Характеристики и модели устройств обработки аналоговых сигналов

Реферат

Характеристики и модели устройств обработки аналоговых сигналов

Устройства обработки аналоговых сигналов занимает важное место в электронике. Это объясняется тем, что большинство первичных физических сигналов являются аналоговыми по своей природе, а большинство исполнительных устройств в объектах управления радиосистем управляются электрическим током. Сложные системы управления, основой которых являются цифровые вычислительные устройства, сопрягаются с объектами управления с помощью аналоговых, цифро-аналоговых и аналого-цифровых устройств.

Структура устройств обработки радиосигналов определяется алгоритмами обработки сигнала и, как правило, включает частотно-временную селекцию сигнала, его усиление и выполнение требуемых математических и (или) логических операций над ним или его компонентами. К примеру, при обнаружении сигнала на фоне аддитивного гауссова шума необходимо вычислять корреляционный интеграл: выполнить операцию умножения принимаемого сигнала y (t) на копию обнаруживаемого сигнала s (t), затем — операцию интегрирования и сравнивать результат с порогом z₀ (рис. 1).

Рис. 1. Корреляционный обнаружитель сигнала Таким образом, в данном случае устройство обработки помимо усиления и частотной селекции сигнала должно выполнять над ним перечисленные линейные операции: умножение, интегрирование и логическую операцию сравнения результата интегрирования с порогом. Линейные операции над сигналами (суммирование, умножение, дифференцирование, интегрирование, их задержка на требуемое время и т. д.) относятся к наиболее распространенным. Помимо линейных операций в устройствах обработки над сигналом часто выполняются и нелинейные операции: ограничение, логарифмирование, выпрямление квантование и т. д. В связи с этим необходимо рассмотреть устройства, с помощью которых реализуются соответствующие операции над сигналом, их математические модели и характеристики.

Линейные устройства и их характеристики. Под линейными устройствами обработки сигналов понимают такие устройства, в которых над сигналом выполняются разного рода линейные операции и преобразования. Это, прежде всего различные линейные фильтры, усилители слабых сигналов, преобразователи частоты, устройства задержки сигналов, фазовращатели и т. д. Для линейных устройств с постоянными параметрами справедливы принципы суперпозиции и стационарности. Для описания таких устройств используется ряд различных характеристик и параметров.

Импульсная и переходная характеристики. Линейность и стационарность устройства позволяют легко найти его реакцию на любой входной сигнал, зная реакцию всего лишь на один сигнал — д-функцию. Эта реакция, определяемая при нулевых начальных условиях, называется импульсной характеристикой устройства и обозначается g (t).

Любой сигнал x (t) можно представить в виде свертки самого себя с д-функцией

(1)

Линейное устройство преобразует относительно переменной t все функции, входящие в это выражение. Входной сигнал x (t) превращается в выходной y (t), а дельта-функция д (t-ф) — в импульсную характеристику g (t-ф). Следовательно, выходной сигнал линейного устройства с постоянными параметрами можно определить как свертку выходного сигнала и импульсной характеристики устройства:

(2)

Физически формирование сигнала на выходе линейного устройства можно пояснить следующим образом: бесконечно малый элемент сигнала длительностью dф порождает на выходе отклик, представляющий собой импульсную характеристику g (t-ф), умноженную на x (ф) dф. Для нахождения выходного сигнала в момент времени t необходимо просуммировать отклики указанных бесконечно малых элементов, что приводит к указанной выше формуле свертки. Соотношение (2) в теории сигналов называют также интегралом Дюамеля.

Переходной характеристикой называют реакцию устройства на входной сигнал в виде единичного скачка. Обозначают переходную характеристику h (t). Переходная характеристика (как и импульсная характеристика) определяется при нулевых начальных условиях.

Поскольку дельта-функция является производной от единичного скачка, импульсная и переходная характеристики связаны друг с другом операциями дифференцирования и интегрирования:

Для физически реализуемого устройства импульсная и переходная характеристики должны быть равны нулю при t < 0, поскольку реакция в физически реализуемом устройстве не может возникнуть раньше появления входного сигнала.

Комплексный коэффициент передачи. Выходной сигнал линейного устройства представляет собой свертку входного сигнала и импульсной характеристики. Преобразование Фурье от свертки дает произведение двух комплексных функций:

(3)

где — спектр входного сигнала;

— преобразование Фурье для импульсной характеристики устройства.

Функцию называют комплексным коэффициентом передачи устройства, а ее модуль и фазу — соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками устройства. Комплексное число показывает, как изменяется при прохождении через линейное устройство гармонический сигнал с частотой щ: АЧХ показывает, во сколько раз изменится амплитуда синусоиды с частотой щ, а ФЧХ — какой она получит фазовый сдвиг.

Мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, и она зависит от его фазы. Поэтому коэффициент передачи по мощности равен квадрату модуля комплексного коэффициента передачи, то есть квадрату АЧХ:

(4)

Фазовая и групповая задержка. Сигнал на выходе линейного устройства обычно задерживается по времени относительно сигнала на ее входе. Различают два вида задержки: фазовую и групповую. Под фазовой задержкой подразумевают задержку гармонического на частоте щ, а под групповой — задержку огибающей узкополосного сигнала со средней частотой щ_o.

Величина фазовой задержки определяется частотой щ и фазовым сдвигом (ФЧХ), гармонического сигнала на выходе линейного устройства:

(5)

Групповая задержка равна производной ФЧХ устройства на частоте щ_o, взятой с обратным знаком:

(6)

Математические модели линейных устройств

Математические модели линейных устройств строятся для решения различных задач, связанных с проектированием или исследованиями работы указанных устройств. Эти модели устанавливают связь между входным x (t) и выходным y (t сигналами линейного устройства и могут представляться в нескольких эквивалентных формах: дифференциальное уравнение, передаточная функция, пространство состояний. Выбор вида модели, вообще говоря, определяется существом задачи исследования или проектирования, для решения которой строится модель и предпочтениями исследователя.

Дифференциальное уравнение и передаточная функция. Связь между входным x (t) и выходным y (t) сигналами в линейном устройстве с сосредоточенными параметрами можно выразить в виде линейного дифференциального уравнения (ДУ)

(7)

где x (t) — входной сигнал, y (t) — выходной сигнал, a_i и b_j; — постоянные коэффициенты. Таким образом, линейное устройство с сосредоточенными параметрами может быть представлено векторами (наборами) коэффициентов и .

Для физически реализуемых устройств необходимо выполнение условия, поскольку максимальный порядок производной входного сигнала не должен превышать максимальный порядок производной входного сигнала. Число n называют порядком линейного устройства.

Если входной сигнал x (t)=0, то однородное дифференциальное уравнение

(8)

описывает собственные (свободные) колебания устройства, и с точностью до постоянного множителя определяет импульсную характеристику линейного устройства. Если задать конкретный вид входного сигнала x (t), то решение дифференциального уравнения (8) даст выходной сигнал линейного устройства.

Как под входным x (t), так и под выходным y (t) сигналами линейного устройства можно подразумевать различные физические процессы. Например, если в качестве линейного устройства рассматривать линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, то в качестве x (t) можно рассматривать либо ток, либо напряжение. Это же относится и к y (t). Следовательно, можно построить четыре варианта дифференциального уравнения (7) описывающего исследуемое устройство: x (t) — напряжение, y (t) — напряжение; x (t) — напряжение, y (t) — ток и т. д.

Если к дифференциальному уравнению (8) применить преобразование Лапласа и найти отношение лапласовских изображений выходного и входного сигналов, то получим выражение для операторного коэффициента передачи

(9)

Функцию H (s) называют также передаточной функцией и функцией передачи.

Если в формуле (9) переменную s заменить на j?,?получим выражение для комплексного коэффициента передачи:

а из комплексного коэффициента передачи с помощью обратного преобразования Фурье можно получить импульсную характеристику линейной системы

.

Импульсную реакцию можно найти и непосредственно из передаточной функции (9), применив к ней обратное преобразование Лапласа.

В качестве математической модели линейной системы можно рассматривать и интеграл Дюамеля (2).

Пример 1. Проиллюстрируем рассмотренные способы построения математических моделей линейных динамических устройств на примере электрической цепи, показанной на рис. 1. На вход цепи подается напряжение x (t). Предположим, что ток через индуктивность при включении источника напряжения i (0)=i_L(0)=0, а напряжение на конденсаторе y (0)=V_C(0) = 0 В. В качестве реакции устройства будем рассматривать напряжение на конденсаторе в произвольные моменты времени. Для верификации моделей будем использовать переходную характеристику h (t), т. е. ее реакцию на единичный скачок напряжения x (t)=u₀(t). Построим математические модели рассматриваемого линейного устройства рассмотренными выше способами.

Построим математическую модель в форме операторного коэффициента передачи (9). Для этого воспользуемся операторным методом анализа, заменим в цепи (рис. П1) реактивные компоненты их операторными импедансами: и представим цепь в форме комплексных сопротивлений (рис. П2).

Операторный коэффициент передачи этой цепи радиосигнал алгоритм операторный цепь

(П1)

Из описания устройства в форме (П1.1) нетрудно получить его описание в форме дифференциального уравнения. Это удобно сделать, воспользовавшись правилами операционного исчисления. Из выражения (П1.1) имеем откуда следует что

(П2)

По правилам операционного исчисления умножение изображения на s^k соответствует k — кратному дифференцированию оригинала, то из (П1.2) получаем следующее дифференциальное уравнение:

(П3)

Из выражений (П1), (П3) найдем векторы = [RC, 1] и = [LC, RC, 1].

Выводы и результаты

1. В устройствах обработки сигналов над сигналом, как правило, выполняется ряд линейных и нелинейных операций: усиление и частотно-временная селекция. В связи с этим необходимо рассмотреть математические модели, характеристики и принципы построения узлов, с помощью которых реализуются соответствующие операции над сигналами.

2. Линейные инерционные устройства преобразования сигналов можно описывать несколькими способами: импульсной реакцией, переходной характеристикой, передаточной функцией, комплексным коэффициентом передачи, дифференциальным уравнением. Выбор способа описания зависит от вида решаемой задачи проектирования, потому необходимо уметь переходить от одного способа описания к другому.

1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — 751 с.: ил.

2. Акимов П. С. и др. Сигналы и их обработка в информационных системах. Учеб. Пособие для вузов/ П. С. Акимов, А. И. Сенин, В. И. Соленов. — М.: Радио и связь, 1994. — 256 с.: ил.

Введение

в математическое моделирование.: учеб. пособие для студ. вузов / В. Н. Ашихмин [и др.]. — М.: Логос, 2005. — 439 с.: ил.

4. Моделирование динамических систем: аспекты мониторига и обработки сигналов / Нац. АН Украины; под ред. В. В. Васильева. — Киев: Изд-во НАН Украины, 2002. — 343 с.