О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода в пространстве обобщенных функций

Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода (УТР) в классе обобщенных функций.

Актуальность темы

Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го и 2-го родов, сингулярных интегральных уравнений. Определенные итоги установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях [12, 37], в специальных обзорных работах [24, 44, 53], а также в монографиях [7, 11, 23, 25, 27, 36, 38, 39, 42, 43, 45, 47, 48, 52, 54, 68] и др. В то же время ряд задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см., напр., [72,40], и библиографию к [72]), а также теорий уравнений смешанного типа (см. [8−10]) и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом (см. [55]) приводят к УТР. Обнаружилось, что часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к УТР, являются специальные пространства обобщенных функций типа D или типа V. Под D (соответственно V) понимается класс обобщенных функций, построенных при помощи функционала «дельта-функция Дирака» (соответственно «конечная часть интеграла по Адамару»). Впервые в пространстве обобщенных функций УТР исследовалось Г. Р. Бартом и Р. Л. Варноком [72]. Их исследования были продолжены и развиты в работах B.C. Рогожина и С. Н. Расламбекова [59−61], Г. Р. Барта [71], Н. Сукаванама [73], К. Б. Бараталиева [5], С. Н. Расламбекова [56, 57]. Все эти работы посвящены теории Нетера (см., напр., [27]) для соответствующих УТР в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Подробный обзор имеющихся результатов и библиографию можно найти в монографии Н. С. Габбасова [18]. Исследуемые уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их приближенного решения в пространствах обобщенных функций является актуальной задачей. Первые результаты в этом направлении получены в работах Н. С. Габбасова [14−18], который исследовал УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. Им были предложены и обоснованы как классические, так и специальные прямые методы решения этих уравнений. При этом по решению УТР в пространстве типа D получены в определенном смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения. В статье В. А. Золотаревского [34] некоторые результаты Н. С. Габбасова (1990г.) в частном случае пространства типа D перенесены на УТР в комплексной плоскости.

Таким образом, в обсуждаемой области все еще остается много нерешенных задач. В частности, вопрос о построении и обосновании методов приближенного решения общих УТР в пространстве типа V, по существу, до сих пор оставался открытым. Данная диссертационная работа в определенной степени восполняет этот пробел.

Цель работы — построение теории разрешимости УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, в пространстве типа V и теоретическое обоснование методов их приближенного решения в данном пространстве.

В диссертации под теоретическим обоснованием понимается следующий круг задач: а) доказательство существования и единственности решения аппроксимирующих уравненийб) доказательство сходимости приближенных решений к точному и определение скорости сходимостив) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данныхг) исследование устойчивости и обусловленности аппроксимирующих уравнений.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов используются теория операторов Нетера, теория приближения функций, вариант общей теории приближенных методов анализа, предложенный Б. Г. Габдулхаевым [23], и методы функционального анализа. При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на существенном использовании результатов и методики исследования, предложенных в упомянутой выше монографии научного руководителя [18].

Научная новизна. В диссертации изучены свойства основных пространств, используемых в исследованиях. Для УТР при общих предположениях относительно нулей коэффициента построена теория разрешимости в пространстве типа V (фредгольмовость, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора третьего рода). На базе этих результатов дано теоретическое обоснование вычислительных схем на основе ряда классических прямых методов, предложены и обоснованы специальные прямые методы решения УТР в классе типа V. Установлена оптимальность по порядку точности построенных «полиномиальных» и «сплайновых» методов решения изучаемых уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в пространствах обобщенных функций, а также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к решению такого рода уравнений.

Основные результаты диссертации изложены в работах [19−21,62−65]. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановка задач и определение общего метода исследования, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Краткое содержание диссертации. Работа состоит из трех глав, разделенных на 11 параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по главам.

Первая глава посвящена изучению свойств основных пространств, необходимых в дальнейших исследованиях и построению специальной теории приближения в этих пространствах.

В § 1, следуя З. Пресдорфу [51] и В. Б. Дыбину [31], вводится класс Y = С{/?,-р2-т, т} точечно «гладких» функцийизучаются некоторые его свойства. В частности, доказаны теоремы о вложении банаховых пространств.

Пусть С — С (/) — пространство непрерывных на I = [0,1] функций с обычной max — нормой и те N. Через Cjm} =C{m-t0} обозначается класс функций g еС, имеющих в точке t0 е (0,1) тейлоровскую производную g{m](t0) порядка/я.

Пусть tvt2,., tqпроизвольно фиксированные попарно различные точки интервала (0,1). Каждой точке tj ставится в соответствие некоторое число rrij е N (у = 1, q). Далее, вводится в рассмотрение векторное пространство где m = {mvm2,., mq), r = {tvt2,., tq) — конечномерные наборы соответствующих величин. Пусть рх е R+. Через С{рх- 0} обозначается пространство функций geC, имеющих правые тейлоровские производные g{,}(0) (i = 1, [рх]) в точке t = 0, причем в случае рх Ф [pj ([•] - целая часть) существует конечный предел.

Класс С{р2- 1} (p2eR+) вводится аналогично. Наконец, образуется основное векторное пространство 9 о.

Y^C{pvp2,m, T} = C{m, T} f| С{А-0} f| С{р2,1} естественно считается, что С{0−0,0,г} = С). По норме q+2 mr 1 j= i=0 пространство Y полно. Здесь.

7+2 т;

СTg)(tg (0-£ !u{t)^t j=1 /=0 и (О = **(1−0АЦ ('-'у)" '' феС (7)' Ф (^) = МФ (0С/ = и + 2) — tj e (0,1).

О = 1> #)> = 0, t 2 = 1, — фундаментальные полиномы Эрмита степени.

7+2 т-1 по узлам {f, }f+2, m = ]Гrrij, тд+1 тд+2 = Х2 +1, =) i=1.

В § 2 рассматривается пространство X = V{pxр2-т, т}, устанавливаются некоторые его свойства, в частности, доказано, что пространствами Yявляются взаимно союзными, а также приводится ряд необходимых определений и вспомогательных фактов.

Обозначим через X семейство обобщенных функций x (t), определенных на основном пространстве Y, вида где t el, zeC, [лк = Хк — рк +1, ср е R — произвольные постоянные, а знак.

F.P." указывает на конечную часть интеграла по Адамару.

В § 3 строятся элементы специальной теории приближения в пространствах X и Y. Доказываются аналоги теоремы Вейерштрасса, исследуются вопросы о наилучшем «полиномиальном» приближении функций из X и Y, поперечники по Колмогорову множеств в XnY.

EnA (g) — наилучшее равномерное приближение функции g (t) полиномами к = 1,2), Л (р) = [р] -(1 + sign ([р] - р)). q+2 m-1 со мо+1? fjpa" at)"(tо)-'-1, j=1 /=0.

Пусть Нпх = span{t'}" 0~ HFJm = Я ®spanF.P. из Нп-Х>

Klmix) = inf J| x-x" I (xgX), a dn (Q, H) — n-й поперечник по Колмогорову множества Q в пространстве К. Имеет место.

Теорема 1.3.5. Для произвольной функции хеХпри любом neN существует элемент хп е HFnfm наилучшего приближения, причем.

E:+Pm (x) = Enl (TUx).

Теорема 1.3.6. Для всякого множества Q с X справедливо соотношение dn+m (Q>X) = dn (TU (Q), С) (neN). В § 4 рассматривается вопрос о приближении функций из Y при помощи специальных линейных «полиномиальных» операторов, приводятся их аппроксимативные свойства.

Во второй главе излагаются результаты по теории разрешимости уравнений Фредгольма третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, в пространстве типа V. Кроме того, на основе ряда классических прямых проекционных методов разрабатываются соответствующие вычислительные схемы и дается их теоретическое обоснование.

§ 1 посвящен исследованию разрешимости уравнений третьего рода.

Ax)(t) = (Ux)(t) + (Kx)(t) = y (t), (0.1) я ' где (Ux)(t) = x (t)u (t) = x (t)tp> (1 — t) PlПС — tjT' > (?*)(0 = j=1 0 t € /- pv p2 e R+, tjE (0,1), mj e N (j = 1, q) — К-ayизвестные непрерывные функции, a x — искомый элемент. Устанавливается фредгольмовость оператора Л при выполнении условий: к е С{АЛЙ (/2) — K{?a, tj), K\tps) eY (i = 0¹, j = (0.2) даются необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения в виде требований ортогональности правой части всем решениям соответствующего однородного союзного уравнения.

В дальнейшем при обосновании приближенных методов решения операторных уравнений существенную роль играет непрерывная обратимость соответствующих операторов. В связи с этим в § 2 даются достаточные условия непрерывной обратимости оператора третьего рода, определенного соотношением (0.1), и указывается метод отыскания точного решения УТР в пространстве Xобобщенных функций.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) ядро K (t, s) интегрального оператора в уравнении (0.1) удовлетворяет требованиям (0.2), yeY;

2) число X = -1 не является собственным значением ядра TtK;

3) система.

7+2 &trade-у-1.

YZafl{9Qfi){tk)^y){tk) (1 = 0, тк -1, k =, q + 2), j= /=о где ff =E-KRT, R — разрешающий оператор ядра TtK, QJt (/) =.

1 <7+2 (t-tJ)Mr" 1rj (t)+ j>(l-s^K^sXs-tjY^ds, = Y (t-tk)mt, имеет.

0 j*k=1 единственное решение {a* J «Ц1]^ ¦

Тогда уравнение (0.1) при любом yeY имеет единственное обобщенное решение.

7+2™ — q+2 xt) = (RTy)(t) — ^a^RTQ^t) + (1 — 0* (/ ~ ^.

7=1 /=0 j=1 -=0.

Следствие. При выполнении условий теоремы 2.2.1 оператор третьего рода А: X Y непрерывно обратим.

§ 3 содержит постановки задач обоснования и оптимизации прямых и проекционных методов решения линейных операторных уравнений и ряд вспомогательных результатов из общей теории приближенных методов.

В § 4 дается обоснование вычислительных схем на основе классических методов моментов, коллокации и подобластей для приближенного решения УТР (0.1) в пространстве типа V в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа, предложенной Б. Г. Габдулхаевым.

Пусть дано УТР (0.1), в котором ядро К удовлетворяет условиям (0.2), у е Y. Приближенное решение уравнения (0.1) ищется в виде.

— 1 9+2 «у 1 — 2>/ + X (1 — ф (t — (0.3).

0 у=1 1=0 где неизвестные коэффициенты ск = с}л) (k = 0, n-), cjt (i = 0, njj -1, j =, q + 2) согласно методу моментов находятся из условий: 1.

J’p (t)(Ахпy)(t)Tk (t)dt = 0 (k = 0, n + m-1), (0.4) о где {Tk) — полная ортонормированная на I по весу p{t) = (tt2)~V2 /2 система смещенных полиномов Чебышева первого рода.

Для вычислительной схемы (0.1), (0.3)-(0.4) верна следующая Теорема 2.4.3. Пусть уравнение (0.1) однозначно разрешимо в пространстве Y при любой правой части у е Yа функции h{t, s) = {TsTtK)(t, s) по t), gji (t) = {TtK){-](t, tJ){i = mj-J =, q + 2), (Ty)(t)eCi2ml), причем h (2m){t, s) {по tравномерно относительно s), gftm){t) и (Ту){2т)(t) е DL. Тогда при достаточно больших п&N приближенные решения, определяемые из (0.3),(0.4), существуют, единственны и сходятся по норме пространства X к точному решению xt) УТР (0.1) со скоростью хх&bdquo- 0 q+2″ >j- }=1 (=0.

2т1пиК.

Результаты § 4 второй главы показывают, что при решении УТР на основе классических приближенных методов сходимость приближенных решений достигается путем ограничения исходных данных жесткими требованиями гладкости. Это означает, что известные методы приводят к «плохой» скорости сходимости (в частности, по сравнению со случаем уравнений второго рода). В этой связи в третьей главе на основе идей и результатов гл. 4 [18] строятся и обосновываются специальные прямые методы, имеющие преимущество перед классическими методами по улучшению скорости сходимости приближенных решений.

В § 1 предлагаются и обосновываются специальные «полиномиальные» методы.

Пусть имеем уравнение (0.1), в котором исходные данные К и у таковы, что выполняются условия (0.2) и уеУ. Конечномерное приближение к решению х* = А'1 у ищется в виде агрегата (0.3), где неизвестные коэффициенты ск = с[п) (k = 0, n-Y), cjj (/' = 0, тj -1, j =, q+ 2) согласно обобщенному методу моментов (ОММ) находятся из системы линейных алгебраических уравнений 1 p{t) СТАхп — Ty)(t) Тк (0 dt = 0 (к = 0¹);

0.5).

Ахп — y){i) (tj) = 0 (i = 0, mj -1, j = l, q + 2),.

Для вычислительной схемы (0.1), (0.3), (0.5) верна следующая Теорема 3.1.3. Пусть кегЛ = {0}, a h{t, s) = {TsT, K){t, s), gjXO^WfitJ.) (i = mJ-l, j = l, q + 2), (Ty)(t)eDL. Тогда при п>щ приближенные решения x*n (t), определяемые из (0.3), (0.5), существуют, единственны и сходятся к точному решению x*(t) УТР (0.1) с быстротой хх&bdquo- 0 q+2 тГ.

К-М + ЪЦЕпМ^ + ЕЛТу) /=о.

1пи.

Следствие. Если h (t, s) (по t), gJt,(f), (7"(0 e Hra (0

— 0(пг~а пп). *.

При рх = р2= ntj = 0 (у = 1, q) рассматриваемое УТР превращается в уравнение второго рода в С, а прямой проекционный метод (0.3), (0.5) — в известный метод моментов, причем Ту = у, h = К. Следовательно, теорема 3.1.3 содержит в себе известные результаты по обоснованию метода моментов для уравнения второго рода.

Аналогичные результаты получены для обобщенных методов коллокации и подобластей. Основные результаты сформулированы в теоремах 3.1.1 и 3.1.5.

В § 2 предлагаются и обосновываются специальные «сплайновые» методы решения УТР в пространстве X, являющиеся в некотором смысле обобщением известных методов сплайн-коллокации, сплайн-подобластей и метода подобластей на базе параболических сплайнов и обладающие существенным преимуществом перед ними в смысле улучшения скорости сходимости приближенных решений УТР (0.1).

В § 3 устанавливается, что предложенные в диссертации специальные методы моментов, коллокации и подобластей оптимальны по порядку среди всех «полиномиальных» проекционных методов, а обобщенные сплайн-методы — среди всех прямых проекционных методов решения УТР. Приведем один из установленных результатов.

Следуя Б. Г. Габдулхаеву [23, гл.1], через УК{Ф) обозначим оптимальную оценку погрешности всевозможных проекционных методов решения данного операторного уравнения на классе Ф. Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых в X уравнений вида (0.1) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству YHr (0 ={g zYTg е Нгш} (г +1 е N). Пусть = {Гп} совокупность всех «полиномиальных» операторов Г: Y —>¦ Yn, удовлетворяющих условию J) Гл I п~га?(п~') = о (1) (и -«со), отображающих Y на подпространство Yn размерности п + т.

Теорема 3.3.1. Пусть Ф = YHra. Тогда.

УИ (Ф) N’rco (N~]) nN (N = n + m) и этот оптимальный порядок реализует предложенный выше ОММ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Установлены фредгольмовость и достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка.

2. Предложены и обоснованы вычислительные алгоритмы на основе классических прямых методов решения исследуемых уравнений в пространстве обобщенных функций.

3. Построены и обоснованы специальные «полиномиальные» и «сплайновые» методы решения изучаемых уравнений, имеющие преимущество перед классическими методами по улучшению скорости сходимости приближенных решений.

4. Решена задача оптимизации прямых и проекционных методов решения уравнений третьего рода, при этом разработаны оптимальные по порядку точности методы решения этих уравнений.

Отдельные результаты диссертации сообщались на Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005, 2006 гг.), на международной Казанской летней школеконференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.), на молодежной школе — конференции «Лобачевские чтения — 2005» (Казань), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и филиала Казанского государственного университета в г. Набережные Челны (2006, 2007). Основные результаты диссертации в целом докладывались и обсуждались в Набережночелнинском государственном педагогическом институте на семинаре кафедры математического анализа (2006 г., руководитель — профессор Н.С.Габбасов), на семинаре кафедр математической физики и вычислительных технологий и моделирования факультета ВМиК МГУ (2006 г., руководители — проф.

Е.В.Захаров и проф. И.К.Лифанов), на семинаре кафедры теории функций и приближений (2007 г., руководитель — проф. Б.Г.Габдулхаев), на совместном заседании кафедр математических методов в экономике и математики и информатики (2007 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Габбасову Назиму Салиховичу за постановку задач и руководство работой. Автор также выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Габдулхаеву Билсуру Габдулхаевичу за постоянное внимание к работе и участникам семинара кафедр математической физики и математического моделирования и вычислительных методов Московского государственного университета, особенно доктору физико-математических наук, профессору Лифанову Ивану Кузьмичу, за внимание к работе и полезные обсуждения.

.