Алгоритмы вычисления цилиндрических функций Бесселя и их нулей в комплексной области

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенна из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики (см., например [39], [40], [55] [7б]) встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью. В большинстве опубликованных работ, посвященных вычислению функций Бесселя, рассматривались случаи, когда: а) индекс и аргумент принимают действительные значенияб) индекс принимает целые или действительные значения, а аргумент — комплексные значенияв) индекс принимает чисто мнимые значения, а аргумент — действительные значения. При этом применялись различные методы вычислег-ния: разложения в ряды [47, с.375], рекуррентных соотношений [27], [70], [71J, [46], квадратурных формул [61], [5ч], [60], [66], [43], [51], [53], [29], [44], [8l], а также другие методы аппроксимации [22], |~60] .

Для общего случая, когда индекс и аргумент принимают комплексные значения, опубликована работа [7], в которой применяется метод перевала к интегралу Сонина-Зоммерфельда для бесселевых функций [21]. Однако реализация этого метода оказалась довольно сложной, а основанная на нем ФОРТРАН-программа работает очень медленно и имеет небольшую точность.

Укажем также следующие работы, в которых изложены алгоритмы или содержатся программы: работа [зо] содержит программу на языке АЛГОЛ для вычисления функций Бесселя и %L (2.) при комплексном i — алгоритм основан на разложении в ряды и на квадратурных формулахв [77] содержится ФОРТРАН-программа для вычисления функций J Щ и J ^ (2) при целых уи и комплексных? — алгоритм основан на рекуррентных соотношенияхв [26] приводится алгоритм и краткое описание ФОРТРАН-программы для вычисления функций, Y^ fe), Н^ ,

Н^ С^) «при целых /и и комплексных g

При практической реализации тех или иных алгоритмов на ЭВМ оказывается, что в различных областях изменения аргумента и индекса приходится использовать различные методы. Поэтому разумная комбинация этих методов и выяснение областей их оптимальной применимости является важной задачей при вычислении функций Бесселя.

Помимо самих функций Бесселя и их производных во многих задачах механики, физики и др. используются нули этих функций. Во многочисленных работах, посвященных нулям функций Бесселя, в основном исследовались и вычислялись вещественные нули (см., например, [18], [28], [49], [69], [82]). Однако в ряде прикладных задач (например, в задачах о конформных отображениях, осуществляемых при помощи функции Бесселя У у (%) (см. [56]) возникает необходимость в вычислении мнимых нулей.

Нули функций Бесселя, Yy (?) >^СЮ > nf (z) и их производных довольно часто возникают в задачах механики, решаемых методом интегрального преобразования Лапласа. Достаточно сослаться на некоторые задачи об обтекании тел в сверхзвуковой аэродинамике [59], [75J, об устойчивости атмосферных течений [8], [32], в теории — дифракции волн [5], [21] и др.

Впервые обстоятельному исследованию комплексных нулей функции (5) посвятил свою работу [52] немецкий математик

— б

Гурвиц. Он предложил общий метод исследования нулей заданной аналитической функции, применил его к функции %) и доказал теорему о числе и расположении мнимых нулей функции .

Применяя другой метод, к аналогичным результатам пришел англичанин Макдональд [64]. В дальнейшем довольно громоздкие доказательства Гурвица были сильно упрощены и дополнены (см. [82, 0. 483], [57], [68]). /

Исследованию нулей производной (%} посвящена работа [57J, в которой доказывается теорема о числе мнимых нулей функции (%) — в этой работе впервые поднимается вопрос о существовании двойных нулей функции Jj (%)

Исследованию мнимых нулей функции Y^ (2-J при целом fy посвящены работы [50 J и [73] - в последней кроме качественного исследования нулей содержатся асимптотические разложения при больших И/, позволяющие вычислять с небольшой точностью эти нули. ^

Среди работ, посвященных нулям функций Hj fe) следует отметить [65J, [82], [9], [l2], [4l], [42], [б2]. Основополагающей здесь является работа Макдо-нальда [65J, в которой он исследовал нули в области^ не связанные с существенно особой точкой оо. В [82, с. 511] Ватсон продолжил эти исследования в область — Kfo ^ OA^'k ± Я 2С .

Что касается работ, посвященных вычислению мнимых нулей, то их, по-видимому, очень мало. В препринтах [3], [4], используя методы теории функций и известное разложение в цепную дробь отношения функций Бесселя, вычисляются мнимые нули функции У,), однако результаты вычислений приведены только в виде графиков.

В работах [37], [67J, подтверждая гипотезу Лензе [57J о существовании двойных нулей, вычисляются двойные нули функции с высокой точностью.

В [36] приведены первые 50 мнимых нулей функций Y^ (it) и Н^ с Ю дес. зн. для YU = 0 и I, вычисленные методом обратной интерполяции.

В работах [58J и [74] методом двумерной интерполяции вычислены комплексные нули функции %-уи (%) при Hs =2(1)10.

Однако в этих работах не проведено обстоятельное теоретическое исследование поведения нулей и не содержатся надежные методы выбора начальных приближений к нулям. Необходимость такого выбора вызвана сложностью поведения исследуемых функций вблизи мнимых нулей и, как следствие этого, расходимостью итерационного метода Ньютона при плохой начальной аппроксимации нуля.

Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов вычисления с большой точностью мнимых нулей всех цилиндрических функций Бесселя и их производных, когда индекс принимает вещественные значения. Предложенный подход позволяет аналитически оценивать все комплексные нули и выяснять закономерности их расположения, а также получать числовые значения нулей с высокой точностью. Построенный алгоритм основан на применении итерационного метода Ньютона, начальные приближения для которого находятся из приближенного решения некоторых трансцендентных уравнений.

Поскольку для применения метода Ньютона требуются вычисления функций Бесселя и их производных в комплексной области, а соответствующие для наших целей алгоритмы отсутствуют, то пришлось разработать и такие алгоритмы, о которых более подробно будет сказано ниже. Все разработанные алгоритмы реализованы в виде программ на языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-б, по ним проведены многочисленные вычисления.

Переходим теперь к более детальному изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена построению алгоритмов вычисления всех рассматриваемых функций Бесселя в комплексной области. На основе комбинации методов разложения в ряды, рекуррентных соотношений и асимптотических разложений строятся устойчивые алгоритмы вычисления этих функций с высокой точностью. При этом исследуются вопросы не только теоретической, но и практической сходимости известного метода рекуррентных соотношений, а также предлагается некоторая его модификация, позволяющая несколько ускорить соответствующие вычисления.

В последнем параграфе первой главы приводятся некоторые необходимые известные результаты из теории функций Бесселя. Здесь же приведены новые асимптотические формулы для функций Бесселя и их производных, которые в дальнейшем играют важную роль при вычислении нулей. Численная проверка этих формул показывает, что в определенных областях изменения аргумента и индекса эти формулы довольно хорошо приближают значения самих функций.

Во второй главе исследуются комплексные нули функций Бесселя, Ij (Зг) и их производных. Находятся приближенные формулы, позволяющие вычислять все комплексные нули функций

Зг) и Ij (&), Кг ??0 — строятся траектории в виде «лепестков») движения нулей при изменении V — устанавливаются свойства расположения этих нулей на" глазообразной" кривой и чередования нулей функций и их первых производных и др. По разработанным алгоритмам вычислена таблица большого числа нулей с 8 дес. зн., часть из которых приведена в диссертации.

В § 3 главы 2 исследуются двойные нули первой, второй и третьей производных функций С/у и I j (%), Показано, что на каждом единичном интервале изменения (-п-19 — faj «= 1,2 ., в правой ^ -полуплоскости существует по одному двойному нулю функций 4 (ги Il (Zr) и по два двойных нуля функций ^ и j’y (zj. Вычислены и приведены по 100 первых двойных нулей этих функций с 8−9 дес. зн. и построены диаграммы образования и распада этих нулей. Показано, что для значений индексов в точках двойных нулей имеет место свойство стремления их дробных частей к определенным пределам.

В главе 3 исследуются нули функции Неймана Ytf (gj и ее производной. В §§ I и 2 исследуются мнимые нули функции и ее производной в случае ^7/0. Так же как и для функции ^ fej показано, что нули определенным образом связаны с двумя особыми точками % ~ 0 и? = с*?, и при увеличении ^ происходит постепенный переход нулей из области > 9 в область |j?| ^ 9 • Находятся аппроксимации нулей, строятся траектории их движения при изменении и приводятся таблицы первых 5 мнимых нулей функций Y^ и Y^ (%) с 8 дес. зн. для) = 0(1)5.

В §§ 3 и 4 исследуются нули функций Y^ (%) и Y } при ^ ^ 0. Показывается, что при уменьшении)) нули в области 2: движутся по лепесткам, аналогичным лепесткам нулей функций ^ (i) и^Уу (%:), а в области > —удаляются от начала координат некоторым немонотонным образом. Приведены траектории движения этих нулей, а также установлены свойства чередования мнимых нулей функции Y^ (Jt) и ее производной.

В § 5 исследуются двойные нули первой, второй и третьей производных функции Y9. Показано, что на каждом единичном интервале изменения ^ = О" I" •••" существует один двойной нуль функции Y Два двойных нуля функции Yo • Помимо этого, как показано, существует один двойной нуль функции Y ^ (%) при > 0. Вычислены и приведены по 100 первых двойных нулей этих функций с 8−9 дес. зн., установлены свойства стремления дробных частей индексов в точках двойных нулей к определенным пределам., В главе 4 исследуются комплексные нули функций (%) ,

Ю (г) н- (г), ну & и их производных. Для нулей функций ^(г) и в области -1С/&- ^ cw^Z с находятся аппроксимации, позволяющие вычислять эти нули с высокой точностью, а также строятся траектории нулей при изменении ^>, 0. Показано, что здесь также происходит постепенный переход нулей из области |?|> ^ в область й $, причем при каждом полуцелом значении индекса счетное множество этих нулей проходит через особую точку °°. Исследованы и вычислены некоторые нули в области < zЗГ, которые не были замечены предыдущими исследователями. Приводятся таблицы с 8 дес. зн. первых 5 нулей функций и Х9 (%) , — % ^? ^ зтс/х ,

V? = 0(1)5.

В заключительных замечаниях показан устойчивый алгоритм вычисления самих функций Бесселя, связанный с отсутствием комплексных нулей функций (%), ^ (%) и 1) (&) в области^, 9 > о, (ах/1. Также отмечается использование результатов данной работы в ряде задач климатологии и др.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. На основе комбинации методов разложения в ряды, рекуррентных соотношений и асимптотических разложений строятся высокоточные и устойчивые алгоритмы вычисления всех цилиндрических функций Бесселя в случае, когда индекс и аргумент принимают как действительные, так и комплексные значения. Исследуется вопрос теоретической и практической сходимости метода рекуррентных соотношений и предлагается его модификация,

2. Приведены новые асимптотические формулы для функций Бесселя и их производных, которые использованы при вычислении комплексных нулей этих функций.

3. Разработаны алгоритмы, позволяющие аналитически и численно определять приближения для комплексных нулей всех цилиндрических функций и их производных в зависимости от вещественного индекса V. Построены траектории движения этих нулей при: изменении [) и исследованы различные свойства комплексных нулей функций Бесселя и их производных.

4. Обнаружены и исследованы двойные нули первой, второй и третьей производных функций (Щ и У^ (?), рассмотрены вопросы об образовании и распаде двойных нулей в зависимости от изменения индекса.

5. Составлены программы, позволяющие эффективно вычислять все цилиндрические функции с 10 зн. ц. в случае, когда индекс и аргумент принимают как действительные, так и комплексные значения. В случае вещественных значений индекса составлены рабочие программы вычисления комплексных нулей всех цилиндрических функций и их производных. Вычислено и приведено большое количество комплексных и двойных нулей с 8−9 дес. зн., а также приведены графики и диаграммы, иллюстрирующие качественные характеристики комплексных нулей цилиндрических функций Бесселя.