На практике нередко встречаются задачи о колебаниях сложных машин и механизмов, которые адекватно могут рассматриваться как мпогомассовые упруго-демпферные системы с разветвленной структурой. Примером может служить двигатель внутреннего сгорания (ДВС) большой мощности, состоящий из нескольких роторов, соединенных зубчатыми колесами. Двигатель обычно представляется как система топких абсолютно жестких дисков, совершающих крутильные колебания относительно собственных осей. Эти диски соединяются торсиопами — упругими связями, работающими па кручение. К числу дисков относят и зубчатые колеса, упругая связь которых определяется упругостью зубцов.
Условная схема такого двигателя изображена па рис. 1. На этом рисунке диски условно изображены кружками, а упругие связи — пружинками. Соответствующая схема расположения зубчатых колес приведена па рис. 2.
При исследовании динамики систем с разветвленной структурой могут возникать трудности при составлении алгоритма расчета и при реализации вычислительного процесса. Но сложность решения задач о колебаниях ДВС большой мощности определяется не только их конструкцией и характером действующих сил. Другой важной причиной, которая существенно осложняет решение задач динамики этих двигателей, является наличие люфтов в соединениях зубчатых колес. Причем, эти люфты не есть ошибки в исполнении колес, они заложены в конструкцию, так как иначе зубцовые соединения не собрать. Вместе с тем, наличие люфтов в соединениях зубчатых колес может существенно менять динамическое поведение коробки зубцовых передач и всего ДВС в целом. Это обстоятельство объясняется возникновением виброударных колебаний, которые могут сопровождаться увеличением в разы динамических усилий в элементах ДВС, повышенным шумом и даже могут приводить к поломке зубцов. С прицигшальной точки зрения люфты превращают ДВС с зубчатой системой передач в механическую систему с разрывными связями, а задача о колебаниях такой системы становится нелинейной.
Рис. 1. Динамическая модель двигателя внутреннего сгорания.
Рис. 2. Коробка передач ДВС.
К уравнениям колебаний при этом добавляются условия контакта-разрыва для всех зубцовых соединений колес. Эти уравнения и условия определяют движение рассматриваемой механической системы с разрывными связями. Вместе с тем, в процессе движения сама колебательная система, вообще говоря, не остается раз и навсегда заданной, а в ней многократно и во всех зубцовых соединениях контакты могут переходить в их разрывы и наборот.
Длительное время колебания ДВС с учетом люфтов считались не поддающимися расчету [5 — стр 339]. Однако, в последние десятилетия, в связи с развитием вычислительной техники, в исследовательских центрах и на крупнейших моторостроительных предприятиях такие расчеты стали повсеместно выполняться. При этом, насколько известно, всюду применялся примерно один и тот же алгоритм, основанный па численном решении задачи о нестационарных колебаниях при заданных начальных условиях. Иначе говоря, задача о колебаниях мпогомассовой упруго-демпферной механической системы с разрывными связями решается так называемым «методом припасовывания» с использованием процедуры типа Рунге-Кутты [3], [31], [32], [33]. В стационарном режиме работы двигателя внутреннего сгорания па роторы двигателя действуют периодические крутящие моменты. Цикл изменения моментов равен длительности одного или двух оборотов двигателя. Однако, при решении задачи о колебаниях ДВС с учетом люфтов методом типа Рунге-Кутты рассчитываемое движение, как правило, не стремится к периодическому, а получается пучек движений, который можно увидеть, например, на фазовой плоскости. Средне-взвешенное значение амплитуд перемещений дисков и усилий в связях используется, обычно, для оценки интесивпости вибрациоиного и напряженного состояния ДВС. Такой способ решения задачи о дииамическом поведении ДВС с учетом люфтов в соединениях зубчатых колес является весьма трудоемким. Это объясняется, в частности, тем, что для получения устойчивого результата обычно требуется выполнить расчет для большого числа (нескольких десятков) циклов. Кроме того, эта трудоемкость существенно зависит от числа учитываемых степеней свободы (числа масс в замещающей схеме ДВС) и от демпфирования колебаний.
Между тем, экспериментальные исследования показывают, что в стационарном режиме работы ДВС, когда на роторы действуют периодические крутящие моменты, измеиение его вибрационного состояния также носит периодический характер. Поэтому возникает вопрос: нельзя ли отказаться от решения трудоемкой задачи о многоцикловых нестационарных колебаниях и сразу решать задачу о периодических колебаниях за один цикл работы ДВС? В связи с этим спрашивается, во-первых, какие физически обоснованные коррективы требуется ввести в идеальную зависимость контакпого усилия от взаимного перемещения зубцов для того, чтобы задача о периодических колебаниях ДВС при наличии люфтов в зубцовых соединениях допускала бы периодическое решение? Во вторых, каким наиболее эффективным методом эта задача может быть решена?
Ответам на эти вопросы посвящена настоящая работа [27, 28, 29, 30]. Остановимся на ее основных положениях.
1). Идеальная кривая зависимости контактного усилия от взаимного перемещения зубцов представлена на рис 3. При отсутствии контакта между зубцами это усилие равняется нулю.
Рис. 3. Идеальная зависимость контактного усилия от взаимного перемещения зубцов при наличии люфта в зубцовом соединении ДВС.
На рис. 3 f— контактное усилие, ls— относительное перемещение зубцов, hs— размер люфта, S — номер связиконтакт — двусторонний.
В данной работе, для того, чтобы обеспечить существование периодического решения, предполагается, что и в случае отсутствия контакта между смежными зубцами сохраняется пусть как угодно слабая упругая связь. hs
Физически ясно, что сохранение очень слабой связи зубцов при разрыве их контакта не может существенно изменить картину вибраций двигателя внутреннего сгорания. Но это допущение существенно используется при доказательстве существования периодического решения задачи о колебаниях ДВС при наличии люфтов в зубцовых соединениях в случае действия периодических внешних нагрузок.
Второе предположение касается узкой зоны перехода от разрыва к контакту и наоборот. В этой зоне при идеальной зависимости коитакного усилия от относительного перемещения зубцов происходит скачкообразное изменение жесткости зубцового соединения от нулевого значения до величины, определяемой упругими свойствами зубцов. В действительности такого скачка не происходит, поскольку зубцы имеют выпуклую поверхность, и при контакте жесткость зубцового соединения нарастает (или убывает) плавно, аналогично тому, как это имеет место в задаче Герца [12]. Это обстоятельство позволяет сгладить переход между состояниями разрыва и контакта, что также существенно используется при доказательстве существования периодического решения. На основании сказанного используемая в работе зависимость контактного усилия от взаимного расположения зубцов приобретает вид, изображенный на рис. 4.
Рис. 4. Сглаженная зависимость контактного усилия от взаимного расположения зубцов.
2). Задача о нелинейных колебаниях миогомассовой упруго-демпферной механической системы с разрывными связями решается итерационным методом Ньютона-Канторовича [10]. При составлении итерационного алгоритма осуществляется линеаризация исходного нелинейного уравнения колебаний многомассовой упруго-демпферной механической системы, схематизирующей ДВС. Обобщенной искомой неизвестной является векторная функция времени. Число проекций векторной функции равняется числу масс (дисков) механической системывремя меняется в пределах одного периода колебаний рассматриваемой механической системы. Линеаризация уравнения выполняется путем дифференцирования оператора нелинейного уравнения по обобщенной неизвестной. Жесткости зубцовых соединений линеаризованной системы уравнений оказываются, вообще говоря, зависимыми от времени, и эта зависимость изменяется от приближения к приближению при реализации итерационной процедуры Ныотоиа-Капторовича. Поскольку исходная нелинейная связь между усилием в зубцовом соединении и относительным перемещением зубцов записывается в аналитическом виде, то и линеаризованная жесткость может вычисляться по простой аналитической формуле, что существенно облегчает составление линеаризованного уравнения колебаний. Отмстим, что па возможность применения метода Ыыотопа-Капторовича для расчета нелинейных крутильных колебаний валов указано в работе [5 — глава 13].
3). Согласно процедуре Ныотопа-Капторовича каждый шаг итерационного процесса сводится к решению линеаризованного (линейиого) уравнения, о котором говорилось выше. Искомое решение является функцией, дважды дифференцируемой по времени, поскольку в задаче о колебаниях, естественно, учитываются силы инерции. Кроме того, решение должно быть периодической функцией времени, так как ставится задача отыскания именно периодического движения. Указанными свойствами обладают гармонические функции с основным периодом, равным периоду одного цикла работы ДВС. Поэтому приближенное решение отыскивается в виде разложения в конечный ряд по гармоническим функциям времени. При этом, для удобства построения решения, используются экспоненциальные функции с чисто мнимыми степенями. Таким образом, задача сводится к отысканию комплексных амплитуд по числу удерживаемых гармоник для всех степеней свободы (для всех дисков) рассматриваемой механической системы.
Всего требуется определить S векторов с (2N+1) комплексными проекциями, где S — число степеней свободы и (2JV+1) — число гармонических составляющих в разложениях.
4). Для составления системы алгебраических уравнений относительно указанных векторов, представляющих собой, как уже сказано, совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического движения, используется метод Галеркипа, именуемый иначе проекционным методом. Получаемая таким путем общая матрица состоит из блоков — квадратных матриц порядка (27V+1). Эти квадратные матрицы обладают важным свойством: каждая следующая по номеру строка получается из предыдущей путем смещения ее на одну ячейку вправо. Такая матрица является частным случаем матрицы Теплица [Toeplitz]. Для ее формирования достаточно вычислить только элементы первой строки, и тогда элементы всей матрицы могут быть получены моментально с помощью, например, программы «toeplitz» при использовании языка MatLab.
6). Поскольку при использовании итерационного метода Ныотона-Канторовича полученную систему алгебраических уравнений высокого порядка требуется решать многократно, весьма важным является выбор эффективного метода решения этой системы уравнений.
Известен и широко используется при решении задач о периодических колебаниях механических систем так называемый метод прогонки [7], который является частным случаем метода последовательного исключения неизвестных Гаусса. Этот весьма эффективный метод непосредственно применим только к механическим системам цепного вида (рис. 5).
Рис. 5. Цепная система.
Если последовательно пронумеровать узлы цепной системы, то окажется, что каждый узел связывается только с предыдущим и последующим узлами. В цеппой системе процедуру исключения неизвестных удобно производить в определенном порядке: двигаясь вдоль цепи, сначала определять динамическую жесткость пройденной части системы (прямая прогонка), а затем, перемещаясь в обратном направлении, вычислять величины самих характеристик колебаний (обратная прогонка). Для этого могут использоваться удобные рекуррентные формулы. Первоначально метод прогонки, иначе называемый методом цепных дробей, в применении к расчету крутильных колебаний валов был предложен Терских В. П. [26].
Но метод Терских был предложен для одпочастотиых гармонических колебаний, а как уже сказано, действующие па роторы ДВС крутящие моменты и отыскиваемые колебания являются не гармоническими, а периодическими, то есть полигармопическими функциями времени. Ограничиваясь при реальных расчетах конечным числом гармонических составляющих колебаний, приходим к задаче относительно векторных неизвестных, размерность которых определяется числом удерживаемых гармоник. И в этом случае могут быть применены рекуррентные формулы так называемой векторной прогонки.
Вместе с тем, для механических систем со сложной структурой методы типа прогонки не могут быть использованы непосредственно. Можно прямо решать получаемую систему алгебраических уравнений высокого порядка, равного 5'(2Лг+1). Но при большом числе степеней свободы и учитываемых гармоник расчеты с использованием таких матриц являются значительно более трудоемкими, чем в случае цепных систем, для которых применимы методы прогонки. Это важно учитывать в многовариантпых расчетах и особенно при рассмотрении задач с нелинейными связями, когда надо многократно решать линеаризованные уравнения при осуществлении итерационных процессов.
В настоящей работе предлагается такая модификация метода векторной прогонки [27], которая пригодна для решения задач о колебаниях мпогомассовых механических систем со сложной структурой, типа той, которая изображена на рис. 1. Эта модификация основывается на том, что указанная сложная структура представляется в виде основной цепи с боковыми ответвлениями, и вводятся фиктивные элементы с пулевой ииерцией и нулевой жесткостью, которые превращают разветвленную механическую систему в цепную. Для полученной цепной механической системы вводится сквозная нумерация ее элементов (рис. 6), и решение получаемой системы линейных алгебраических уравнений осуществляется методом типа прогонки.
Отличие предлагаемой модификации метода прогонки, кроме введения фиктивных элементов, заключается в том, что в процессе как прямой, так и обратой прогонки выполняются условия присоединения боковых ответвлений в исходной разветвленной модели к ее основной цепи.
В процессе прогонки приходится S раз обращать матрицу (2A^+1) порядка, что значительно менее трудоемко, чем даже один раз обратить полную матрицу порядка 5'(2jY+1).
Рис. 6. Динамическая модель ДВС. Расчетная схема. Номера узлов: 11, 14, 15, 23, 24 — зубчатые колеса, 9, 17, 30 — демпферы, 1 — реактивная нагрузка, 8, 12, 16 — фиктивные узлы. Черные кружки соответствуют узлам основной цепи, белые — боковым ответвлениям.
7), Известен способ Сорокина учета внутреннего трения в материале при гармонических колебаниях, который сводится к введению комплексного модуля упругости [25, 20]. В рассматриваемом случае полигармонических колебаний этот способ в данной работе формально применяется к каждой гармонике в отдельности, и полученные результаты складываются. Такой подход, по крайней мере, не противоречит способу Сорокина, когда одна из гармоник становится превалирующей.
Расчет колебаний ДВС, схема которого изображена на рис. 6, с помощью пакета программ, разработанных на основании предложенного метода, выполняется в течение нескольких секунд, то есть практически мгновенно, в то время как расчет широко используемым методом Рунге-Кутты может занимать несколько десятков минут, что существенно при выполнении многовариантных расчетов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате:
— выбора адекватной модели механической упруго-демпферной системы с разрывными связями,
— применения метода Ныотона-Канторовича для решения рассматриваемой нелинейной задачи с использованием аналитической формулы для линеаризованной жесткости упруго-демпферной связи,
— представления решения линеаризованного уравнения в виде конечного гармонического ряда,
— использования метода Галеркина для составления блочной системы алгебраических уравнений относительно амплитуд гармонических колебаний,
— вычисления элементов матричных блоков с помощью эффективной программы «toeplitz» ,
— превращения сложной механической системы с разветвленной структурой в цегшую систему за счет введения дополнительных элементов с нулевой массой и жесткостью,
— решения полученной системы алгебраических уравнений с матрицей ленточного вида методом типа прогонки в настоящей работе предложен эффективный метод решения задачи о нелинейных колебаниях механической упруго-демпферной системы с разрывными связями, который, в частности, может быть применен к расчету колебаний (вибраций) ДВС при наличии люфтов в соединениях зубчатых колес.
Расчет колебаний ДВС, схема которого изображена на рис. 6, с помощью пакета программ, разработанных на основании предложенного метода, выполняется в течение нескольких секунд, то есть практически мгновенно, в то время как расчет широко используемым методом Рунге-Кутты может занимать несколько десятков минут, что существенно при выполнении многовариантных расчетов.
