Математические модели и вычислительные алгоритмы для решения некоторых задач финансовой математики

Одной из ключевых задач финансовой математики является задача построения адекватных, с точки зрения определенных вероятностных характеристик, математических моделей ценового ряда. Дальнейшее практическое применение данных моделей представлено целым спектром таких задач, как расчет премии опционов различных стилей, расчет границ залоговых средств для торговли фьючерсными контрактами, статистическая проверка торговых алгоритмов, управление портфелем корпоративных ценных бумаг.

Для того чтобы осуществить переход от практических задач к задаче математического моделирования ценовых рядов, необходима определенная идеализация рынка ценных бумаг. Ниже приведен пример такой идеализации, известный как основа современного технического анализа[26] .Идеальный рынок основывается на трех аксиомах Аксиома 1. Движения рынка учитывают все факторы. Суть аксиомы заключается в том, что любой фактор, влияющий на цену — экономический, политический, психологический, заранее учтен и отражен в ее ценовом ряде.

Аксиома 2. Цены двигаются направленно. Это предположение стало основой для создания многих методик технического анализа. Термин тренд означает определенное направление движения ценового ряда. Одной из главных задач технического анализа является своевременное определение трендов. Существует три основных типа трендов: бычий (bullish) — движение цены вверх, медвежий (bearish) — движение цены вниз, боковой (sideways) — цена практически не меняется.

Аксиома 3. История повторяется. Технический анализ занимается именно историей определенных событий, связанных с рынком. С точки зрения технического анализа, понимание будущего лежит в изучении прошлого.

Принимая за истину аксиомы технического анализа, большинство прикладных задач теории финансов сводится к задаче математического моделирования ценовых рядов. Кроме того, в работе делается еще одно важное предположение: считается, что все торговые операции осуществляются мгновенно и что всегда есть возможность совершения сделок необходимого объема по цене с точностью до минимального кванта цены, то есть предполагается, что рынок обладает абсолютной ликвидностью.

Прежде чем переходить к постановке задач, решаемых в данной работе, проведем небольшой экскурс в историю финансовой математики.

В начале своего становления, в 20-х годах XX века, теория финансов в качестве математического аппарата использовала лишь формулу сложных процентов, а ее основной интерес был связан с вопросами администрирования и увеличения фондов. Последующее развитие теории шло в двух направлениях: в предположении условий полной определенности и условий неопределенности. Для развития первого направления важную роль сыграли работы Ирвинга Фишера [20],[29], а также работы Франко Модильяни и Мертон Миллера («Сколько стоит фирма?», «Теорема ММ», 1963), в которых рассматривался вопрос выбора оптимальных решений для участников рынка.

Исторически первой работой во втором направлении стала диссертация JI. Башелье («Theorie de la speculation», 1900), в которой автор предпринял попытку описать изменение стоимости акций на парижском рынке ценных бумаг как случайный процесс. Систематическому обобщению теория впервые подверглась в статье А. Н. Колмогорова (1931 г.). Хотя истоки теории лежали в области экономики, после JI. Башелье очень долгое время большинство ее методов использовалось, в основном, при исследованиях в области теоретической физики, главным образом, в молекулярной физике и радиофизике.

Лишь в начале пятидесятых годов XX века стохастическая математика вновь стала применяться в финансовых вычислениях. В 1952 году Г. Марковиц публикует статью с коротким названием «Выбор портфеля». Данная работа стала начальной точкой нового этапа развития финансовой математики. Главная идея Марковица — считать доходность операций купли-продажи каждой ценной бумаги случайными величинами. Эти величины заранее неизвестны, но предполагается, что для них заданы ожидаемые значения, а также величины, характеризующие отклонения доходностей от ожидаемых, — так называемые вариации и ковариации. Таким образом, Марковиц заставил говорить финансовый рынок на языке теории вероятностей.

Следующим важным этапом в теории финансов явилась работа В. Шарпа (1964), в которой идеи Марковица получили воплощение в широко известной модели, объясняющей поведение инвесторов на рынке, находящемся в равновесном состоянии. Далее в 1965 П. Самуэльсон для описания динамики изменения стоимости акции Р, 2 г, Ч О" t tit+alVU)-вводит, так называемое, геометрическое броуновское движение: Pt = Pq^ где /и, <7- вещественные параметры, W (-)~ винеровский процесс. В 1972 году С. Росс для описания равновесности состояния рынка впервые использовал идеи арбитража. Утверждалось, в частности, что рынок, находящийся в равновесном состоянии, не должен допускать арбитражных ситуаций, то есть возможности извлечения прибыли без риска.

В современной теории и практике торговли опционами знаменательную роль сыграл 1973 год, когда в Чикаго (США) была открыта биржа по заключению стандартных контрактов с опционами. В том же году были опубликованы две работы, совершившие революцию в финансовых расчетах, связанных с опционами. Это статьи Ф. Блэка и М. Шоулса «Расчет цены опционов и обязательства корпораций» (1973)[28] и Р. Мертона «Теория расчета рациональной цены опциона» (1973). В этих работах было показано, что для расчета стоимости опциона необходимо привлечь теорию случайных процессов, в частности, теорию стохастических дифференциальных уравнений. Впервые для расчета стоимости опциона в качестве математической модели цены базисного актива опциона использовалось линейное СДУ в смысле Ито вида йР^ ?лР^лаР^Ц).

1).

Р (0)=Р0 ' где Р{ - значение ценового ряда в момент времени /- цеЯ — коэффициент роста, стеЯкоэффициент волатильности, м^*) — стандартный винеровский процесс. Данная модель позволила организовать работу опционных бирж, однако позднее многие исследователи отмечали неадекватность данной модели историческим ценовым рядам.

Изучение данной проблематики в России связано с развитием рыночных отношений в стране в начале 90-х годов XX века. Наиболее полно задача построения модели ценовых рядов исследована в работах А. Н. Ширяева (Институт математики им. В. А. Стеклова РАН) [22,23,24,25].

На данный момент современное состояние мировой компьютерной сети Интернет дает возможность огромному количеству физических и юридических лиц участвовать в биржевой торговле ценными бумагами, например, акциями. Как известно, участники рынка ценных бумаг подразделяются на инвесторов и спекулянтов. Для последних характерно большое количество сделок покупки и продажи за достаточно короткое время. Спекулятивная торговля является основой биржевой торговли и позволяет инвесторам осуществлять крупные торговые операции в любое время. Данный вид торговли доступен только высококвалифицированным специалистам по торговле акциями и невозможен без компьютерной поддержки. Для обеспечения такой поддержки создано большое количество компьютерных торговых программ, которые выдают сигналы на покупку и продажу, основываясь на поступающих с бирж числовых данных в режиме реального времени. Каждая такая программа имеет некоторый набор параметров, варьируя которые, можно добиться определенных характеристик торговли, например, высокой годовой доходности, минимального риска, минимальной длительности ряда убыточных сделок. Обычно параметры подбираются путем тестирования программ на исторических ценовых рядах за определенный период времени. Однако практика показывает, что зачастую даже оптимальная программа дает совершенно убыточную реальную торговлю. Поэтому тестирование торговых программ желательно проводить на ансамбле траекторий. С другой стороны, в действительности мы обладаем историческими данными, представленными одной траекторией. Таким образом, ансамбль траекторий может быть получен только путем статистического моделирования ценового ряда. Для этого можно использовать параметрическую модель, когда динамика цены определяется стохастическим дифференциальным уравнением. Для таких моделей вероятностные характеристики модельной цены зависят от выбранных значений свободных параметров дифференциального уравнения. Также можно моделировать ценовой ряд в полном соответствии с вероятностными характеристиками исторического ценового ряда, например, аналогично тому, как моделируется цепь Маркова с использованием матрицы перехода. Такой подход относится к вероятностным подходам, для него характерен малый набор свободных параметров.

Итак, при наличии адекватной модели ценового ряда появляется возможность качественно улучшить работу торговых программ по сравнению с тестированием программ на исторических данных, так как появляется возможность моделирования ансамбля ценовых траекторий с одинаковыми вероятностными характеристиками. Основные цели работы:

• разработка методик построения математических моделей ценового ряда,.

• исследование свойств полученных математических моделей ценового ряда,.

• разработка программного обеспечения для предварительной обработки начальных данных и проведения математического моделирования ценовых рядов.

Ниже приведено краткое описание поэтапного решения данных задач.

В первой главе диссертации проведен статистический анализ исторической цены. Основная трудность такого анализа связана с тем, что фактически приходится определять вероятностные характеристики нестационарного случайного процесса по одной траектории. Следовательно, здесь нельзя использовать классические подходы статистики, когда оценки рассчитываются либо по ансамблю траекторий, либо по траектории эргодического процесса. Поэтому на основе ценового ряда предполагается строить временные ряды, имеющие почти стационарные характеристики, что достигается с помощью следующих преобразований исходного ценового ряда процедура формирования баров. Баром периода К (обычно период указывается в минутах) исходного ценового ряда Рп на момент времени п называется совокупность или ¦|//7-й±1-к Для удобства анализа исходных данных использовалась.

0″,#п, 4, С"}, где Оп — цена открытия бара, Сп — цена закрытия, #",?" - максимальная и минимальная цена внутри бара. Этот метод широко применяется при анализе ценовых рядов. Статистический анализ именно баров, а не исходных ценовых рядов, имеет большое практическое значение.

В § 1.1 приведены основные определения и обозначения, используемые на протяжении всей работы, рассмотрены структуры, являющиеся основой современной теории финансовой математики.

В § 1.2 приведены вероятностные характеристики ценовых рядов на примере рядов, соответствующих ценам российских акций, торгуемых на ММВБ. Причем на первом этапе ценовой ряд преобразован в бар, а затем исследованы его вероятностные характеристики. Для некоторых из анализируемых статистических распределений получены достаточно точные аппроксимации известными непрерывными распределениями. л л.

В § 1.3 рассмотрена динамика статистических оценок /л, <т свободных параметров ¡-л и, а классической модели ценообразования. С помощью метода скользящего окна.

Л Л отслеживалась динамика изменения статистических оценок /л, а.

§ 1.4 посвящен вопросу аппроксимации функций плотности вероятностей фактических распределений, рассмотренных в § 1.1 и в § 1.3, функциями плотности вероятностей двухпараметрических непрерывных распределений. Предварительный, А анализ динамики изменения /л позволяет заключить, что аппроксимирующую функцию л плотности вероятностей распределения /л следует искать в классе симметричных непрерывных, с возможными значениями на Л распределений. Совокупность двухпараметрических распределений, а именно:

• распределение Чампернауна,.

• нормальное распределение,.

• логистическое распределение,.

• распределение Лапласа будем обозначать С, (Я). Целесообразность выбора этих распределений вытекает из, А практических наблюдений выборок ¡-л для ценовых рядов, соответствующих различным акциям, торгуемых на ММВБ. В отличие от задачи поиска аппроксимирующей функции, А плотности вероятностей распределения ¡-л, аппроксимирующую функцию плотности вероятностей <т следует искать в классе несимметричных непрерывных распределений с возможными значениями на Я+. Множество следующих распределений.

• гамма распределение,.

• логарифмически нормальное распределение,.

• распределение Рэлея,.

• распределение Вальда будем обозначать СЕ (/?+).

А А.

Статистическая проверка гипотез о законе распределения для оценок /и и, а из классов С ({К) и СД/?+) соответственно, была проведена с помощью критерия х2 Для случая, когда по выборке оцениваются свободные параметры непрерывных распределений. [10].

Результаты первой главы опубликованы в [14,27].

Вторая глава диссертации посвящена вопросу построения и исследования свойств математических моделей ценовых рядов. Один из способов получения модельных цен состоит в использовании стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Наиболее популярной (эта популярность обусловлена простотой расчетов) и полностью изученной в настоящее время моделью цены является модель (1). Однако результаты § 1.3, 1.4 показали, что параметр роста // и коэффициент волатильности, а не являются постоянными и ведут себя как стационарные случайные процессы на и соответственно. В этой связи возникает необходимость рассмотрения других, более адекватных, моделей ценового ряда.

В § 2.1 рассмотрено нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение вида.

2) 1 аР^/л^ск+стР-^) Р (0)=Р0 ' где I] - значение ценового ряда в момент времени /, свободные параметры модели: /леЯ, стеИ., И.- м (*) — стандартный винеровский процесс.

Проведено исследование модели (2), которое включает в себя:

• изучение динамики изменения оценки дисперсии Р (модели (2),.

• сравнение динамики изменения статистических оценок параметров /д, а для моделей (1) и (2),.

• разработку алгоритма выбора параметра у модели (2).

В результате проведенных исследований установлено, что рост оценки дисперсии Р, прямо пропорционален изменению параметра у. Предполагая, что волатильность ценового ряда убывает с ростом ее значения, сужается интервал выбора у: 0<у<1. Также было выявлено, что для нелинейной модели (2) оценки параметров ц, а менее чувствительны к изменению периода рассматриваемых данных, чем для модели (1), причем эта чувствительность существенно зависит от параметра у. Решение задачи оптимизации параметра у.

3) = = тах (сг/+1(^)-сг/(^))2 у.е. (0,1] «=.м позволило добиться устойчивости оценок параметров ц, ст относительно сдвига рассматриваемого временного интервала. Однако следует заметить, что воспроизвести л л динамику изменения ц и сг не удается ни при каких значениях параметра у, что является существенным недостатком модели (2).

В § 2.2 по аналогии с исследованиями, проведенными в § 2.1, были изучены свойства модели Холла-Вайта, которая представляет собой систему СДУ вида.

4) с1Р, = /Л^Л+^Р^Х^) у^Лчск+ву^/шм+т^щоу 0<(<т Р (0)=Рп, Н0) = П, где Р (- значение ценового ряда в момент времени /, свободные параметры модели: цеЯ, ЛеЯ, веК, /?е[0,1], VI'!(•), п'2(•) — независимые стандартные винеровские процессы.

Отличительная особенность модели (4) от моделей (1) и (2) заключается в том, что на л.

V, выписывается отдельное СДУ, что позволяет воспроизвести динамику а. Однако коэффициент// так же, как и в моделях (1) и (2), равен константе, что не позволяет, А воспроизвести динамику изменения ¡-л. Последнее обстоятельство значительно ограничивает круг практических задач, которые можно решать с помощью модели Холла-Вайта, и подталкивает нас к идее введения дополнительного СДУ на коэффициент//.

В § 2.3 изучен вопрос моделирования случайных стационарных процессов с заданным одномерным распределением. С этой целью рассмотрено нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение в смысле Ито вида.

5) кко где а (х) — линейная функция, а (х) е С2 (К), н'(*) — стандартный винеровский процесс. Далее на основе теоремы о функции плотности решения нелинейного СДУ (5) сформулированы и доказаны утверждения вида:

Ц-а^.

С = -Л (С — а) Л+2л/л • с/;

6).

2/? Д.

2р 2 р 2 р ^ < Г, Л е Л, ссеЯ, А> 0, /?>0.

Пусть? — стационарное решение СДУ (6), тогда? — является стационарным процессом с одномерным логистическим распределением с параметрами а, р. ?

7).

— АЦ—?)(й±?МО оКо.

Пусть — стационарное решение СДУ (7), тогда — является стационарным процессом с одномерным гамма распределением с параметрами а, р. ?

В работе сформулировано и доказано восемь утверждений для всех функций плотности вероятностей распределения из классов и С ¿-{Я').

Наконец, в § 2.4 построена математическая модель, учитывающая переменную волатильность ценового ряда и эксцесс в приращениях ценового ряда. Это достигнуто за счет введения стохастических дифференциальных уравнений на /л и а. В классе С,(Я) и л л для аппроксимации распределений ¡-л и, а соответственно, с использованием результатов, полученных в § 1.4, выбраны наиболее подходящие распределения. Таким образом, обобщая модель цены (1) на случай, когда ц и сг являются случайными стационарными процессами, получили систему нелинейных стохастических дифференциальных уравнений вида:

Р, = ?11Р1Ж + <71Р1с1м] (/) 2 -4 (м, — М- + л —- (//,)} • (О.

3 ?).

С1<7,=-А2 (а, — мс + ?" {~А2фс)} • (О.

А, ЕК, А2еЯ, А} >0,А2 >0, где м',(«), ту2(*), м'з (*) — независимые стандартные винеровские процессы.

Далее рассмотрены все возможные варианты. Например, в случае, когда Е, является стационарным процессом с одномерным логистическим распределением с параметрами а, р, уравнение на ¡-л, принимает вид (6). Аналогично для сг (, если^{является} стационарным процессом с одномерным гамма распределением с параметрами а, Р, то уравнение на с, принимает вид (7). С помощью модифицированного метода Эйлера из (8) получена дискретная модель ценового ряда (именно она применяется в решении практических задач финансовой математики):

9).

А, еЛ, А2 еЯ, Л, >0,А2 > 0, где г/пХ, Г1пг, Г1п з — последовательности независимых между собой нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, Ъшаг равномерной сетки по времени, Рп — моделируемая цена в узле «временной сетки.

Для некоторых уравнений разностная схема выписывается в явном виде с помощью / аналитических функций, для других необходимо рассчитывать интеграл 1сИ (х)= [——?// 2 или ег/(х)=? 2Ш. Данные интегралы вычислялись с помощью формулы трапеции.

1(х) = И.

0) + /(АЛ0 1=1 где х = /гтУ, с шагом И = 10.

— 2.

С целью проведения верификации модели (9) были построены гистограммы.

Л Л (р р ] функций плотностей распределений /л, <т, <�—-— >, рассчитанные на основе.

I J hist исторических данных. Как показал численный анализ, функции плотностей распределений, построенные на модельных данных, достаточно хорошо аппроксимируют гистограммы, построенные на основе исторических данных. Для получения более точной численной оценки качества аппроксимации использовался критерий согласия %2 для случая, когда по выборке оцениваются свободные параметры распределения. Были Л получены следующие значения: 0,983 для плотности распределения ju- 0,996 для р р плотности распределения, а и 0,976 для плотности распределения < —;

В заключение отметим, что усложнение исходной модели (1) оправдывается тем, что у новой модели (8) есть адекватность (с определенной степенью приближения) модельной и исторической ценам сразу по трем значимым вероятностным характеристикам, что выгодно отличает ее от исходной модели.

§ 2.5 посвящен методике построения численной вероятностной модели ценового ряда, которая состоит в следующем: реальный ценовой ряд Р* (tk) = Р* (к), к = 1,., N, с шагом At = tkU — tk = const, представляется в виде.

10) Р*(к) = (к) + (р*(к), где ¿—*(к) — приближение сглаженного исторического ценового ряда Р*(к) кусочно-линейной функцией дискретного аргумента, а (р (к) -отклонение ряда Рк) от Моделируемые цены Р (к) рассматриваются в виде аналогичной суммы (11) Р (к)-<^(к) + (р (к), где £(к) — кусочно-линейный случайный процесс дискретного аргумента, соответствующий ряду ^ (А:), а (р{к) — аддитивный шум, соответствующий ср*(к). В работе предложены алгоритм представления реального ценового ряда Р* (к) в виде (10) и алгоритмы моделирования процессов и (р{к), а также определены входные характеристики и характеристики для верификации модели.

И).

Результаты второй главы опубликованы в [13,32].

Третья глава работы посвящена вычислительным алгоритмам, программному обеспечению, созданному на основе результатов, полученных в главах 1 и 2, а также описанию численных экспериментов.

В тесном сотрудничестве с финансистами — практиками компании ОАО «Обь-инвест» была разработана концепция создания и развития комплекса программ TechAn, направленного на эффективное решение широкого спектра практических задач финансовой математики.

В § 3.1 сделан обзор современных программных комплексов, приведена логическая схема работы системы TechAN и дано краткое описание практических задач, которые решает данное программное обеспечение, а именно:

1. Создание базы исторических данных в различных форматах: Intraday, Daily.

2. Статистический анализ, классификация и преобразование исходных исторических данных.

3. Построение генераторов сигналов (сокращение — ГС) на основе математических моделей, представленных во второй главе диссертации.

4. Построение торговых стратегий (сокращение — ТС) на основе созданных ГС и наборе анализируемых данных, расчет основных характеристик ТС (например, доходность, риск, параметрическая устойчивость, устойчивость к изменениям ценового ряда и т. д.).

5. Поиск оптимального набора свободных параметров при решении оптимизационной задачи при определенных условиях на основные характеристики ТС.

6. Классификация ТС с оптимальными наборами параметров по заданным характери стикам.

7. Обеспечение работы на ММВБ через терминал QUIK в режиме реального времени, на основе разработанных и оптимизированных ТС.

В § 3.2 описаны этапы компиляции программы, написанной на специализированном языке TAL, в исполняемый модуль dll:

• парсинг (разбор и построение дерева операций),.

• генерация кода на языке «Object Pascal» ,.

• компиляция результирующего проекта компилятором dcc32 в автоматическом режиме.

В § 3.3 и § 3.4 приводится описание функциональных возможностей универсального оптимизатора Opti. Кроме численного результата перебора параметров целевой функции, программа позволяет проследить зависимость функции от параметров, что достигается с помощью визуализации данных или графических отчетов. Графические отчеты могут быть трех типов: 2-х мерные, 3-х мерные, 3-х мерные анимированные. Подробное описание данных отчетов приведено в § 3.5.

Алгоритм ускорения перебора в области определения целевой функции представлен в § 3.6. Основная идея заключается в разбиении перебора на два этапа: первую проходку, более грубую, с увеличенным шагом, и вторую проходку, с мелким шагом, уточняющую найденный во время первой проходки локальный экстремум. Итоговое время складывается из двух составляющих: коэффициента ускорения к, то есть множителя шага для первой проходки, и размера области второй проходки Q. Чем больше будет к и меньше Q, тем быстрее пройдет перебор, но тем больше будет вероятность выйти не на искомый экстремум, а на другую точку локального экстремума.

В § 3.7 описан алгоритм распараллеливания вычислений, который позволяет существенно повысить эффективность комплекса TechAN при решении задач оптимизации. В общем случае задача представляет собой поиск оптимальных параметров некоторой целевой функции, о которой, как правило, ничего не известно, что не позволяет воспользоваться аналитическими методами для упрощения задачи. Таким образом, остается только полный перебор вариантов. В такой ситуации ускорение возможно за счет распараллеливания вычислений на N процессоров и/или машин. В данном алгоритме оптимизируемые функции реализуются в виде интерфейсов динамически линкуемых библиотек, которые загружаются в адресное пространство процесса, занятого перебором, а далее используется подход, при котором каждый поток содержит свой объект.

В § 3.8 приведены численные эксперименты для решения следующих практических задач финансовой математики:

• определение границ Stop loss, stop profit,.

• расчет премии опциона,.

• исследование торговых алгоритмов.

Данные задачи решались с помощью комплекса TechAN на основе математических моделей ценового ряда, рассмотренных во второй главе. Результаты третьей главы опубликованы в [15, 27].

Заключение

.

В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы:

Л Л.

1. Изучена динамика изменения статистических оценок /л, <т свободных параметров л и, а классической модели ценового ряда.

2. Разработана и реализована методика построения адаптированных стохастических дифференциальных моделей ценового ряда, позволяющая ликвидировать недостатки ранее рассмотренных стохастических дифференциальных моделей.

3. Разработан и внедрен программный комплекс ТесЬАп, предназначенный для предварительной обработки начальных данных, проведения математического моделирования ценовых рядов, оптимизации свободных параметров торговых алгоритмов, а также реализации торговли на ММВБ в режиме реального времени.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору С. С. Артемьеву за руководство работой на протяжении 8 лет, конструктивное обсуждение задач и результатов, полученных в диссертации, д.ф.-м.н. В. А. Огородникову за плодотворное обсуждение вероятностной модели, сотрудникам аналитического отдела компании «Обь-инвест», в особенности А. Е. Корсуну за всестороннюю поддержку проекта ТесЬАп, а также Г. А. Лосенкову за помощь в расчетах.