Экстремальные задачи в некоторых классах двумерных гармонических отображений

Объектом исследования, в настоящей диссертации, являются локальные и глобальные свойства обобщенных гармонических отображений единичного круга, А в С. При этом упор делается на три основные экстремальные задачи: оценка модулей тейлоровских коэффициентов, вычисление обобщенной константы П. Кебе и получение теорем искажения для заданных классов гармонических отображений.

Определим понятие обобщенного гармонического отображения. Пусть II т С? —римановы поверхности, ¿-в2 = р2(и))с1м'2 —риманова метрика на Снормированная условием ff р2(-ш)с1и (1у = 1, где и) = и + 1у, р (ш) а измеримая, положительная, исключая возможные изолированные нули, функция, определяющая метрику ¿-в2. Гармоническим относительно указанной метрики называется отображение /: Я —" С}, локальные представления ю (г) которого являются решениями квазилинейного уравнения д2ю ^ ¿-р о дт дю ^ ^ дгдг ¿-и)™ дг дг Уравнения подобного типа привлекли внимание физиков как модели некоторых калибровочных теорий. В приложениях важен вопрос о структуре особенностей решений уравнения (1).

Заметим, что гармонические относительно метрики ¿-з2 отображения часто удобно определять как экстремали функционала Дирихле-Дугласа р2 о тс1х (1у, (2)

2 дги дг для которого (1) есть просто уравнение Эйлера-Лагранжа <�Ш = 0.

В теории пространств О. Тейхмюллера наряду с гармоническими отображениями относительно гладких римановых метрик рассматриваются отображения, гармонические относительно римановых метрик с особенностями, например, метрик вида ¿-в2 = ipw) с? ш|2, где <�р'2(ы)(1т2 — аналитический квадратичный дифференциал, а уз (ги) — заданная на <3 аналитическая функция.

В частности, если ф = С и ¿-э2 = (1гп2 — евклидова метрика на С (то есть р = 1 или (р = т), то имеем евклидовы гармонические отображения (в дальнейшем просто гармонические), которые согласно (1) являются решениями уравнения Лапласа

Случай логарифмической метрики гп 1 ¿-ио², (то есть р == 1/|"-| или (р = Ьп ги) отвечает так называемым логгармоническим отображениям, которые, согласно (1), являются решениями уравнения д2гп 1 дги дгп ^ дгд2 т дг дг и изучались, например, в [1,55].

Отметим, что функции составляющие класс отображений гармонических одновременно относительно всех метрик вида (р'{т)йт2, где 1р — конформное отображение, — суть отображения конформные.

Ясно, что если и — конформное отображение, то оно также и гармоническое, более того ри также конформное, гармоническое и обобщенное гармоническое отображение.

История геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем, в качестве таких областей обычно берутся канонические области — единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая задача на экстремум относительно заданного непрерывного функционала /[/] в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Д. Гильберта, Г. Голузина, А. Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.

В настоящей диссертации одно из центральных мест занимает впервые рассмотренный К. Каратеодори [26] и О. Теплицем [53] класс С. Кара-теодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы тейлоровских коэффициентов {({/г}х,., {/?}п)Ь п ^ 1 на классе функций к? С.

Несколько позже Л. Бибербах доказал, что в классе 5 выполняется точная оценка |{/}2| ^ 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе Б для всех п 6 N имеют место точные оценки |{/}п| ^ п с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Уп в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (Яе{/}2,1т{/}2,., Яе{/}п, 1т{/}п), где ({/}2> {/}з, • • • 5 {/}") — векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций / б 5. Задачи о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру птел коэффициентов Уп были, очевидно, навеяны работами К. Каратеодори и О. Теплица о телах коэффициентов функций класса С.

Лишь в 1984 г. Л. де Бранж [22] дал полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха.

Проблема описания птел коэффициентов Уп и получения коэффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. В 1939 г. X. Грунский получил важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов, называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции. Другие критерии однолистности были установлены Г. М. Голузиным, И. Е. Базилевичем, В. Я. Гутлянским. В. Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов

Ах>(5) := |({/}2, {/Ь,.) € С°°: {/}" := п = 2,3,., / € 51 .

Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [59] и в усиленной форме опубликован в статье [63].

Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [2−7,11,14,16,23,31,32,33,36−39,57], список которой не претендует на полноту.

Понятие квазиконформного отображения возникло во второй четверти двадцатого века в ходе исследований, проводимых М. А. Лаврентьевым, Г. Гретчем и Л. Альфорсом. Идеи, заложенные в работах М. А. Лаврентьева, Г. Гретча и О. Тейхмюллера, получили дальнейшее развитие в трудах Л. Альфорса, П. П. Белинского, Л. Берса, Л. И. Волковыского и привели к созданию глубокой и разветвленной теории квазиконформных отображений с обширными приложениями в гидродинамике. На сегодняшний день на ее основе сформировалась самостоятельная теория пространств Тейхмюллера, имеющая перспективные приложения в современной математической и теоретической физике (солитонике, конформной, калибровочной и струнной теории’поля).

Не менее важное место в современной математике занимает теория гармонических отображений, возникшая на основе работ Т. Радо, X. Кнезера

1926 г.), Г. Шоке (1945 г.). Заметную роль в формировании теории гармонических и обобщенных гармонических отображений сыграли такие математики, как Э. Райх, К. Штребель, Дж. Элс, Л. Лемер, С. Бохнер, Ф. Хартман, И. Ниче, Р. Шен, С. Яо, Ю. Йост, К. Уленбек, П. Дюрен, Г. Шобер, В. Хенгартнер, Дж. Клуни, Т. Шейл-Смолл.

В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла, В. Хенгартнера и Г. Шо-бера, П. Дюрена и В. Хенгартнера, А. Лизайка и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс 5. В. Г. Шеретов предложил новый метод исследования классов локально однолистных гармонических отображений — метод структурных формул, связывающих эти классы с классами С и б1. С помощью этого метода получены основные результаты второй главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами покрытия и параметрами квазиконформности рассматриваемых отображений.

В развитие теории квазиконформных и гармонических отображений, а также пространств Тейхмюллера большой вклад внесли отечественные математики М. А. Лаврентьев, И. Н. Векуа, Ю. Г. Решетняк, П. П. Белинский, Г. Д. Суворов, Б. В. Шабат, С. Л. Крушкаль, А. Т. Фоменко, В.А. Зо-рич, В. Я. Гутлянский, В. М. Миклюков, И. П. Митюк, Д. В. Прохоров, В. В. Горяйнов, А. Ю. Васильев, В. В. Чуешев, В. П. Чуев, М. С. Иоффе и В. Г. Шеретов.

В настоящее время квазиконформные и гармонические отображения превратились в гибкий мощный инструмент для решения широкого спектра актуальных проблем и задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, теории клейновых групп, пространств Соболева, комплексно-аналитической динамики, а также задач в различных областях математической и теоретической физики. В частности, теория гармонических отображений находит свое применение в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. При этом возможности развития теории гармонических и квазиконформных отображений далеко не исчерпаны, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этих областях.

В этой диссертационной работе выработан общий подход к экстремальным задачам теории гармонических отображений, основанный на исследовании структурных формул. При этом значительная часть результатов продолжает исследования В. Г. Шеретова [61,62,64,65]. Метод структурных формул разрабатывался также К. Каратеодори, И. А. Александровым, В. А. Зморовичем, В. В. Черниковым, В. Хенгартнером и другими

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения. Нумерация параграфов — сквозная, нумерация формул и утверждений — по параграфам. Обсудим содержание работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выделим основные положения работы, выносимые на защиту. Данная диссертация посвящена применению метода структурных формул к задачам об оценках коэффициентов, о покрытии и искажении в известных и новых классах обобщенных гармонических отображений. На защиту выносятся следующие основные положения: характеризация множества крайних точек класса функций удовлетворяющих лемме Шварца ?7- теоремы искажения и покрытия для подклассов класса Каратеодори С и обобщенных классов Каратеодориоценки модулей тейлоровских коэффициентов для подклассов класса Каратеодори и обобщенных классов Каратеодорисвязь обобщенных классов Каратеодори с классами конформных отображенийтеоремы искажения и покрытия для симметричных подклассов класса звездных функцийоценки модулей тейлоровских коэффициентов и других функционалов в симметричных подклассах класса звездных функцийинтегральные представления функций упомянутых классовлокальная справедливость гипотезы Кшижавывод структурной формулы для классов логгармонических отображенийприменение метода структурных формул к получению теоремы искажения, точных оценок начальных коэффициентов локально однолистных логгармонических отображений, генерируемых функциями класса Каратеодори Свычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформностиприменение метода структурных формул к получению точных оценок всех коэффициентов локально однолистных гармонических отображений, генерируемых функциями подклассов класса Б и функциями из обобщенных классов Каратеодори С[А, В] - вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности- * исследование классов двумерных гармонических отображений единичного круга в евклидовы пространствавыделение подклассов функций, первая характеристика Лаврентьева которых субгармоничнапример, показывающий, что эта характеристика не всегда субгармонична.

Работа носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные, квазиконформные и гармонические отображения.

На протяжении XX столетия были достигнуты впечатляющие успехи в геометрической теории функций — теории римановых поверхностей, конформных, квазиконформных и гармонических отображений. Возникали и укреплялись многообразные перекрестные связи с другими ветвями современной математики и выходами во внематематические приложения. Последняя треть века отмечена решением крупных проблем в теории однолистных функций, теории экстремальных квазиконформных и гармонических отображений с выходами в тейхмюллеровы пространства. Определяющий вклад в развитие методов геометрической теории функций внесли отечественные математики. Новые методы В. Г. Шеретова, использованные в диссертации, весьма перспективны.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Шеретову, научному консультанту кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Юрьевичу Графу и всем участникам руководимого В. Г. Шеретовым семинара по теории квазиконформных отображений в Тверском государственном университете за поддержку в ходе выполнения работы.