Формирование и разрушение фазовой когерентности в нелинейных резонансных средах при регулярных и хаотических колебаниях

Актуальность работы. Уровень развития микрои нанотехнологии, достигнутый в настоящее время, делает возможным создание элементов электроники, функционирующих по законам квантовой микрофизики. В частности, проектируются и разрабатываются устройства, позволяющие формировать, преобразовывать и диагностировать квантовые состояния микрообъектов, осуществляя тем самым элементарные действия, требуемые для выполнения вычислении и передачи информации [1−10]. Уже существуют экспериментальные установки, дающие возможность управлять квантовыми состояниями одиночных атомов (ионов), удерживаемых в радиочастотных ловушках, и запутанными состояниями [2] атомных (ионных) цепочекформировать кооперативные сверхизлучающие состояния и состояния с подавленным спонтанным распадом в атомных ансамблях [3−5] и молекулярных кристаллах [6]- создавать когерентные состояния ридберговских атомов [7] и высокоспиновых нанокластеров [6, 8]. Обсуждаются методы управления состояниями твердотельных мезоскопических систем (квантовых точек, нанокластеров и других наноструктур) [9, 10].

Фактором, стимулирующим усилия, направленные на дальнейшее развитие этого направления в наноэлектронике, стали результаты теоретических исследований в области квантовых вычислений, свидетельствующие о высокой эффективности квантовых алгоритмов в сравнении с классическими [11−13]. Для создания реальных устройств, осуществляющих квантовые вычисления, необходимо, однако, не только решить ряд трудных технологических проблем, но и достигнуть более глубокого понимания фундаментальных положений квантовой теории, и прежде всего — теории измерений. В центре внимания оказывается проблема корректного описания реальных измерении и учета механизмов декогерентизации, приводящих к изменению «измеряемого» квантового состояния вследствие взаимодеиствия с «измерительным прибором» [14−17].

Задача об измерении квантового состояния в строгой постановке требует описания квантовой временной динамики двух взаимодействующих подсистем — объекта измерения Q, являющегося системой с небольшим числом степеней свободы, и системы С, играющей роль «измерительного прибора» — с переходом к классическому пределу для состояний системы С. Данная модель обладает большой общностью и применима во всех случаях, когда исследуется поведение микрообъектов и физическая информация переносится с квантового уровня на классический (макро) уровень. Возможная неоднозначность конечного результата теоретического анализа, основанного на использовании этой модели, может быть связана с выбором способа установления квантово-классического соответствия. По этой причине не теряет актуальности задача разработки расчетых методов для описания квантовой когерентного динамики, позволяющих осуществлять переход к классическому описанию. Особый интерес представляют методы, пригодные для описания мезоскопических систем, занимающих как бы промежуточное положение между классическими макросистемами и квантовыми микросистемами (одиночных высоковозбужденных атомов [1, 7]- макромолекул и нанокластеров [6,18], включающих в себя сравнительно небольшое число атомов, и др.).

Наиболее известные квазиклассическио методы, вошедшие в учебную литературу метод ВКБ [19], метод функции Вигнера [20], метод полевых когерентных состояний [21] - не решают проблему исчерпывающим образом. Более глубокое понимание закономерностей квантово-классического соответствия достигается в работах, посвященных исследованию динамических симметрий и построению обобщенных когерентных состояний [22−24], где показано наличие глубокой связи между типом алгебры наблюдаемых (динамической алгебры) и характером квазиклассического поведения. Алгебраический подход к анализу квантовых систем позволил получить ряд важных результатов, среди которых: классификация адронов по мультиплетам групп SU (3) и SU (6) [25], описание атома водорода на языке представлений группы 0(4,2) [26], введение обобщенных когерентных состояний в пространствах представлений различных динамических групп [23−24], описание явления кооперативного спонтанного излучения (сверхизлучения) с помощью когерентных состояний групп SU (2) [27, 28] и SU (n) [29, А2], и др. Его применение к системам со сложной иерархической структурой алгебры наблюдаемых (с включением в рассмотрение вопросов формирования режима когерентной динамики в микрои мезоскопических системах, декогерентизации и квантово-классического соответствия) можно отнести к актуальным и перспективным теоретическим подходам в физике наносистем и наноэлектронных устройств.

Протекание процесса декогерентизации в нелинейных квантовых системах, находящихся в состояниях, близких к состояниям классического движения, существенным образом зависит от характера когерентной динамики. В том случае, если движение в классическом пределе является сильно неустойчивым, происходит экспоненциальное нарастание флуктуаций, ведущее к быстрой потере когерентности. Моделируя динамику квантовой системы, находящейся в состоянии, близком к классическому, динамикой некоторой классической системы, возмущенной флуктуациями, можно воспользоваться методами теории динамического хаоса. Хаотизация движения в системах с детерминистическим движением в настоящее время изучена достаточно полно и глубоко [30−35]. Описание явления динамического хаоса в системах, для которых (вследствие классических флуктуации или квантового принципа неопределенности) само понятие фазовой траектории не имеет смысла, является, однако, несравненно более трудной задачей. В то же время следует отметить, что учет факторов любой природы, нарушающих детерминистичность движения, имеет принципиально важное значение, поскольку в системах с экспоненциальной неустойчивостью никакие возмущающие воздействия не могут считаться пренебрежимо малыми. Эта задача фактически эквивалентна задаче о преобразовании стохастического процесса нелинейной системой в самой общей постановке. Теория, описывающая общие закономерности таких преобразований, в настоящее время отсутствует. Традиционно в центре внимания находятся вопросы динамического обоснования статистической механики [36]. Результаты, полученные в этой области, и различные результаты для частных модельных систем не исчерпывают, однако, проблемы, оставляя широкое поле для дальнейших исследований.

В последние десятилетия компьютерные методы заняли ведущее положение среди различных методов изучения нелинейных явлений. Стремление к повышению эффективности исследований (проводимых обычно в условиях дефицита вычислительных ресурсов) породило методологию, в соответствии с которой всестороннему анализу подвергаются специально отобранные «базовыо модели», обладающие относительной простотой и при этом верно отражающие основные особенности реальных физических систем. Наибольшей ценностью обладают модели, анализ которых хотя бы частично может быть выполнен посредством аналитических методов. Формулирование таких моделей, а также выявление присущих им общих черт и поиск универсальных закономерностей — важные этапы работы, отвечающие современному подходу, при котором научно-исследовательская деятельность направлена на решение конкретных инженерно-конструкторских задач.

Цель работы. Диссертация посвящена теоретическому изучению нелинейных когерентных явлений, происходящих при взаимодействии излучения с веществом, с помощью аналитических и численных методов, включая анализ статистики квантовых флуктуаций и выяснение закономерностей динамики систем с неустойчивым движением при наличии флуктуаций. В работе преследовались две основные цели.

— Первая цель состояла в том, чтобы путем дальнейшего развития метода когерентных состояний создать формализм, позволяющий корректно описывать когерентную динамику атома (системы атомов), выполнять переход к классическому пределу и находить статистические характеристики квантовых флуктуаций для состояний, близких к классическим. Поставленная задача решалась для двух модельных систем — атома водорода и ансамбля многоуровневых молекул — посредством разложения пространств состояний по мульти-плетам динамических групп, введения обобщенных когерентных состояний и применения метода асимптотических оценок (метода перевала).

— Вторая цель — развить теорию динамического хаоса применительно к системам, допускающим переход к пределу сильного перемешивания, и дать строгое обоснование возможности введения для таких систем статистического описания. На различных этапах решения этой задачи: рассматривались конкретные физические системы с нелинейностью, обусловленной зависимостью параметра вращения от состояниясформулирована «базовая модель» и строго показано существование предела сильного перемешиваниявыяснена роль флуктуаций и рассмотрен (в модельном приближении) вопрос о преобразовании статистических свойств случайного процессаизучены фрактальные свойства возникающих вероятностных распределений и соответствующие законы самоподобия.

Сформулированные цели приводят к задачам, которые тесно связаны друг с другом, являясь различными аспектами единой актуальной проблемы формирования когерентности и декогерентизации при взаимодействии излучения с веществом. В частности, вывод о гауссовом характере квантовых флук-туаций играет фундаментальную роль при рассмотрении вопроса о пределе сильного перемешивания. Нелинейные системы, рассматриваемые в диссертационной работе, относятся к единому классу систем, в которых временные изменения происходят как обычные или обобщенные вращения (групповые преобразования). Таким образом, одна из целей, преследуемых в работе, состоит в разработке новых методов аналитического описания и численного анализа нелинейной динамики физических моделей, специфичных для спинтроники и оптроники.

Научная новизна диссертационной работы определяется перечисленными ниже оригинальными результатами, которые выносятся на защиту.

— Предложена конструктивная процедура, которая позволяет вводить различные полные наборы квазиклассических когерентных состояний атома водорода, соответствующие определенным схемам сужения на подгруппу динами-ческои группы, путем осуществления последовательности групповых преобразований (обобщенных «вращений») основного состояния или преобразований более общего типа Дана корректная формулировка правила перехода к классическому пределу. Найдены гауссовы асимптотические аппроксимации для волновых функций когерентных состояний, близких к классическим состояниям.

— Впервые определены и изучены когерентные состояния унитарных групп, получаемые посредством унитарных «вращений». С их помощью развит формальный аппарат, позволяющий при квантовомеханическом описании N-частичного ансамбля многоуровневых молекул переходить к «классическому» пределу jV -" оо и строить разложения по N'1 при jV 1. Даны теоретико-групповая интерпретация и статистическое описание процесса спонтанного распада кооперативных состояний, ассоциированного с нелинейной релаксацией классического многомерного («унитарного») дипольного момента. Показано, что при N 1 статистика квантовых флуктуаций является гауссовой.

— Выявлена глубокая общность, существующая между математическими моделями, описывающими динамику световой волны в кольцевом резонаторе, однородную диссипативную прецессию электронной и ядерной намагниченности в магнетиких и динамику коллективных колебаний в системе спиновых волн. Показано, что в условиях многоимпульсного возбуждения регулярные и хаотические колебания в этих системах могут быть описаны с помощью отображений с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенных отображений Икеды). Продемонстрирована эффективность применения метода отображений при численном моделировании на больших временных интервалах.

— Развит приближенный аналитический подход, который позволяет описывать тонкую структуру хаотических аттракторов, являющихся инвариантными множествами обобщенных отображений Икеды. Показано, что при определенных условиях многомерные отображения можно аппроксимировать одномерными. С помощью последних объяснен механизм бифуркаций «хаос-хаос» .

— Построена теория преобразования случайного процесса в системе с нелинейностью, описываемой отображением Икеды, и запаздыванием. Строго доказано существование динамического режима с сильным перемешиванием. Для случая сильного перемешивания развит метод расчета многоточечных корреляционных функций, описывающих результирующий случайный процесс. Исследован механизм флуктуационного «размытия» тонкой структуры хаотического аттрактора, ответственный за превращение детерминистического движения в «огрубленное» стохастическое.

— Обнаружены и изучены фрактальные закономерности в структуре стационарных (инвариантных) плотностей распределения, описывающих стохастический процесс в системе с запаздыванием и нелинейностью Икеды. Установлено, что плотности распределения могут быть представлены с помощью мультифрактальных интегралов. Показано, что наличие фрактальных и скей-линговых закономерностей в строении вероятностных распределений находит отражение в том, что характеристические функции удовлетворяют масштабирующему уравнению.

— Определены мультифрактальные интегралы 1-го и 2-го рода. Найдены условия их существования. Установлено наличие связи между интегралами по мультифракталам, обобщенными функциями специального вида и интегралами дробной кратности.

— Рассмотрена уточненная теоретическая модель вынужденного рассеяния света в кв&зистатическом режиме, в которой учтено выравнивание заселенностей уровней активной среды. Найдено точное решение нелинейных уравнений, позволившее объяснить явление насыщения вынужденного рассеяния, наблюдаемое экспериментально.

— Реализована динамическая адаптивная численная схема, основанная на использовании вейвлет-разложении, которая обеспечивает высокую эффективность при численном моделировании динамики хорошо локализованных объектов в нелинейных средах.

Практическая значимость работы. Различные формулировки квантовой механики, основанные на использовании с-числовых функций на фазовом пространстве (метод функций Вигнера, метод полевых и обобщенных когерентных состояний), находят широкое применение при рассмотрении вопросов квантово-классического соответствия. Новые типы когерентных состоянии, введенные в диссертационной работе, позволяют существенно расширить сферу практического применения этих методов. Создан вычислительный аппарат, базирующийся на применении асимптотических методов в теории представлений групп, который дает возможность находить физические величины в виде разложений по параметру близости к классическому состоянию (учет квантовых «поправок» в наинизшем порядке ведет к представлению о классическом движениии, возмущенном квантовыми флуктуациями). Область применения новых расчетных методов — это физика электронных устройств, основанных на использовании высоковозбужденных атомов и когерентно возбуждаемых сред. Данный подход может быть также распространен на другие ме-зоскопические наносистемы, и прежде всего на те из них, которые допускают теоретико-групповую трактовку.

Теоретические модели нелинейных систем с неустойчивым движением, рассмотренные в диссертационной работе (кольцевой резонатор, электронная и ядерная намагниченность в магнетиках), имеют реальные прототипы в спин-тронике и оптронике. Такие методы теоретического анализа, как переход к рассмотрению динамики отображений, аналитическое описание аттрактора, приближение многомерного аттрактора одномерным, анализ фрактальных свойств вероятностных распределений, являются практически полезными средствами интерпретации экспериментальных данных, обеспечивающими возможность количественного описания и качественного понимания наблюдаемых явлений. Из сделанных оценок следует, что режим сильного перемешивания, возмущенный флуктуациями, может наблюдаться в экспериментенекоторые результаты такого эксперимента позволяет предсказать развитая в работе статистическая теория.

Результаты, относящиеся к распределенным системам, ориентированы непосредственно на проведение экспериментальных исследований и численного моделирование. Дано объяснение экспериментально наблюдаемому явлению насыщения вынужденного рассеяния света. Создана и протестирована программа, практически реализующая адаптивную численную схему, базирующуюся на использовании вейвлетных преобразованияпродемонстрирована ее эффективность при моделировании динамики локализованных объектов.

Краткий обзор содержания диссертации. В первой главе (авторские работы [А6-А8, А14, А36, А38, А40, А41, А45]) сформулированы общие принципы построения квазиклассических когерентных состояний и реализация подхода в случае атома водорода — системы с известной динамической симметрией, являющейся к тому же точно решаемой моделью атомной физики. Раздел 1.1 является обзорным и содержит сведения, относящиеся к методу бозонных подстановок [37], методу функций на фазовом пространстве [38, 39] и методу когерентных состояний [21, 23, 24], которые используются в первой и второй главах. В разделе 1.2 определены обобщенные гипергеометрические когерентные состояния, образующие класс квазиклассических состоянии, включающии состояния Переломова, Барута-Джирарделло [24] как подклассы. Подробно рассмотрены предельные процедуры, соответствующие переходу к классическому пределу, и асимптотические формы представления состояний, близких к классическим. В разделе 1.3 описана структура динамической алгебры атома водорода [26] и сформулированы процедуры введения функций на фазовом пространстве, базирующиеся на бозонных подстановки. Для случая больших значений квантовых чисел найдены различные асимптотические формулы. В разделе 1.4 определен широкий класс когерентных состояний атома водорода, отвечающих различным схемам сужения на подгруппы ди-намическои группы. Когерентность движения проявляет себя как определенность положения плоскости эллиптической орбиты электрона, ориентации осей эллипса, положения электрона на орбите (когерентность в последнем смысле теряется со временем из-за расплывания волнового пакета). Найдены точные выражения для волновых функций когерентных состояний, а также гауссовы асимптотические оценки волновых функций для состояний, близких к классическим. Квадраты модуля таких функций являются хорошо локализованными волновыми пакетами, движущимися по классическим орбитам.

Во второй главе диссертации развиты с-числовые методы описания систем с унитарной динамической симметрией [А1-А5, А9, АЮ]. Особо обсуждается случай неприводимых пространств, имеющих большие (стремящиеся к бесконечности) размерности, который может трактоваться как квазиклассический. С помощью аппарата бозонных подстановок [37], функций на фазовом пространстве [38, 39] и операторов проектирования на неприводимые подпространства состояний в разделе 2.1 найдены дифференциальные реализации алгебры генераторов унитарной группы, позволяющие эффективным образом рассматривать вопросы квазиклассической асимптотики. В разделе 2.2 определены и изучены когерентные состояния унитарных групп. Показано, что формализм, связанный с применением этих состояний, совпадает с одной из форм метода функций на фазовом пространстве. Новые с-числовые процедуры применены в разделе 2.3 для расчета статистических характеристик поля кооперативного спонтанного излучения, порождаемого ./V-частичным ансамблем многоуровневых молекул. Эта система в классическом пределе N оо описывается многомерным («унитарным») дипольным моментом, движущимся когерентното, что N конечно, проявляет себя при N 1 как дополнительный «квантовый шум». Кинетика спонтанного распада при N > 1 описывается уравнением фоккер-планковского типа, полученным в разделе 2.4. Для начального состояния молекул, близкого к полной инверсии заселенностей, в разделе 2.5 показано, что «квантовый шум» имеет нормальное распределение (квантовая центральная предельная теорема). Квазиклассическое поведение коэффициентов векторного сложения, записанных в базисе когерентных состояний, кратко обсуждаются в разделе 2.6.

Третья, четвертая и пятая главы посвящены теоретическому исследованию нелинейных радиофизических систем, в которых декогерентизация обусловлена неустойчивым характером динамики и наличием флуктуаций. Поле и поляризация среды считаются при этом классическими (с-числовыми) величинамипринимается, как некоторое приближение, что для учета проявлений квантового принципа неопределенностей достаточно учесть флуктуации. Поскольку процесс декогерентизации в системах с неустойчивой динамикой тесно связан с динамической стохастизацисй (хаотизацией) движения, в этой части диссертации широко применяются методы и понятия теории динамического хаоса.

В третьей главе рассмотрены конкретные системы и выявлены случаи, когда физически обоснованным образом может быть произведен переход от непрерывной динамики к динамике отбражений [А13, А16-А20, А22-А29]. Различные проявления эффекта хаотизации изучаются численными и аналитическими методами, преимущественно в рамках динамики отображений. Обзорный раздел 3.1 содержит различные сведения из нелинейной динамики [30−35], используемые далее в третьей, четвертой и пятой главах. В разделе 3.2 сформулированы теоретические модели, описывающие динамику света в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом [40], отвечающие различным предположениям и приближениямнайдены соответствующие динамические отображения. Развит приближенный аналитический подход, позволяющий описывать форму хаотического аттрактора и сводить отображение к одномерному. Численно исследованы бифуркационные явления, связанные с перестройками многокомпонентных хаотических аттракторов, и предсказана возможность возникновения автоволны перехода «хаос-хаос». Показано, что внешний «шум» может существенным образом изменять характер хаотического движения. В разделе 3.3 рассматривается хаотизация пространственного движения ядерной намагниченности в магнитоупорядоченном кристалле [41]- предполагается наличие блоховской релаксации и динамического сдвига частоты, порожденного сул-накамуровским взаимодействие. Далее, в разделе 3.4, обсуждается простая модель, описывающая хаотизацию коллективных колебаний в системе параметрически возбужденных спиновых волн в магнетиках [42]. Важный вывод, следующий из результатов, полученных в разделах 3.2−4, состоит в том, что динамические отображения, описывающие далекие по своей природе физические явления, относятся к единому классу нелинейных отображений — отображениям с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенным отображениям Икеды). Выбирая одно из таких отображений в качестве «базовой модели», мы разовьем на его основе статистическую теорию хаоса в системе с флукту-ациями (главы 4,5). В разделе 3.5 изучается динамика однородной намагниченности в анизотропном ферромагнетике, описываемая уравнением Ландау — Лифшица [43]. В такой системе диссипация является нелинейнойсоответствующее динамическое отображение, не входящее в класс отображений типа Икеды, представляет из себя их дальнейшее обобщение Путем выполнения численного анализа установлены некоторые бифуркационные процессы, ведущие к хаотизации движенияв частности, найдены условия реализации сценария Фейгенбаума.

Типичный фазовый портрет нелинейной системы с диссипацией, отвечающий хаотическому режиму движения, является сложным структурным образованием, состоящим из самоподобных аттракторов (репеллеров), устойчивых и неустойчивых периодических (квазипериодических) траекторий и других элементов. Малые флуктуации превращают детерминистический процесс в случайный и «размывают» тонкую структуру самоподобных множествпри этом основные черты турбулентного движения, наблюдаемые на макроуровне, могут оставаться неизменными. Численное моделирование, однако, показывает, что при определенных условиях случайное возмущение способно полностью разрушить сложную структуру хаоса, порождая движение, допускающее простое статистическое описание. Такое поведение характерно для систем с сильным (быстрым) перемешиваниемк ним, в частности, относятся отображения типа Икеды при некоторых значениях управляющих параметров. В четвертой главе, посвященной изучению режима движения с сильным перемешиванием, рассмотрена (в качестве «базовой модели») простая система с запаздывающей обратной связью, описываемая отображением Икеды [А18-А21, А23, А25, А32-А34, А43]. В разделе 4.1 представлена статистическая теория для случая флуктуаций, имеющих время корелляции, существенно меньшее времени запаздывания. Дан детальный анализ механизма «огрубления» картины движения «шумом». Найдены различные выражения, описывающие стационарное (инвариантное) распределение в фазовом пространстве, соответствующее пределу сильного перемешивания. В разделе 4.2 получено аналитическое выражение для максимального показателя Ляпунова при сильном перемешивании. В разделе 4.3 статистическая теория обобщена для случая флуктуаций с произвольным временем корреляции. Для двух моделей статистики флуктуаций, возмущающих хаотическое движение — гауссовского марковского стационарного случайного процесса (процесса Орнштейна — Уленбека) [44] и обобщенного телеграфного марковского случайного процесса (процесса Кубо — Андерсена) [45] - найдены выражения для произвольных многоточечных характеристических и моментных функций, описывающих результирующий случайный процесс при сильном перемешивании. В разделе 4.4 найдено стационарное решение точного конечно-разностного стохастического уравнения в форме разложения по степеням параметра, имеющего смысл меры уклонения от состояния с полным перемешиванием фазы. Дано доказательство сходимости, чем строго обосновано приближение сильного перемешивания. Сформулирована процедура перехода к недетерминистическому описанию, состоящая во введении малого случайного (гауссова) возмущения с амплитудой, устремляемой к нулю после предела сильного перемешивания. Отмечено, что эта процедура формально аналогична процедуре отбора запаздывающих решений, производимого путем введения добавок, нарушающих временную симметрию, и устремления их к нулю после термодинамического предела В разделе 4.5 рассмотрен хаос с сильным перемешиванием, возникающий при движении ядерных спинов, которое описывается трехмерным отображением (см. раздел 3.3).

При движении с сильным перемешиванием фрактальная структура хаотического аттрактора оказывается разрушенной. Тем не менее обнаруживается, что стационарные плотности распределения, возникающие в этом случае, некоторым образом связаны с распределениями на фрактальных носителях — муль-тифракталами [46]. Механизм формирования самоподобных структур, реализующийся в данной ситуации, коренным образом отличается от того, который ответственен за фрактальную структуру хаотических аттракторов. Будучи никак не связанным с деформациями типа отображения Смеила и гомокли-ническими структурами, он обусловлен исключительно наличием диссипации и запаздывания. Фрактальные объекты нового типа и методы их описания изучены в пятой главе [АЗО, А31, А35, А37, А39]. В разделе 5.1 определены интегралы по мультифракталам и выявлена их связь с инвариантными распределениямии диссипативных случайных отображений. Показана необходимость выхода за пределы обычного класса вероятностных мультифракталь-ных мерв связи с этим определены мультифрактальные интегралы 1-го и 2-го рода. В разделе 5.2 найдены условия существования интегралов обоих типов. В разделе 5.3 рассмотрены особенности структуры фрактальных носителей при различных значениях параметра диссипации. В разделе 5.4 показано, что стационарные плотности распределений, возникающие в случае движения с сильным перемешиванием, удовлетворяют двухмасштабному разностному уравнению (уравнению дилации). Последнее аналогично уравнению, вводимому в кратномасштабном (вейвлетном) анализе [47]. Также показано, что интегралы по мультифракталам связаны с финитными сингулярными обобщенными функциями специального вида и с процедурой дробного интегрирования. В разделе 5.5 обсуждаются вопросы визуализации фрактальной структуры с помощью веивлетограмм.

Шестая глава диссертации посвящена вопросам моделирования нелинейной динамики локализованных образований в когерентных средах с диссипацией, взаимодействующих с внешними полями [All, А12, А15, А42, А44]. В разделе 6.1 представлена теория вынужденного комбинационного рассеяния в квазистатическом режиме [48], учитывающая изменение разностей заселенно-стей уровней молекул. Рассмотрен метод решения уравнений движения с помощью линеаризующей замены переменных, а также решения в виде уединенных волн, получаемые с помощью автомодельной замены. В разделе 6.2 сформулирована динамическая адаптивная численная схема, основанная на использовании вейвлет-разложений [47] и позволяющая осуществлять компьютерное моделирование динамики уединенных (локализованных) объектов. Приведены результаты решения тестовой задачи, свидетельствующие об эффективности данного метода.

Апробация работы. Основные материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, совещаниях, школах и семинарах: X Уральском совещании по спектроскопии (Свердловск, 1980) — II Семинаре по математическим методам в нелинейной оптике (Красноярск, 1983) — III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии (Харьков, 1984) — I Всесоюзном семинаре «Сильные оптические нелинейности» (МГУ, Москва, 1988) — II и III Всесоюзных и IV Международной школах «Стохастические колебания в радиофизике и электронике» (Саратов, 1988, 1991, 1994) — XX Всесоюзном семинаре по спиновым волнам (Ленинград, 1990) — XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений (Ташкент, 1991) — XXVII Конгрессе AMPERE «Магнитный резонанс и связанные с ним явления» (Казань, 1994) — Международной конференции по магнетизму ЮМ (Польша, Варшава, 1994) — Семинаре «Синергетика» (МГУ, Москва, 1995) — Международной конференции «Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах» (Москва-Суздаль, 1995) — Международной конференции по нелинейности, бифуркациям и хаосу: Двери в будущее (Польша, Лодзь, 1996) — VIII Международном симпозиуме по нелинейным электромагнитным системам (Германия, Брауншвейг, 1997) — XX Международной конференции IUPAP по статистической физике STATPHYS 20 (Франция, Париж, 1998) — Международном Евро-Азиатском симпозиуме по магнетизму EASTMAG-2001 (Екатеринбург, 2001) — VI Международной школе по хаотическим осцилляциям и структурообразованию (Саратов, 2001) — XXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-2002» (Екатеринбург-Пермь-Кунгур, 2002) — Международной конференции по теоретической физике (ТН-2002) (Франция, Париж, 2002) — V Международном конгрессе по математическому моделированию (V ICMM) (Дубна, 2002) — V международной конференции «Симметрия в нелинейной математической физике» (Украина, Киев, 2003) — семинарах в Физическом институте РАН (Москва), Институте физики АН Украины (Киев), Казанском физико-техническом институте РАН (Казань), Московском государственном университете (Москва), Институте радиотехники и электроники РАН (Москва), Институте физики металлов УрО РАН (Екатеринбург).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 45 работ. Основные результаты изложены в 25 статьях, опубликованных в рецензируемых периодических изданиях и трудах конференций.

Достоверность результатов, полученных в диссертационнои работе, обеспечивается использованием твердо установленных физических уравнений, строгим обоснованием математических процедур, используемых при их решении, сравнением результатов, полученных аналитическими и численными методами, анализом предельных случаев и асимптотик.

Личный вклад автора. Часть результатов вошла в кандидатскую диссертацию Б. Я. Рубинштейна, научными руководителями которой являлись автор данной диссертационной работы и В. В. Дякин. Работы, посвященные динамическим явлениям при вынужденном рассеянии света, были выполнены совместно с группой сотрудников Оптической лаборатории Физического института РАН (рук. группы А. И. Соколовская) — автором диссертации создана теоретическая модель, объяснившая явление насыщения. Компьютерная программа на базе вейвлет-алгоритмов была реализована и протестирована студентами УГТУ-УПИ Р. Н. Ахмадуллиным, Э. М. Вазиевым, работавшими под руководством автора. Во всех работах, выполненных в соавторстве, автор участвовал в постановке задач, проводил теоретические и численные расчеты, обсуждал и излагал результаты исследований.

Работа выполнялась в Уральском государственном техническом университете (УПИ), при частичной поддержке грантами РФФИ (93−02−2011 и 97−226 727) и грантом Конкурсного центра фундаментального естествознания при СПбГУ (95−0-8 3−14).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка из 394 наименований Полный текст диссертации составляет 349 страниц, включая 53 рисунка и 3 таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Успех всякого теоретического исследования обеспечивается наличием математического аппарата, дающего возможность сформулировать адекватную модель изучаемого явления По этой причине усилия, направленные на разработку формальных подходов и привлечение новых математических идей, являются важной и практически полезной составляющей научных исследований. В результате этой деятельности расширяется круг задач, поддающихся анализу, а также происходит развитие понятийного аппарата (в недавнем прошлом именно таким образом возникли представления о солитонах, хаотических аттракторах, диссипативных структурах и проч).

Методы квантовой теории возмущений, использующие малость энергии взаимодействия подсистем и представление о переходах между собственноэнерге-тическими состояниями, отвечают слабовозбужденным системам, допуская их описание в линеином приближении, либо с учетом некоторых частных типов не-линейностей Для описания нелинейной динамики сильновозбужденных систем, обусловленной многоквантовыми процессами, оказались более пригодными различные полуи квазиклассические подходы Вследствие этого не теряет актуальности вопрос о том, как классическое описание получается из квантового. Исследования в этой области имеют многолетнюю историю (метод ВКБ и локализованные волновые пакеты, впервые изучавшиеся Шредингером [19], функция Вигнера [20, 65], полевые КС [68−70], обобщенные КС [23, 24, 28, 98, 99]) — связь между различными формализмами и современное сосюяние проблемы обсуждаются в первой и второй главах настоящей работы. В разное время эти исследования были сфокусированы на различных актуальных направлениях, среди которых особое место занимает нелинейная оптикав настоящее время к перспективным направления можно отнесги квантовую теорию наносистем.

Результаты, полученные в первой и второй главах диссертации, вносят определенный вклад в исследования, посвященные вопросам квантовоклассического соответствия, и в развихие соо1ветствующих формализмов. На основе теоретико-группового подхода для двух модельных систем — атома водорода (динамическая группа SO (4,2)) и ансамбля многоуровневых молекул (динамическая группа U (n)) — определены обобщенные КС и развит расчетный аппарат, использующии метод функции на фазовом ирос1ранстве С помощью операций, не сводящихся к групповым преобразованиям, построены обобщенные гипергеометрические КС. Рассмотрены различные математические реализации процедуры перехода к классическому пределу. Для фазовых функций, представляющих операторы наблюдаемых, найден способ получения разложений «в окрестности» предельного классического состояния. С помощью асимптотических методов (типа метода перевала) показано, что «неклассичности» в наинизшем порядка отвечает нормальный (гауссов) «квантовый шум». Расчетные методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы в теории сверхизлучения, а также при теоретическом изучении динамики рид-берговских атомов и квантовых наносистем. Метод построения КС атома водорода, учитывающий структуру цепочек сужения на подгруппу динамической группы, может быть адаптирован и распространен на другие системы с динамической симметрией.

В уравнениях (полу)классической теории (фактически являющихся уравнениями для квантовых средних) эффекты квантовых флуктуации обычно не учитываются, что вполне оправдано при изучении регулярных и устойчивых режимов движения. В системах с неустойчивым движением происходит усиление флуктуаций, так что результаты, получающиеся в рамках детерминистической и стохастической моделей, могут существенно различаться. Задача учета квантовых флуктуации является частным случаем общей задачи описания стохастической динамики в системах с неустойчивым движением.

Третья, четвертая и пятая главы диссертационной работы посвящены этой проблеме. В третьей главе рассмотрены различные радиофизические модели, описываемые конечно-разностными уравнениями, имеющими вид отображений с нелинеиными вращениями (обобщенных отображений Икеды). Охватывая весьма широкий круг радиофизических явлении, эти модели в то же время достаточно просты и допускают глубокий теоретический анализ. В четвертой главе показано, что при определенных значениях параметров, соответствующих пределу сильного перемешивания, хаотическое движение в рассматриваемых системах допускает простую (татистическую ишернрсчацию Развит формальный аппарат, позволяющий описывать хаотическую динамику в пределе и «в окрестности» предела сильного перемешивания Показано, что при сильном перемешивании сколь угодно малое флуктуационное возмущение превращает детерминистическую динамику в случайный процесс, описываемый в приближении «случайных фаз». В пятой главе диссертации определены интегралы по фрактальным носителям и проанализирована фрактальная структура вероятностных распределении, описывающих движение с сильным перемешивание. Полученные результаты, имея непосредственное практическое применение, могут в то же время рассматриваться как определенный вклад в обоснование статистической физики (уместна параллель с работами, посвященными вопросам эргодичности движения и детерминистической диффузии в системах классической механики — в частности, в газе Лоренца [36, 273−289]).

Методы, позволяющие описывать системы с сосредоточенными параметрами, могут быть распространены на распределенные системы, если ограничиваться рассмотрением объектов, состояния которых задаются конечным числом переменных К таким объектам относятся, в частности, нелинейные волны (включая автоволны) и пространственно-локализованные структуры. Значительный интерес представляют точно решаемые модели (в особенности в случае диссипативных сред, когда общие подходы типа метода обратной задачи неприменимы) Наличие пространственной локализации позволяет также рационализировать расчетные схемы при численном моделировании.

В шестой главе показано, что уравнения, описывающие BP света в квазистатическом режиме в условиях изменения заселенностей молекулярных уровней, могут быть сведены к точно решаемым, а также имеют решения в виде уединенных волн. Здесь же рассмотрен метод численного моделирования динамики локализованного объекта, основанный на применении метода вейвлет-разложений.

В заключение автор выражает глубокую признательность А. Б. Борисову, Б. Н. Филиппову, В. Л. Сафонову, А. И. Соколовской, и в особенности Б. Я. Рубинштейну, за плодотворное сотрудничество, помощь и поддержку.

СПИСОК АВТОРСКИХ ПУБЛИКАЦИЙ.

А1. Зверев В. В., Показаньев В Г., Ялышев Ю. И. Метод функциональных эквивалентов в теории углового момента // Теоретическая и математическая физика. — 1975. — Т.25. — N1. — С.97−107.

А2. Зверев В. В. Унитарная динамическая симметрия в системе сверхизлу-чающих молекул и классический предел // Теоретическая и математическая физика. — 1976. — Т.29 — N3. — С 401−410.

A3. Зверев В. В. Дифференциальные уравнения спиновой динамики и асимптотическое разложение квантовых средних вблизи классического предела III. // Известия высших учебных заведении. Физика. — 1977 — N4. — С.142−148.

А4. Зверев В. В. К расчету равновесных средних в системе молекул, взаимодействующих с полем излучения // Теоретическая и математическая физика. — 1977. — Т.32 — N3. — С 410−415.

А5. Зверев В. В. Теоретико-групповой подход к задачам импульсной спектроскопии // Тезисы к докладу на X Уральс ком с овещании, но спектроскопии. Свердловск, 1980.

А6. Зверев В. В. Применение метода функциональных эквивалентов к системам, обладающим динамической симметрией I. // Депонировано в ВИНИТИ, per N5350−80. Реферат в журн. «Изв вузов. Физика.» — 1981. N2.

А7. Зверев В. В. Применение метода функциональных эквивалентов к системам, обладающим динамической симметрией II. // Депонировано в ВИНИТИ, per. N5354−80. Реферат в журн. «Изв. вузов. Физика.» — 1981. N2.

А8. Зверев В. В., Рубинштейн Б. Я Когерентные состояния атома водорода. // Краткие сообщения по физике ФИАН — 1982 — N11. — С 3−6.

А9. Зверев В. В. Метод расчета статистических характеристик поля сверхизлучения, порождаемого ансамблем многоуровневых молекул. // Оптика и спектроскопия. — 1983 — Т.54 — N5. — С.733−736.

А10. Зверев В. В. Управляющее уравнение сверхизлучеиия для системы многоуровневых молекул // Оптика и спектроскопия — 1983. — Т.54 — N6. -С.987−992.

All. Окладников Н. В., Зверев ВВ, Бреховских ГЛ, Соколовская А. И. Насыщение интенсивности ВКР в квазистационарном режиме // Квантовая электроника — 1984. — Т.П. — NG — С.1105−1112.

А12. Зверев В. В, Рубинштейн Б Я Особенности динамики насыщения ВКР в квазистационарном режиме // Тезисы к докладу на III Всесоюзнм симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии. Харьков, 1984. — С.86.

А13. Зверев В В, Рубинштейн Б Я. Оптическая мультистпабильность, обусловленная бифуркациями хаоса в системе с запаздывающей обратной связью. // Тезисы к докладу на III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии. Харьков, 1984 — С. 85.

А14. Зверев В. В., Рубинштейн Б Я. Возонная реализация динамической симметрии и когерентные состояния атома водорода // Депонировано в ВИНИТИ, N2125−85 Реферат N37 в сб «Депонированные научные работы». -1985. — N7.

А15. Brekhovskikh G.L., Zverev V V., Okladnikov N.Y., Sokolovskaia A.I. The energy saturation of the stimulated Raman scattering m quasi-stationary regime and phase conjugation. // Optics communications — 1985 — V 53 — N1. — P.59.

A16. Зверев В В О периодической и хаотической автомодуляции излучения в кольцевом резонаторе с нелинейной средой, возбуждаемой частично когерентным сигналом // Оптика и спектроскопия. — 198G. -Т.61. — N1. -С.141−143.

А17 Зверев В. В, Рубинштейн Б. Я. О мультистабильностпи, обусловленной перестройками хаоса, в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом. // Оптика и спектроскопия. — 1987 — Т 62. — N4 — С 872−877.

А18. Зверев В В, Рубинштейн Б Я Хаотическая автомодуляция излучения в кольцевом резонаторе. Случай сильного перемешивания. // Оптика и спектроскопия. — 1988. — Т.65. — N4 — С.971−978.

А19 Зверев В В, Рубинштейн Б Я Автостохастичность и преобразование флуктуаций в простой нелинейной системе с запаздыванием // Препринт ИФМ УрО АН СССР, Свердловск, 1989 — 22с.

А20. Зверев В. В., Рубинштейн Б Я. Автостохастичность и преобразование флуктуаций излучения в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом.

11 Оптика и спектроскопия — 1991 — Т 70 — N6. — С 1305—1311.

А21. Zverev V.V., Rubinstein В Ya. Chaotic oscillations and noise transformations m a simple dissipative systt m with delayed feedback // Journal of Statistical Physics — 1991. — V63 — N. l/2. — P 221−239.

A22. Борисов, А Б, Филиппов Б. Н., Зверев В. В, Рубинштейн Б Я Хаотическая динамика в ферромагнитном резонансе. // Тезисы к докладу на XIX Всесоюзной конференции по физике магии: пых явлений. Ташкент, 1991. -С.182.

А23. Зверев В В О динамической стохастизации движения ядерной намагниченности в ферромагнетике при наличии релаксации, j j Тезисы к докладу на XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений. Ташкент, 1991. — С 191.

А24 Borisov, А В, Filippov В N., Zverev V. V, Rubinstein В Ya On the magnetization chaotic dynamics in the ferromagnetic resonance region // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1992. — V.110 — P.202−208.

A25. Зверев В. В. О возникновении хаотического аттрактора при движении ядерных спинов в ферромагнетике. // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика — 1993. — Т.1. — N½. — С 72−82.

А26. Zverev V.V. Stationary chaotic motion in nonlinear N MR in ferromagnets. // Extended abstracts of the XXVIl" 1 Congress AMPERE «Magnetic resonance and related phenomena». Kazan, 1994. — V.l. — P.278−279.

A27. Safonov V.L., Zverev V.V. Chaotic dynamics of parametrically excited spin waves, j j Extended abstracts of the XXVII" 1 Congress Ampere «Magnetic resonance and related phenomena». Kazan, 1991 — V 1 — P259−260.

A28. Зверев В. В, Сафонов В JI. Динамический хаос коллективных колебаний в магнетиках. // Физика твердого тела — 1994. — Т.36. — N7. С. 1939;1949.

А29. Safonov V. L, Zverev V.V. Chaos in a system of parametric spin waves under modulation of their spectrum j j Abstracts of International Conference of Magnetism. Poland, 1994. — P 348.

A30. Зверев В. В. Фрактальная структура инвариантных распределений диссипативных случайных отображений. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. З — N4 — С 62−72.

А31. Зверев В. В. Об условиях существования интегралов по фрактальным носителям, j j Теоретическая и математическая физика. — 1996. — Т. 107. — N1.

— С 3−11.

А32. Zverev V. V Chaos an transformations of stochastic processes in nonlinear stjstems with intensity depenent phase rotations // Proceedings of International conference on nonlineanty, bifurcation and chaos. The doors to the future Poland, 1996 — P.260−263.

A33. Zverev V.V. Modelling of chaos and noise conversion in magnetic systems by means of maps with nonlinear rotations. // Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics, V.13. / Non-linear Electromagnetic Systems, Eds V. Kose, J.Sievert. IOS Press, 1998 — P 139−142.

A34. Zverev V.V. Analytical descriptions of nonlinear noisy maps by asymptotic expansions with respect to the mixing parameter. // Abstracts of XXt/l IU-PAP International conference on statistical physics Unesco, Pans, 1998 — P.33. -T1446-P005/109.

A35. Zverev V.V. On the fractal domain integrals associated with invariant random processes of noisy dissipative maps. // Abstracts of XXth IUPAP International conference on statistical physics. Unesco, Paris, 1998 — РЗЗ. -T1445-.P005/110.

A36. Zverev V.V. Semiclassical description of quantum systems by means of hypergeometric coherent states. // Abstracts of Euro-Asian symposium «Trends in magnetism». Ekaterinburg, 2001. — P345.

A37. Zverev V.V. The fractal domain mtergals associated with noisy dissipative maps II Abstracts of 6″ ' International school on chaotic oscillations and pattern formation. Saratov, 2001. — P.47.

A38. Zverev V.V. Semiclassical description of nonlinear quantum systems by means of hypergeometric coherent state a // Abstracts of 6th International school on chaotic oscillations and pattern formation Saratov, 2001. — P48.

A39. Зверев В. В., Залазинский А. Г, Новожонов В. И., Поляков А. П. Применение вейвлетного анализа для идентификации структурно-неоднородных деформируемых материалов. // Прикладная механика и техническая физика.

— 2001. — Т.42. — N2. — С 199−207.

А40. Зверев В. В. Когерентные состояния и хаотическая динамика квантовых систем. // Тезисы к докладу на XXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-2002». Екатеринбург-Пермь-Кунгур, 2002. -С.207−208.

А41. Zverev V.V. Generalized hypergtomelric coherent stales and semiclassical wave packets for the Hydrogen atom. // Abstracts of International congress of theoretical physics (TH-2002). Unesco, Paris, 2002.

A42 Akhmadullin R N., Fihppov В N., Vaziev E.M., Zverev V.V. Numerical simulations of the domain walls motion in magnetics based on pseudo-wavelet schemes. // Abstracts of V International congress on mathematical modeling (V ICMM) Dubna, 2002.

A43. Zverev V.V. Noise transformation m nonlinear system with intensity dependent phase rotation. // Stochastics and Dynamics — 2003 — V 3. — N4 -P.421−433. (nlin. CD/211 014).

A44. Ахмадуллин P.H., Вазиев Э. М., Зверев В. В., Филиппов Б Н Численное моделирование движения доменных стенок в магнетиках на основе вейвлет-ных алгоритмов. // Физика металлов и металловедение — 2003 — Т.96. — N3. -С.255−263.

А45. Zverev V.V., Rubinstein B.Ya. Dynamical symmetries and well-localized hydrogenic wave packets. // Proc. of Institute of mathematics of NAN of Ukraine. Kiev, 2004. — V.50. — Part 2. — P.1018−1023. (quant-ph./310 103).