гт 2/Р.

-ч1\1 <�С1гз-2^ц кюи^*) +.

Известно, что неявная разностная схема Эйлера дает лишь первый порядок аппроксимации. Более высокий порядок можно получить применяя схему Краика-Николсон, которая является разностной схемой второго порядка аппроксимации..

Изучению проекционно-разностного метода приближенного решения задачи (0.3) с модифицированной схемой Кранка-Николсон по времени посвящен четвертый параграф диссертации, состоящий из двух пунктов. Заметим, что преимущества схемы Кранка-Николсон по сравнению, например, с неявной схемой Эйлера проявляются лишь для уравнений с достаточно гладкими данными..

В пункте 4.1 рассматривается задача типа Шредингера с оператором не зависящим от времени в виде и'(Ь), у) + 1а (и (г)^) = (/(*), V), 1/(0) = и0 е V. (0.20).

Задаче (0.20) сопоставим разностную задачу в подпространстве Т^: ц^Ц,.) — (ЛЦу^и), (0.21) где ть — ^ — к — N — натуральное число, элемент? 14 считаем заданным. Задача (0.21) однозначно разрешима для любых т^..

Основной в пункте 4.1 является теорема 4.1, в которой доказаны две базовые оценки погрешности в норме тах1з этих оценок в следствии 4.2, в предположении выполнения свойства (0.15) на подпространства получены оценки с порядком скорости сходимости по т и к. Например, для слабого решения задачи (0.20) такого, что существует и'" е Ьр (0,ТН) (1 < р < 2), и' е Ь2(0,ТV) и = Рки°, справедлива оценка погрешности гТ 2/р шах 1М*0 — <4\ < с^-^Ц К'(*)1&- + с гТР Т ^ .

.

В пункте 4.2 диссертации для задачи (0.3) (оператор А (£) зависит от времени) рассматривается модифицированная схема Кранка-Николсон в следующем виде: где элемент € Ук считаем заданным, т = — к = 1, N. Задача (0.22) также однозначно разрешима для любых.

В данном пункте, в условиях существования слабого решения задачи (0.3), обсуждается получение оценок погрешности и порядок скорости сходимости в норме тахх<^<�дг ||и^ь) — и^Цу. При этом предполагается дополнительное требование (0.17) на проекционные подпространства Цг..

В условии дополнительной гладкости слабого решения в теореме 4.2 установлены две базовые оценки погрешности. Данные оценки позволяют получить не только сходимость к нулю (следствие 4.4), если последовательность подпространств {14} является предельно плотной в пространстве V при И —> 0, но и оценки с порядком скорости сходимости по г и 1 г (следствие 4.5). Для этого, например, потребуем выполнения свойства (0.15) на подпространства 14 и существования и'" 6 Ьр (0,ТV) (1 < V < 2), и' € Ь2(0,ТЕ), и= Рь, и°. Тогда справедлива оценка погрешности.

Таким образом, если известны аппроксимационные свойства проекционных подпространств, то оценки, полученные во втором, третьем и.

0.22) четвертом параграфах, позволяют получать как сходимость в различных нормах приближенных решений к точному, так и получать скорости сходимости. Заметим, что для достаточно гладких решений скорость сходимости является точной по порядку аппроксимации и по временной, и по пространственным переменным. Последнее особенно важно при использовании подпространств типа «конечных элементов» ..

Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Рассматривается постановка задачи как наиболее приспособленная к теории проекционных и проекционно-разностных методов. Получены новые результаты о разрешимости и гладкости решения задачи. Сформулированы приближенные задачи при применении проекционного метода Галерки-на, а также проекционно-разностных методов со схемой Эйлера и модифицированной схемой Кранка-Николсоп. Установлены оценки погрешностей приближенных решений в соответствующих нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешностей приближенных решений к нулю от начальных данных задачи. Результаты диссертации имеют как теоретическую, так и практическую направленность. Они могут быть использованы при дальнейшем исследовании конкретных уравнений математической физики..

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах, конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), Крымской осенней математической школе-симпозиуме — 2008, ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета, семинаре под руководством профессора А. Г. Баскакова, семинаре под руководством профессора И. Я. Новикова..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55] —[61]..

1. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. — М.: Мир, 1971. — 372 с..

2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. — М.: Мир, 1972. 415 с..

3. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. М.: Мир, 1981. — 408 с..

4. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обэн. М.: Мир, 1977. — 352 с..

5. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. — 512 с..

6. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева. — М.: Наука, 1973. 576 с..

7. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская, В. А. Солонников, H.H. Уральцева. М.: Наука, 1967. — 736 с..

8. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. — 588 с..

9. Злотник A.A. Оценки скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка / A.A. Злотник // Вычислит, процессы и системы. — 1992. — Вып. 10. — С. 116— 167..

10. Wheeler M.F. Д^ estimates of optimal order for Galerkin methods for one-dimentional second order parabolic and hyperbolic equations / M.F. Wheeler // SIAM J. Numer. Anal. 1973. — V. 10, № 5. — P. 908−913..

11. Пулькина JI.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Дифференц. уравнения. 2004. — Т. 40, № 7. — С. 887—892..

12. Асанова А. Т. Нелокальные краевые задачи для нелинейных гипер-боличских уравнений / А. Т. Асанова // Тезисы докладов международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». — Минск, 2003. — С. 27—28..

13. Салахитдинов М. С. О единственности решения краевых задач для гиперболического уравнения разного рода /М.С. Салахитдинов / / Докл. Адыг. (Черкес.) междунар. акад. наук. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 92−94..

14. Сабитов К. Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». — Стерлитамак, 2004. — С. 80—86..

15. Амангалиева М. М. О разрешимости граничных задач для гиперболического уравнения с усреднением / М. М. Амангалиева // Мат. журнал. — 2004. — Т. 4, № 3. — С. 12—15..

16. Терлецкий В. А. Обобщенное решение одномерных полулинейных гиперболических систем со смешанными условиями / В. А. Терлецкий // Изв. вузов. 2004. — № 12. — С. 75−83..

17. Асанова А. Т. О краевой задаче с данными на характеристиках для системы гиперболических уравнений / А. Т. Асанова // Тезисы докладов «40 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии». — Москва, 2004. — С. 86—89..

18. Голубева Н. Д. Задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Н. Д. Голубева // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинскне чтения-XV». — Воронеж, 2004. С. 60−61..

19. Kozie L. Mixed problems for infinite systems of quasilinear hyperbolic functional differential equations / L. Kozie // Demonstr. math. — 2003. — V. 36, № 3. P. 659−674..

20. Железовский C.E. Оценка погрешности метода Галеркина для абстрактного эволюционного уравнения второго порядка с негладким свободным членом / С. Е. Железовский // Дифференц. уравнения. — 2004. Т. 40, № 7. — С. 944−952..

21. Guezane-Lakoud A. Abstract variable domain hyperbolic differential equations / A. Guezane-Lakoud // Demonstr. math. — 2004. — V. 37, № 4. P. 883−892..

22. Monk P. A discontinuous Galerkin method for linear symmetric hyperbolic systems in inhomogeneous media / P. Monk, Gerard R. Richter // Sci. Comput. 2005. — V. 22, № 1. — P. 443−477..

23. Алиев А. Б. Смешанная задача для квазилинейных псевдогиперболических уравнений высокого порядка / А. Б. Алиев // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XVI». Воронеж, 2005. — С. 15−16..

24. Kaikina E.I. Nonlinear nonlocal Schrodinger type equations on a segment / E.I. Kaikina, P.I. Naumkin, Isahi S’anchez-Su'arez // SUT J. Math. 2004. — V. 40, № 1. — P. 75−90..

25. Dai Dao-Qing Galerkin analysis for Schrodinger equation by wavelets / Dai Dao-Qing, Han Bin, Jia Rong-Qing // Math. Phys. — 2004. — V. 45, № 3. P. 855−869..

26. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. М.: Мир, 1977. — 352 с..

27. Оганесян JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / J1.A. Оганесян, JI.A. Руховец. — Ереван, 1979. — 236 с..

28. Соболевский П. Е. О методе Бубиова-Галеркина для параболических уравнений в гильбертовом пространстве / П. Е. Соболевский // ДАН СССР. 1968. — Т. 178, № 3. — С. 486−489..

29. Wheeler M.F. A priori L2 error estimates for Galerkin approximations to parabolic patial differential equations / M.F. Wheeler // SIAM J. Numer. Anal. 1973. — V. 10, № 4. — P. 723−759..

30. Donglas J. A quasi-projection analysis of Galerkin methods for parabolic and hyperbolic equations / J. Douglas, T. Dupont, M.F. Wheeler // Math. Comput. — 1978. V. 32, № 142. — P. 345−362..

31. Марчук Г. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы / Г. И. Мар-чук, В. И. Агошков. — М.: Наука, 1981. — 416 с..

32. Бабушка И. Численные процессы решения дифференциальных уравнений / И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. — М.: Мир, 1969. — 368 с..

33. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Р. Варга. — М.: Мир, 1974. — 128 с..

34. Митчел Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчел, Р. Уэйт. — М.: Мир, 1981. — 216 с..

35. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. М.: Мир, 1988. — 352 с..

36. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. — М.: Наука, 1989. 608 с..

37. Morgan Ed. Finite-elment-metode: Eine Einfuhrung / Ed. Morgan, A. Michael. Berlin: Akad. Verl., 1993. — 252 p..

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики /B.C. Владимиров. — M.: Наука, 1976. — 528 с..

39. Schwartz L. Theorie des distributions / L. Schwartz. — Paris, 1957. — 254 c..

40. Смагин B.B. О слабой разрешимости нелинейной вариационной задачи параболического типа / В. В. Смагин, М. В. Тужикова // ВестникВоронежского государственного университета. — 2004. — № 1. — С. 153−156..

41. Вайникко Г. М. О сходимости и быстроте сходимости метода Галер-кина для абстрактных эволюционных уравнений / Г. М. Вайникко, П. Э. Оя // Дифференц. уравнения. 1975. — Т. 11, № 7. — С. 12 691 277..

42. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — М.: Наука, 1988. — 334 с..

43. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. — М.: Наука, 1985. — 224 с..

44. Бубнов И. Г. Отзыв о сочинениях проф. Тимошенко, удостоенных премии им. Журавского / И. Г. Бубнов // Сборник ин-та инж. путей сообщения. — 1913. — выпуск 3.'.

45. Галеркин Б. Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластин / Б. Г. Галеркин // Вестник инженеров. 1915. — № 19. — С. 897−908..

46. Смагин В. В. О сходимости полудискретных приближений по Галер-кину для квазилинейных параболических уравнений / В. В. Смагин // Известия вузов. Математика. — 1989. — № 2. — С. 62—67..

47. Смагин В. В. Оценки погрешности полудискретных приближений по Галеркину для параболических уравнений с краевым условием типа Неймана / В. В. Смагин // Известия вузов. Математика. — 1996. — Т. 406, № 3. С. 50−57..

48. Смагин В. В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений / В. В. Смагин // Мат. сборник. — 1997. — Т. 188, № 3. С. 143−160..

49. Смагин В. В. Средне-квадратичные оценки погрешности нроек-ционно-разностного метода для параболических уравнений / В. В. Смагин // Журнал вычисл. математики и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 6. С. 908−919..

50. Смагин В. В. О скорости сходимости проекционно-разностных методов для гладко разрешимых параболических уравнений / В. В. Смагин // Математ. заметки. 2005. — Т. 78, № 6. — С. 907−918..

51. Смагин В. В. Оценки в сильных нормах погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений с модифицированной схемой Кранка-Николсон / В. В. Смагин // Мат. заметки. — 2003. Т. 74, № 6. — С. 913−923..

52. Шепилова Е. В. О разрешимости вариационной задачи для уравнения типа Шредингсра / Е. В. Шепилова // Труды математического факультета. Воронеж: ВорГУ, 2005. — № 9. — С. 114−123..

53. Шепилова Е. В. О разрешимости вариационной задачи для уравнения типа Шредингера с неоднородностью гладкой по пространству / Е. В. Шепилова // Труды математического факультета. — Воронеж: ВорГУ, 2006. № 10. — С. 165−173..

54. Шепилова Е. В. О сходимости полудискретного метода Галеркина для уравнения типа Шредингера / Е. В. Шепилова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика, математика. Воронеж: ВорГУ, 2006. — № 2. — С. 247−252..

55. Шепилова Е. В. Оценки погрешности полудискрстного метода Галеркина для уравнения типа Шредингера / Е. В. Шепилова // Материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж: ВорГУ, 2007 С. 243−244..

56. Смагин В. В., Шепилова Е. В. О решении уравнения типа Шредингера проекционно-разностным методом с неявной схемой Эйлера по времени / В. В. Смагип, Е. В. Шепилова // Дифференц. уравнения. — 2008. Т. 44, № 4. — С. 558−569..