Теория и применение цифровой обработки сигналов

1. Понятие расчётного алгоритма цифрового фильтра

Для дискретных линейных систем соотношение между входной и

выходной последовательностями определяется разностным уравнением, а

передаточная функция — z-преобразованием. При этом существует

определённая взаимосвязь между входом и выходом. При построении

цифрового фильтра программным путем на универсальной цифровой

вычислительной машине (ЦВМ) или в виде специализированного устройства

эта взаимосвязь между входом и выходом должна быть преобразована в форму

алгоритма вычисления. В зависимости от способа построения такой алгоритм

будет определяться совокупностями либо основных математических операций,

либо элементов схемы. Для построения дискретных систем, описываемых

линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами, в

качестве основных операций целесообразно выбрать суммирование, задержку и

умножение на константу. В этом случае расчетный алгоритм будет определен

либо структурой программы, либо схемой устройства, устанавливающими

взаимосвязь этих основных операций. Рассмотрим систему со следующей

передаточной функцией:

) (

) (

) (

) (

) (

∑

∑

=

−

=

−

= =

N

k

k

M

k

k

z k a

z k b

z X

z Y

z H

(1)

для которой разностное уравнение, определяющее зависимость между входом и

выходом, при a (0)=1 имеет вид

.) () () () () (

1 0

∑ ∑

= =

− − − =

N

k

M

k

k n y k a k n x k b n y

(2)

Это уравнение можно трактовать как расчетный алгоритм рекурсивного

фильтра (БИХ-фильтр), в котором задержанные величины входной и выходной

последовательностей умножаются на коэффициенты b (k) и a (k) соответственно

и результаты умножения суммируются. Нерекурсивный фильтр (КИХ-фильтр

обычно реализуется по нерекурсивной схеме) — частный случай (2), когда

a (k) = 0. Существует очень много структур, которые в результате будут давать

одну и ту же зависимость между входными х (п) и выходными у (п) выборками.

Следует учитывать, что две структуры могут быть эквивалентны (по

отношению к характеристике взаимосвязи между входом и выходом) в случае,

когда точность представления коэффициентов и переменных в фильтре

неограниченна, и они могут иметь существенно различные характеристики,

когда указанная точность ограниченна. С этой точки зрения одни структуры

оказываются предпочтительнее других.

2. Основные структурные схемы при построении КИХ-фильтров

В случае физически реализуемых систем с импульсными

характеристиками конечной длины для построения систем используют

нерекурсивный расчетный алгоритм. Для таких систем передаточная функция

имеет следующий вид:

.) () (

∑

−

=

−

=

N

n

n

z n h z H

(3)

Это означает, что если длина импульсной характеристики равна N

отсчетам, то H (z) является полиномом по z

— 1

степени N-1. Поэтому Н (z) имеет

N-1 полюсов в точке z = 0 и N-1 нулей, которые могут быть в любом месте

ограниченной z-плоскости. КИХ-фильтры могут иметь множество форм

построения. Рассмотрим наиболее важные формы построения цепей КИХ;

фильтров.

2.1. Прямая форма

Прямая форма построения цепи следует непосредственно из соотношения

для сверточной суммы, которое имеет следующий вид:

.) () () (

∑

−

=

− =

N

k

k n x k h n y

(4)

Таким образом, прямая форма построения КИХ-фильтров является

частным случаем прямой формы БИХ-фильтров, когда соответствующие

коэффициенты равны нулю.

Структурная схема, показанная на рис. 1, является реализацией

соотношения (4) и соответствует прямому порядку выполнения сложений и

умножений.

z

— 1

h (0)

z

— 1

z

— 1

z

— 1

h (1) h (2) h (3) h (N-1)

y (n)

x (n)