Движение заряженной частицы в электрическом поле

Движение заряженной частицы в электрическом поле

Частица фосфора с начальной энергией влетает в плоский конденсатор электроемкостью с начальной скоростью, разностью потенциалов, с квадратными пластинам, расстояние между которыми, под углом к отрицательно заряженной пластинке на расстоянии от положительно заряженной пластины. Определить начальную энергию частицы фосфора, длину стороны квадратной пластины, заряд пластины и энергию электрического поля конденсатора. Построить следующие графики зависимостей: — зависимость координаты — частицы от ее положения «x»; - зависимость кинетической энергии частицы от времени полета в конденсаторе.

Решение

Основные теоретические положения

Точечный заряд — заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Закон Кулона: сила взаимодействияFмежду двумя точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния rмежду ними:

Напряженностью электростатического поля называется величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в данную точку:

Конденсатор-система из двух проводников (обкладок) с одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, форма и расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Емкость конденсатора — физическая величина, равная отношению заряда, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

Энергия заряженного проводника равна работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства — создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Также частица обладает энергией.

Энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, т. е.

Частица, влетающая в конденсатор параллельно его обкладкам, движется равномерно ускоренно, соответственно формула длины этого движения будет иметь вид:

Определение параметров частицы

1) Дано: Атомная масса частицы M_r=31

Используем следующую формулу для перевода в систему СИ:

1 а.е.м. = 1,66•10^-27 кг Следовательно, искомая масса частицы

m=

2) Начальную энергию частицы найдем по формуле:

;

m=5,15•10^-26 кг

V=3•10⁵м/с Проверка размерностей:

Поскольку 1эВ=1,602•10^-19Дж, то

Определение параметров конденсатора

1) Определение заряда пластин конденсатора (Q)

Дано: U=18кВ=1,8•10⁴ В С=0,4 нФ=4•10^-10 Ф Найти: Q — ?

Используем формулу:

откуда выразим .

Тогда =7,2мкКл

Проверка размерностей:

2) Определение энергии конденсатора (W)

Дано: С=0,4 нФ=4•10^-10 Ф

U=18 кВ=1,8•10⁴ В Найти: W — ?

Используем формулу:

=0,648 мДж

Проверка размерностей:

3) Определение длины пластины конденсатора (l)

Дано: C=0,4нФ=4•10^-10Ф

d=12 мм=1,2•10^-2м е=1, так как пластины конденсатора находятся в воздушной среде е₀=8,85•10^-12 Ф/м Найти: l — ?

Используем формулу:

Поскольку в условии сказано, что пластина конденсатора представляет собой квадрат, вместо площади Sможно указать l², где l-длина пластины конденсатора.

; ;

Тогда =74 см

Проверка размерностей:

Построение графиков зависимостей

Для построения графика y (x) — зависимости координаты — «y» частицы от ее положения «x» требуется найти силу, действующую на частицу в электрическом поле конденсатора.

Сила F — это равнодействующая сила, действующая на частицу в электрическом поле конденсатора, является совокупностью силы тяжести и силы, действующей со стороны конденсатора. Поэтому верно следующее уравнение:

;

Поскольку обе силы действуют параллельно оси OY, нам понадобится проекция на ось OY.

Проецируя на ось OY, получим:

;

Сила, действующая на частицу в поле конденсатора, определяется как произведение напряженности поля в центре конденсатора на заряд частицы:

;

;

Тогда;

;

Поскольку сила тяжести, действующая на частицу, много меньше силы, действующей со стороны конденсатора, то силой тяжести можно пренебречь:

;

;

Равнодействующая сила F, действующая на частицу, направлена параллельно оси OY, значит проекция ускорения на ось OXравна нулю.

Воспользуемся основными уравнениями кинематики движения материальной точки:

где , — положения материальной точкив начальный момент времени по оси OXи OYсоответственно, м; - проекция начальной скорости на ось OX, м/с; - проекция начальной скорости на ось OY, м/с; t — время, с; - проекция ускорения на ось OX, м/с²; - проекция ускорения на ось OY, м/с²;

Полное ускорение равно:

Поскольку, то ;

Используя IIзакон Ньютона, имеем:

Скорость — первая производная от координаты по времени;

Ускорение — вторая производная от координаты по времени, или первая производная от скорости по времени;

;

Проекции скорости на оси OXи OY:

Результирующий вектор скорости:

Уравнения, описывающие зависимости координат «x» и «y» от времени tcучетом данных :

Находим зависимость yот x:

;

Подставив полученное уравнениеt (x) в уравнение y (t), получим:

Данные, необходимые для построения графика:

Проверка выражения:

Для построения графика E(t) — зависимости кинетической энергии частицы от времени полета в конденсаторе — сначала найдем время tдвижения частицы. Для этого воспользуемся следующим уравнением:

Тогда:

Решая данное квадратное уравнение, получим:

Это время движения частицы в конденсаторе.

Уравнения, необходимые для построения графика Дж, где E — кинетическая энергия частицы, Поскольку 1эВ=1,602•10^-19Дж, то формула зависимости E (t) примет вид:

Проверка выражения:

Вывод

В расчетно-графическом задании выполнены следующие задачи:

1) на основе физических законов определены параметры частицы, влетающей в поле конденсатора, и параметры конденсатора:

а) начальная кинетическая энергия частицы

б) заряд пластин конденсатора

в) энергия конденсатора

г) длина пластины конденсатора

2) построены графики зависимостей:

а) y (x) — зависимости координаты — «y» частицы от ее положения «x» — координаты;

б) E(t) — зависимости кинетической энергии частицы от времени полета в конденсаторе;

Исходя из данных графиков, следует, что:

1) координата «y» частицы увеличивается с увеличением координаты «x» частицы, то есть данная положительная частица прилипает к верхней пластине «-Q»;

2) кинетическая энергия частицы E увеличивается с течением времени t.