Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея

Настоящая работа посвящена получению уравнений поверхностей в геометрии Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм, при помощи формирования и аналитического решения систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Задача отыскания поверхности по коэффициентам ее квадратичных форм возникла в евклидовой геометрии. Основоположниками теории поверхностей являются К. Ф. Гаусс (1777- 1855), Г. Монж (1746 — 1818), в РоссииJI. Эйлер (1707 — 1783), К. М. Петерсон (1828 — 1880), создателем современной русской школы дифференциальной геометрии является С. П. Фиников (1883 — 1964), см. [26], [53], [54], [63], [64], [65], [66], [68], [69]. Теорема об описании поверхности коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм является основной теоремой теории поверхностей евклидова пространства. Впервые основная теорема доказана К. М. Петерсоном в 1853 году в неопубликованной работе — кандидатской диссертации [26], с. 300−302- [53], с. 44- имеется современная публикация работ К. М. Петерсона [39], [40], (о работах К. М. Петерсона см. [26], с. 591). Первая публикация основной теоремы теории поверхностей принадлежит О. Бонне, 1867, [60]. Работы К. Ф. Гаусса [53], [65], К. М. Петерсона [39], [40], О. Бонне [60], Г. Майнарди [67], Д. Кодацци [61], [62], привели к получению условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений в доказательстве основной теоремы [53], с. 58, выражающиеся формулами Гаусса — Петерсона — Кодацци. Об исследованиях в этом вопросе см. также [53], [72]. Основная теорема носит название теоремы Бонне (в некоторых пособиях она называется теоремой Петерсона, см. [36], с. 202 и др.).

К.М. Петерсон доказал, что поверхность определяется заданием коэффициентов Е, Е', Е" первой квадратичной формы, главными кривизнами р и р7 и углом и одной из линий кривизны и координатной линии на поверхности. Последние три величины определяются коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Отсюда следует вывод об определяемости поверхности коэффициентами первой и второй квадратичных форм, [26], с. 30- [39].

Систему дифференциальных уравнений с частными производными для отыскания поверхности r (u, v) по коэффициентам первой квадратичной формы Edu2+2Fdudv+Gdv2 и второй квадратичной формы Ldu2+2Mdudv+Ndv2 можно получить, см. [6], с. 448−449, 451, 456, по деривационным формулам Гаусса и Вейнгартена.

Гии — IV" + rV" + Lm, ruv = Г}2Г" + Г V + Mm, rvv = T2ru + T222rv + Nm, mu = -GgnL + g12M) ru — (g12L + g22M) rv, k mv = —(gnM + g12N) ru — {g12M + g22N) rv.

Сюда нужно добавить выражения для символов Кристоффеля Г^- и символов gli через коэффициенты Е, F, G первой квадратичной формы поверхности и их производные. При этом система уравнений становится плохо обозримой. Далее в [6], с. 458, приводится схема доказательства теоремы Бонне.

Системы дифференциальных уравнений с частными производными с коэффициентами для получения функции r (u, v), описывающей поверхность, обычно приводятся частично в интересах обозримости системы в [44], с. 112- [43], с. 156, 157- [54], с. 288. В тензорном виде система дифференциальных уравнений с частными производными приводится в [36], с. 212:

Oif= п, ¦ V/, = hijn, t diii = —h'-fk.

Каждая строка здесь есть некоторая система уравнений. Доказательства теоремы Бонне содержатся в [44], с. 112−117- [63], с. 286−288- [36], с. 212−214- [56], с. 133−135- [43], с. 156−159. Как правило, при доказательстве сначала находятся векторы подвижного репера поверхности (P, ru, rv, rh), где Р точка поверхности т = - единичный вектор нормали поверхности, а затем и функция r (u, v), описывающая поверхность. В [56] вводятся инварианты I — U поверхности и по ним отыскивается поверхность, в [36] используются тензорные методы.

Теорема Бонне доказана в позапрошлом веке для поверхностей евклидова пространства. Для поверхностей в других пространствах, в частности галиле-ева пространства, аналогичные утверждения, видимо, подробно не изучались.

Геометрия пространства Галилея изучена еще недостаточно глубоко. Видимо, трудности в ее изучении связаны со своеобразием галилеевой метрики (точнее, квазиметрики, т.к. она не является метрикой в традиционном смысле см. [28]), хотя имеется настоятельная потребность приложений геометрии Галилея в механике Галилея-Ньютона, см., например, книгу В. И. Арнольда [1]. В указанной книге автор вводит понятие галилеевой структуры, [1], с. 13. Га-лилеева пространственно — временная структура включает в себя следующие три элемента:

1) Мир — четырехмерное аффинное пространство А4. Точки А4 называются мировыми точками или событиями. Параллельные переносы мира А4 образуют линейное пространство R4.

2) Время — линейное отображение t: R4 —> R линейного пространства параллельных переносов мира на вещественную «ось времени». Промежутки времени от события, а Е А4 до события be А4 называется число t (b-a). Если t (b — а) = 0, то события, а и b называются одновременными.

Множество событий, одновременных друг с другом, образуют трехмерное аффинное подпространство в А4. Оно называется пространством одновременных событий А3.

Ядро отображения t составляют параллельные переносы А4, переводящие какое-нибудь (и тогда любое) событие в одновременное с ним. Это ядро является трехмерным линейным подпространством R3 линейного пространства R4.

Галилеева структура включает в себя еще один элемент.

3) Расстояние между одновременными событиями р (а, Ь) = ||а — Ь|| = J (a-b, ba), a, b е А3, заданное скалярным произведением в пространстве R3. Это расстояние превращает каждое пространство одновременных событий в трехмерное евклидово пространство Е3.

Пространство А4, снабженное галилеевой пространственно — временной структурой, называется галилеевым пространством.

Изложения геометрии плоскости Галилея содержатся в работах И.М. Яг-лома и Б. А. Розенфельда [58], [50]. По терминологии в [48], галилеева метрика относится к квазиметрикам и геометрия Галилея относится к квазиэллиптическим и квазигиперболическим пространствам, см. [49], с. 322 — 324. Первой работой по таким геометриям является статья В. Бляшке [59]. Д. Соммервиль в это время провел классификацию пространств с проективной метрикой, где выделены и пространства с квазиметриками, [71]. Важнейшим из 2- квазиэллиптических пространств является галилеево пространство. В 4-мерном пространстве этого типа реализуется геометрия пространства-времени классической механики Галилея — Ньютона, чем и объясняется название этого пространства. Галилеево пространство рассматривалось JI. Зильберштейном в 1925 году, [70], и Александром Петровичем Котельниковым в 1927 году, [29].

Свойства плоскости Галилея исследованы Н. М. Макаровой в [30], [31], [32], [33]. Имеется изложение этой планиметрии [58], изданное в 1969 году. В научной литературе рассматриваются и близкие к плоскости Галилея полуевклидова плоскость [7], [51], флаговая плоскость [48], [51]. Полученные до 1969 года результаты актуальны до сих пор, о чем говорит изданная недавно книга [58] на английском языке.

В 1986 году опубликованы работы А. И. Долгарева по одулярной галилее-вой геометрии [9], [11]. По 3-мерной геометрии Галилея опубликована работа [13], по одулярной галилеевой геометрии (в том числе и по коммутативной геометрии Галилея) имеется монография [10]. Одулярные галилеевы геометрии строятся в схеме Г. Вейля на основе аффинного пространства или на 3-мерном действительном многообразии R3. (Аксиоматику Г. Вейля см. в [4]). Современное состояние одулярной галилеевой геометрии охарактеризовано в докладах на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо, проведенной 5−11 сентября 2006, [12].

В работах А. И. Долгарева [10], [13], была построена геометрия 3-мерного пространства — времени Галилея. Эта геометрия построена на 3-мерном аффинном пространстве посредством введения галилеева скалярного произведения векторов. При этом линейное пространство аффинного пространства превращается в галилеево векторное пространство, а аффинное пространство становится пространством Галилея. Выделены временная и пространственная составляющая векторов. Пусть г = (t, x, y) произвольный вектор, тогда первая координата t есть время, координаты х, у являются пространственными. Если t Ф 0, то галилеев модуль г вектора f равен t[, если t = 0, то г — /х2 + у2. Это галилеева норма вектора г. Галилеева норма относится к квазинормам, ее свойства отличны от наиболее распространенной евклидовой нормы. Для двух векторов т = {t, Xi, yi) и Г2 = ^2,^2²) имеем вектор суммы г" 1+7*2 = (ti+t2,X+X2,yi+y2). Векторы неколлинеарны при f ф mf2, где m некоторое число. Если t > 0 и ^ > 0, то для временных составляющих векторов выполняется равенство t + t2 = ti + t2, что означает для векторов |г1+г2| = f[ + r2. Следовательно, в галилеевом векторном пространстве существуют неколлинеарные векторы г[ и Г2 с указанным свойством. Таким образом, для векторов с галилеевой нормой не выполняется неравенство треугольника, согласно которому в евклидовом векторном пространстве для не-коллинеарных векторов имеется неравенство + гг| < |п| + |гг|. Пусть, А = (а, а1, а2), В = (Ь, Ь1, Ь2) произвольные точки пространства — времени Галилея. Они определяют вектор АВ — (b — а, Ь1 — а1, Ъ2 — а2). Галилеевым расстоянием АВ между точками, А к В называется.

АВ = |Ь — а, если b ф а;

АВ = J (bl — о1)2 + (Ь2 — а2)2, если b = а.

Задача, которая рассматривается в настоящей работе, эта задача получения и исследование уравнений поверхности в 3-х мерном пространстве-времени Галилея, по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм. Это инвариантное определение поверхности — независящее от выбора системы координат.

Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных. Составляется два вида систем дифференциальных уравнений:

• на основе деривационных формул поверхности;

• на основе определений коэффициентов первой и второй квадратичных форм поверхности.

При заданных начальных условиях указанные коэффициенты определяют единственную поверхность.

В настоящей работе решается задача, имеющая большое значение в геометрии Галилея. По деривационным формулам поверхности и по формулам коэффициентов квадратичных форм поверхности составлены системы дифференциальных уравнений с частными производными. В результате аналитического решения этих систем уравнений получены компоненты уравнений поверхности, то есть системы дифференциальных уравнений задают поверхность инвариантно. Такое задание поверхности в евклидовом пространстве получено в конце XIX века независимо К. М. Петерсоном и О. Бонне. В настоящей работе решена указанная задача для поверхности пространствавремени Галилея. В других пространствах задача видимо не рассматривалась. В диссертации рассмотрен случай, в котором коэффициенты квадратичных форм поверхности постоянны. При этом изменились условия интегрируемости систем дифференциальных уравнений.

Решаются аналитически следующие системы дифференциальных уравнений: х 1 + У1 = Е, хии.

ШитА-1/.

2 ехи у/ёуи и система уравнении.

Уии 2.

Xut ~ 2ЕХи ~ ~ЗЕ)Уи1 Уut = 2ЕУп ~JeXuI Q.

Xtt = Q.

Уи = ~JEXu'I x2u + y2u = E, иУии Уи%ии ~ AVE,.

ХиУы ~ yuxut = Ву/Ё, ХиУи — yuXtt = CVE.

1.25).

1.40).

Здесь E = E (u, t), A = A (u, t), В = B (u, t), С = C (u, t) коэффициенты квадратичных форм поверхности.

В качестве приложения метода решения составленных систем дифференциальных уравнений с частными производными приведены примеры решений систем уравнений, которые имеют заданные коэффициенты.

Содержание работы по главам.

Работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Первая глава посвящена решению системы дифференциальных уравнений с частными производными в общем виде, инвариантно описывающая регулярную поверхность 3-мерного пространства — времени Галилея.

В разделе 1.1 приводятся необходимые сведения по геометрии 3-мерного пространства — времени Галилея, известные из литературы: галилеево скалярное произведение векторов, галилеева норма векторов (свойства которой отличны от свойств евклидовой нормы) — выписаны регулярные поверхности в естественной параметризации с галилеевыми касательными плоскостями. Выделены временная и пространственная составляющие поверхности. Пространственная составляющая поверхности, которая является проекцией поверхности на область евклидовой плоскости, однозначно определяет поверхность пространства — времени Галилея. Выписана первая квадратичная форма поверхности. Она определяет галилееву метрику на поверхности и метрическую функцию поверхности. Приведена вторая квадратичная форма поверхности. Она определяет кривизну поверхности. Выписаны деривационные формулы поверхности и формулы Гаусса — Петерсона — Кодацци.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. — М.: Наука, 1989. — 472с.

2. Сборник задач по дифференциальной геометрии / И. В. Белько и др.]. -М.: Наука, 1979. 272с.

3. Бляшке В.

Введение

в дифференциальную геометрию / В. Бляшке. М.: Гостехиздат, 1987. — 224с.

4. Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности / Г. Вейль. 2-е изд., — М.:Едиториал УРСС, 2004. -456 с.

5. Векуа И. Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов / И. Н. Векуа. М.: Наука, 1978. — 296с.

6. Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия / М. Я. Выгодский. М.-JL: Гостехиздат, 1949. — 512с.

7. Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л. И. Головина. 4-е изд., — М.: Наука, 1985. — 392с.

8. Сборник задач по дифференциальной геометрии / А. А. Гусак и др.]. -Минск, 1963. 108с.

9. Долгарев А. И. ЕМ-пространство / А. И. Долгарев // Исследования по теории поверхностей в многообразиях знакопостоянной кривизны. Л.: ЛГПИ, 1987. — С. 17−27.

10. Долгарев А. И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. / А. И. Долгарев. Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003. Препринт 63. — 116с.

11. Долгарев И. А. Поверхности одулярного галилеева пространства с диссоном / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2005. — N6 (21). — С. 84−99. -(Естественные науки).

12. Долгарев И. А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных за-ведений. Поволжский регион. 2006. — N5 (26). — С. 51−60. -(Естественные науки),.

13. Долгарев И. А. Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2007 -N6. — С. 17−31. — (Естественные науки).

14. Долгарев И. А. Движение материальной точки по поверхности пространства Галилея / И. А Долгарев, Ю. Г. Смирнов // Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики: межвузовский сборник научных работ Пенза: изд-во ПГТА, 2007. — С. 3−6.

15. Долгарев И. А. Основные уравнения поверхностей пространства с диссоном / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Дифференцируемые многообразия фигур. Межвуз.тематич. сб. научн. трудов. Вып. 38. -Калининград: КГУ, 2007. Принята к печати.

16. Долгарев И. А. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Известия высш. учебных завед. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2007. принята кпечати.

17. Долгарев И. А. Некоммутативное галилеево пространство с сибсоном и с 2-мерным временем / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. Принята к печати.

18. Дубровин Б. А. Современная геометрия / В. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. М.: Наука, 1979. — 760с.

19. История отечественной математики: в 4 т. Т.2. / под ред. E.JI. Орлик, Т. С. Мельник. Киев: Наукова думка, 1967. — 616с.

20. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. Т1 — 344с. Т2 — 416с.

21. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976. — 544с.

22. Котельников А. П. Принцип относительности и геометрия Лобачевского. / А. П. Котельников. В кн.: In memoriam N. I. Lobatschevskii, Т. 2. Казань, 1927. — С. 37−66.

23. Макарова Н. М. Геометрия Галилея Ньютона: в 3 ч. / Н. М. Макарова // Ученые записки Орехово-Зуевского пединститута 1, вып. 1 (1955), С. 83−95- 7, вып. 2 (1957), С. 7−27- 29−59.

24. Макарова Н. М. Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов. Дис,. канд. физ.-мат. наук. / Н. М. Макарова // Л.: ЛГПИ, 1962 — 98с.

25. Макарова Н. М. К теории циклов параболической геометрии на плоскости / Н. М. Макарова // СМЖ 2, N 1, 1961. С. 68−81.

26. Макарова Н. М. Кривые второго порядка в плоской параболической геометрии / Н. М. Макарова // Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии (Ученые записки Моск. гос. пед. ин-та им. Ленина). М., 1963. С. 222−251.

27. Задачи по геометрии / С. П. Новиков и др.]. М.: Изд-во МГУ, 1978. -164с.

28. Новиков С. П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии / С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. М.: Наука, 1987. — 432с.

29. Норден А. П. Теория поверхностей / А. П. Норден. М.: Гостехиздат, 1956. 260с.

30. Павлов Д. Г. Хронометрия трехмерного времени / Д. Г. Павлов // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 2004. — N 1. — С. 20 -32.

31. Пелипенко М. Элементы геометрии Галилея / М. Пелипенко // Сб. трудов 48 научн. конф. ТГПИ. Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2005. С. 18 — 20.

32. Петерсон К. М. Об изгибании поверхностей. Рассуждение на соискание степени кандидата /К.М. Петерсон // Историко-математические исследования, вып. V, М.: Гостехиздат, 1952. С. 87−133.

33. Петерсон К. М. Об изгибании поверхности / К. М. Петерсон // Историко-математические исследования, вып. VI, М.: Гостехиздат, 1953.

34. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными // И. Г. Петровский. М — Л.: Гостехиздат, 1950 — 303с.

35. Погорелов А. В. Геометрия. / А. В. Погорелов. М.: Наука, 1983. — 288с.

36. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия / А. В. Погорелов. М.: Наука, 1974. — 176с.

37. Позняк Э. Г. Дифференциальная геометрия / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин.- М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

38. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский.- М.: Гостехиздат, 1956. 420с.

39. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М.: Наука, 1967. — 664 с.

40. Розендорн Э. Р. Теория поверхностей / Э. Р. Розендорн. Изд. 2. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 304 с.

41. Розенфельд Б. А. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства / Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский. -М.: МЦНМО, 2003. — 560 с.

42. Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии / Б. А. Розенфельд. -М.: Наука, 1976. 408с.

43. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии / Б. А. Розенфельд, И. М. Яглом // В кн. Энциклопедия элементарной математики. Книга V. Геометрия. С. 394 — 475.

44. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства / Б. А. Розенфельд. М.: Наука, 1969. — 548с.

45. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. -Изд. 8.-М.: Физматлит, 1959. 468с.

46. Стройк Д. Я. Очерк истории дифференциальной геометрии (до XX столетия) / Д. Я. Стройк. Изд. 2. — М.: КомКнига, 2006. — 80с.

47. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии // С. П. Фиников. -Изд. 2. М.: КомКнига, 2006. — 344с.

48. Хачатурян А. В. Геометрия Галилея / А. В. Хачатурян. М.: Изд. МЦНМО, 2005. — 36с.

49. Щербаков Р. Н. Краткий курс дифференциальной геометрии / Р. Н. Щербаков, А. А. Лучинин. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. — 250с.

50. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. / Л. Э. Эльсгольц. Изд. 2. — М.: Наука, 1969. — 424с.

51. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / И. М. Яглом. М. Наука, 1969. — 394с.

52. Blaschke W. Eukliddische Kinematik und nichteuklidische Geometrie. / W. Blaschke Math. Phys., 1911, 60, 61−91.

53. Bonnet O. Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface don-nee./O. Bonnet Journ. Ec. Polyt., 24 (cah.41,1865). — p. 209−230- 25(cah.42, 1867), p.l.

54. Codazzi D. Memorie relatif a l’application des surfaces les unes sur les autres. /D. Codazzi Mem. pres. par div. sav. 27(1882).

55. Codazzi D. Sulle coordinate curvilinee d’una superficie e dello spazio, I, II, III. /D. Codazzi// Annali di Matem. 1(1867−1868), p.310- 2(1868−1869), p. 101 119, 269−287.

56. Euler L. De solidis quorum superficiem in planum explicare licet / L. EulerNova Comm. Petrop. 16, 1771. p. 3−34.

57. Gauss C.F. Neue algemeine Untersuchungen uber die krummen Flachen. /C.F. Gauss (1825), Gauss Werke, VIII, — S. 408.

58. Gauss C.F. Untersuchungen uber hohere Geodasie, I, II. / C.F. Gauss Gotin-gen, Abh. 2 (1844), 3 (1847) — Gauss Werke, IV, — S. 259−300, 301−340.

59. Mainardi G. Su la teoria generale delle superficie. /G. Mainardi Giorn. Istit Lombardo, 9(1856). — p. 385−398.

60. Monge G. Memoire sur les developpees, les rayons de courbures et les dif-ferents genres d’inflexion des courbes a double courbure. /G. Monge Mem. div. sav. 1785, — p. 511−550.

61. Monge G. Sur lesproprietes de plusieurs genres de surfaces courbes, parti-culierement sur celles des surfaces developpbles, avec une application a la theorie des ombres et pemombres. /G. Monge Mem. div. sav. IX. 1780, -p.595−624.

62. Silberstein L. Projektive geometry of Galilean space-time. / L. SilbersteinPhilos. Mag., 1925, 10. C. 681−696.

63. Sommerville D.M.Y. Classification of geometries with projective metrics. /D.M.Y. Sommerville Proc. Edinburg Math. Soc., 1911, 28, 25−41.

64. Stackel P. Bibl. mathematica (3)/ P. Stackel 2(1901).