Метод характеристик в теории уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в теории управления

Объектом исследования диссертации являются уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби [91]: дш{г>х)1дЬ + Н&х, Вхи>{Ъх)) = 0, (0.1) где аОеПг = (0, Т) хЛп, Вхш (Ь, х) = {дш{1, х)/дх,., х)1дх^.

В диссертации рассматривается следующая краевая задача Коши для уравнения (0.1): ш (Т, х) = а (х), V х <Е К1. (0.2).

Уравнения в частных производных первого порядка возникают при решении большого числа прикладных (инженерных, управленческих, навигационных, экономических, химических, биологических) и теоретических задач. Так, хорошо известны:

• в теоретической механике — уравнение Гамильтона-Якоби [8];

• в теории оптимального управления — уравнение Беллмана [230];

• в теории дифференциальных игр — уравнение Айзекса [263];

• в геометрической оптике — уравнение эйконала [91];

• в газовой и гидродинамике — предельные уравнения Бюргерса и Хопфа [276, 262, 143, 250]- и т. д.

Одним из основных методов исследования и решения таких уравнений долгие годы являлся метод характеристик, предложенный О. Коши (А.СаисЬу) в первой половине XIX века. (См., например, [91, 131, 150]). Этот метод сводит решение краевых задач для уравнений в частных производных первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, называемой характеристической системой.

Параметрическое семейство решений этих обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых характеристиками Коши, заполняет график классического (гладкого) решения уравнения Га-мильтона-Якоби и описывает векторное поле градиентов этого решения. Другими словами, график классического решения уравнения Гамильтона-Якоби (0.1) инвариантен относительно решений характеристических уравнений.

Метод характеристик применим для построения классического решения в краевых задачах для уравнения Гамильона-Якоби в тех случаях, когда характеристики Коши не пересекаются.

Однако, даже в задачах (0.1), (0.2) со сколь угодно гладкими входными данными: граничной функцией сг (-) и гамильтонианом #(?, я, р), — в случае нелинейного по р = Бхш гамильтониана, характеристики Коши пересекаются вне достаточно малой окрестности краевых условий. И вне этой окрестности классического решения уравнения Гамильтона-Якоби не существует.

В то же время, в задачах теоретической механики, оптимального управления, механики сплошных сред и многих других изучаются негладкие (недифференцируемые на множестве меры нуль) или разрывные функции, имеющие следующий содержательный смысл: например, времени оптимального быстродействия [139]- поверхности кристаллов, растущих в насыщенном растворе [250]- негладкого фронта распространения световой волны в неоднородной, композитной среде [122, 242]- и т. д.

Эти негладкие функции определены в достаточно больших областях Пу или даже во всем фазовом пространстве задачи. Причем известно, что в точках дифференцируемости, т. е. почти всюду, они удовлетворяют соответствующему уравнению Гамильтона-Якоби. Они совпадают с классическим решением этого уравнения в тех областях, где это решение определено. Таким образом, эти функции могут быть истолкованы, как обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби.

Однако нетрудно привести примеры (см. [250]) задач Коши, в которых существует бесконечно много функций, удовлетворяющих уравнению Гамильтона-Якоби почти всюду. Поэтому корректное понятие обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби следует вводить таким образом, чтобы оно сохраняло содержательный смысл и было единственным.

Эта потребность стимулировала активные исследования уравнений ГамильтонаЯкоби в 50-е — 70-е годы XX века. Задачи, связанные с изучением «слабых» решений уравнений в частных производных первого порядка, исследовались в работах Н. С. Бахвалова, Г. Эванса, У. Флеминга, И. М. Гельфанда, С. К. Годунова, Э. Хопфа, О. А. Ладыженской, Р. Лакса, О. А. Олейник, Б. Л. Рождественского, А. А. Самарского, СЛ. Соболева, А. Н. Тихонова и многих других известных математиков. (См. библиографию в конце диссертации и цитируемые в ней работы). Эти исследования опирались, в основном, на интегральные методы и интегральные свойства обобщенных решений.

Среди исследований этого периода отметим результаты С.Н. Круж-кова, которые были получены для уравнений Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом (см., например, [83]). В его работах были заложены основы систематического применения субдифференциального аппарата выпуклого анализа для исследования негладких решений уравнений в частных производных. В работе Ф. Кларка [238] для исследования обобщенного решения уравнения Беллмана было предложено использование другого нового аппарата негладкого анализа — обобщенных производных по направлению.

Дальнейшее развитие выпуклого и негладкого анализа позволило применять новые результаты и методы, основанные на обобщениях понятия дифференцируемости, к исследованию обобщенных решений уравнений в частных производных.

В ранние 80-е, М. Крэндалл и ПЛ. Лионе ввели понятие вязкостного решения (viscosity solution), существование которого доказывалось с помощью метода исчезающей вязкости, при стремлении к нулю малого параметра-коэффициента при операторе Лапласа. За первыми публикациями [278, 244, 245] последовала все расширяющаяся серия статей многих авторов. В рамках этой теории доказаны теоремы существования и единственности для различных типов уравнений первого порядка, эллиптических и параболических уравнений и различных типов краевых задач. Активно изучаются различные приложения к задачам управления, дифференциальным играм. Обзоры результатов теории вязкостных решений можно найти в работах [246, 254, 221].

В настоящее время большое внимание многочисленные авторы уделяют вопросам построения аналитических, конструктивных и численных методов построения вязкостных решений и приложения теоретических результатов к решению различных химических, экономических, биологических и других прикладных задач. Упомянем здесь такие работы, как [295, 224, 223, 264, 250].

Другая известная концепция обобщенного решения на базе идем-потентиого анализа, предложена в работах В. П. Маслова и его учеников (см., например, [68, 109]. Она подобна классическим подходам к определению обобщенного (слабого) решения в математической физике. Основное отличие состоит в том, что традиционная структура поля над R с операциями, а + Ь и, а • b заменяется структурой полукольца с операциями o0fi = min (a, 6), а © Ъ — а + Ь. С помощью этого подхода, линеаризующего выпуклые задачи, исследовались уравнения Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом и их приложения к задачам математической физики.

Исследования данной диссертации проводились в рамках концепции минимаксного решения, предложенной А. И. Субботиным [151, 152, 297]. Концепция минимаксного решения имеет свои истоки в теории позиционных дифференциальных игр [73, 75, 76, 269], развитой в школе H.H. Красовского и базирующейся на минимаксных оценках и операциях. В начале 70-х H.H. Красовский и А. И. Субботин ввели понятия и-стабилъных и v-стабилъных функций, которые мажорируют и, соответственно, минорируют функцию цены дифференциальной игры. Надграфики и-стабилъных и подграфики v-стабилъных функций содержат траектории дифференциальных включений специальных типов (так называемых уравнений в кон-тиигенциях). Причем цена дифференциальной игры оказывается единственной функцией, которая одновременно является и-стабильиой и v-стабилъиой. Известно также, что функция цены является обобщенным решением уравнения Гамильтона-Якоби-Ай-зекса. Свойство инвариантности надграфика и подграфика функции цены относительно уравнений в контингенциях было обобщено и положено в основу определения минимаксного решения уравнения в частных производных.

Понятие минимаксного решения можно определить различными способами, в том числе в инфинитезимальной форме, при помощи средств негладкого анализа: производных по направлениям, конусов касательных направлений, суби супер-дифференциалов и т. д. Формулировки этих определений и доказательство их эквивалентности даны, например, в [152, 297]). Все эти определения описывают, по сути, свойство графика минимаксного решения быть заполненным траекториями так называемых характеристических дифференциальных включений, т. е. обобщенными характеристиками Коши. Определение минимаксного решения можно трактовать, как релаксацию и обобщение классического метода характеристик Коши.

В рамках теории минимаксных решений доказаны теоремы существования и единственности, корректности и содержательности понятия минимаксного решения для различных типов краевых задач уравнений в частных производных первого порядка [182, 1, 154, 21, 39, 163, 98, 99, 180]. Развиты конструктивные и численные (в том числе сеточные) методы решения этих задач [164, 161, 172, 183, 184, 40, 36].

Особое место в приложениях теории минимаксных решений занимают исследования задач оптимального управления и дифференциальных игр, где минимаксное решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса совпадает с функцией цены. (См., напимер, [269, 151, 193, 195, 194, 152, 311, 273, 24]). Функция цены каждой точке фазового пространства задачи ставит в соответствие оптимальный результат, достижимый для нее, как для начальной. Кроме того, она играет ключевую роль в построении оптимальных и почти оптимальных способов управления по принципу обратной связи (см. [230, 263, 139, 232, 251, 102, 72, 256, 249, 63]). Существенный вклад в развитие концепции позиционного гарантированного управления, наблюдения, оценивания и динамической реконструкции сыграли работы H.H. Красовского [73, 76, 268], А. Б. Куржанского [37, 92, 274], Ю. С. Осипова [87, 125, 271], А. И. Субботина [75, 162, 165] и их учеников (см. также библиографию в конце диссертации).

При исследовании минимаксных решений используются методы теории дифференциальных игр, динамической оптимизации и негладкого анализа. В то же время, исследования минимаксных решений стимулируют развитие этих новых разделов математики. (См., например, [64, 239]).

Важным результатом теории обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка является доказательство нетривиального факта эквивалентности понятий минимаксного и вязкостного решений (см. [165, 297]).

Данная диссертация посвящена дальнейшему развитию и новым приложениям теории минимаксных решений к задачам оптимального управления и дифференциальным играм. Поэтому метод характеристик является ключевым в этих исследованиях и вынесен в заголовок диссертации.

В диссертации исследуются следующие проблемы:

• для задачи оптимального управления с функционалом типа Больца — доказательство, в рамках теории минимаксных решений уравнения Беллмана, следующих результатов:

— принципа максимума Понтрягина,.

— необходимых и достаточных условий оптимальности и.

— метода динамического программирования;

• обоснование способов построения разрешающих эту задачу оптимальных программных управлений и оптимального синтеза;

• исследование роли классического метода характеристик Коши в нахождении локально-липшицевого решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана;

• исследование возможности сингулярной аппроксимации минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби с помощью минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби, рассматриваемых в расширенном фазовом пространстве и сингулярно возмущенных по части импульсных переменных;

• исследование роли унификации обобщенных характеристик Коши при получении достаточных условий сингулярной аппроксимации;

• применение сингулярной аппроксимации минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса для построения асимптотик дифференциальных игр с быстрыми и медленными движениями;

• исследование функции цены в диффузионных дифференциальных играх с частично вырожденным шумом и описание ее свойств стабильности в терминах обобщенных стохастических производных минимаксного решения параболического уравнения Гамилътона-Якоби-Азекса',.

• описание представлений обобщенных стохастических производных для отдельных классов негладких функций.

Остановимся подробнее на конкретном содержании диссертации. Работа состоит из пяти глав, разбитых на двадцать параграфов.

Известные результаты, используемые в диссертации, носят название утверждений. Вспомогательные результаты, полученные в диссертации, носят название лемм, а основные результаты сформулированы в виде теорем. Все утверждения, леммы и теоремы имеют двойную нумерацию: римская цифра означает номер главы, а арабская — порядковый номер либо утверждения, либо леммы, либо теоремы в этой главе. Параграфы имеют сплошную нумерацию. Подразделы параграфов и формулы имеют свою двойную нумерацию, где первая цифра означает номер параграфа, а вторая — номер подраздела или номер формулы в этом параграфе, соответственно.

В главе I диссертации приводятся основные понятия теории уравнений ГамильтонаЯкоби.

• В параграфе § 1 определяются понятия классического и обобщенного (вязкостного) решений уравнения Гамильтона-Якоби.

В пп.1.1 формулируется задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, дается определение классического решения этой задачи и описывается метод характеристик Коши для построения классического решения. (Подробное изложение этого метода можно найти в монографиях [91, 131]). Обсуждаются границы применения этого метода. Формулируются основные требования к входным данным Н (Ь, х, р) и ст{х) задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, при которых эта задача расматривается в диссертации. Эти требования стандартны для теории обобщенных (минимаксных и вязкостных решений).

В пп.1.2 приводится определение обобщенного вязкостного решения рассматриваемой задачи Коши [244].

• Параграф § 2 посвящен понятию непрерывного минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.

В пп.2.1 вводится определение комплексов характеристических дифференциальных включений, определяемых гамильтонианом Н^, х, р) рассматриваемой задачи, и определяются обобщенные характеристики Коши, как решения этих включений. Определяется свойство слабой инвариантности множества относительно дифференциального включения. Приводятся два эквивалентных определения минимаксного решения в задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с помощью обобщенных характеристик Коши [297].

В пп.2.2 приводятся теоремы существования и единственности непрерывного минимаксного решения в рассматриваемой задаче Коши [297].

В пп.2.3 приведены понятия негладкого анализа, обобщающие свойство дифференцируемости для липшицевых функций: полупроизводные Дини по направлениям, регулярные суби супердифференциалы [44, 238, 141, 117, 45, 240, 290].

В пп.2.4 приведены понятия слабой и сильной инвариантности множества относительно дифференциального включения [260, 214, 240, 290].

В пп.2.5 приводится инфинитезимальное определение непрерывного минимаксного решения рассматриваемой задачи Коши в терминах полупроизводных Дини по направлениям и утверждение об эквивалентности этого определения, определений из пп. 2.1 и определения вязкостного решения в инфинитезималыюй форме [297].

1. Адиатуллина P.A., Тарасьев A.M. Дифференциальная игра неограниченной продолжительности. // Прикл. матем. механ., 1987. Т.51. 531−537.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

3. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987, 366 с.

4. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979, 430 с.

5. Алексейчик М. И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры.//Сборник научных трудов Мат. анализ и его прилоэюения. Ростовский-на-Дону госуниверситет, 1975, Т.7, С.191−199.

6. Альбрехт Э. Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.б. No.l. С.27−38, Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

7. Альбрехт Э. Г., Шелементьев Г. С. Лекции по теории стабилизации. Свердловск: Изд-во Уральского гос. университета, 1972, 282 с.

8. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

9. Арнольд В. И. Особенности каустик и волгшвых фронтов. М.: Фазис, 1996, 444 с.

10. Арутюнов A.B., С. М. Асеев. Принцип макимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями. // Докл. РАН. 1994. Т.334. No.2. 134−137.

11. Бахвалов Н. С. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

12. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967, 224 с.

13. Батухтин В. Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения. // Доклады АН СССР, 1972, Т.27, No.l.

14. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. литературы., 1960. 400 с.

15. Беллман Р., Кал аба Р. Математическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969, 118 с.

16. Бердышев Ю. И. Качественный анализ областей достижимости. // Космические исследования. 1996. Т.34. No.2. 141−144.

17. Благодатских В. И., А. Ф. Филиппов. Дифференциальные включения и оптимальное управление'.// Труды Матем. института им. Стеклова. 1985. Т.169. 194−252.

18. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 308 с.

19. Боткин Н. Д., Зарх М. А., Кейн В. Н., Пацко B.C., B.JI. Турова. Дифференциальиые игры и задачи управления самолетом при ветровых помехах.// Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. No.l. С. 68−76.

20. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

21. Брыкалов С. А. Конфликтно управляемая система с нефиксированным моментом окончания. / / Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 313−319. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

22. Васильева А. Б., А. Ф. Бутузов. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

23. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

24. Вахрушев В. А., В. Н. Ушаков. О вычислительной реализации процедур управления с поводырем. // Прикл. математика и механика. 2002. Т.66. No.2. С.228−238.

25. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 512 с.

26. Вязгин В. А. К обоснованию достаточных условий методами Вейерштрасса и Гамильтона-Якоби-Беллмана. //Автоматика и телемеханика. 1884. Т.4., С. 31−37.

27. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971, 508 с.

28. Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными двио/сениями. М.: Наука, 1991, 224 с.

29. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд.-во Тбилисскоко университета, 1975, 256 с.

30. Гамкрелидзе Р. В., Аграчев A.A., С. А. Вахрамеев. Обыкновенные дифференциальные уравнения на векторных расслоениях и хронологическое исчисление. // Итоги науки и техн., Современные проблемы математики. Нов. достиж. / ВИНИТИ. 1989. Т.35. 3−107.

31. Гасилов B. JL, Костоусов В. Б. Методы получения и представления эталонной информации о геофизических полях // Гироскопия и навигация. 1996. Т.4. No.15. 64−65.

32. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14. No.2 (86). С.87−158.

33. Геращенко Е. И., С. М. Геращенко. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975.

34. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.

35. Григоренко Н. Л., Киселев Ю. Н., Лагунов Н. В., Силин Д. Б., Н. Г. Тринько. Методы решения дифференциальных игр. Математическое моделирование.// M.: Изд-во Московского университета. 1993. 332 с.

36. Григорьева C.B., Тарасьев A.M., Успенский A.A., В. Н. Ушаков. Конструкции теории дифференциальных игр при решении уравнений Гамильтона-Якоби. // Труды Института матем. и мех. УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 320−336. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

37. Гусев М. И., А. Б. Куржанский. К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений. I, II. / /Дифференц. уравнения. 1971. Т.7. No.9. 1591−1602- No.10. 1789−1800.

38. Гусев M.И. О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания. // Доклады Акад. наук, 1992. Т.322. No.5. 832−835.

39. Гусейнов Х. Г., В. Я. Джафаров. Левосторонние решения уравнения Гамильтона-Якоби. // Труды Института матем. и мех. УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 337−350. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

40. Гусейнов Х. Г., В. Н. Ушаков. О построении дифференциальных включений с предписанными свойствами. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, No.4. 438−445.

41. Гусейнов Х. Г., Субботин А. И., В. Н. Ушаков. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления.// Проблемы управления и теории информации. 1985. Т. 14. No.3. 1−14.

42. Гусятников П. Б. Теория дифференциальных игр. М.: Изд-во МФТИ, 1982, 99 с/.

43. Данилин А. Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи. // Доклады Академии наук. 1999. Т.369. No.3. 305−308.

44. Демьянов В. Ф., В. Н. Малоземов.

Введение

в минимакс. М.: Наука, 1972. 363 с.

45. Демьянов В. Ф., A.M. Рубинов. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990, 432 с.

46. Джафаров В. Я. Обустойчивояти гарантированного результата в задаче позиционного управления. // Доклады АН СССР, Т.285. No.l. 27−31.

47. Дмитриев М. Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифферепц. уравнения., 1985, Т.21, No.10, 1693−1698.

48. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приблио/сения и анализ чувствительности., М.: Мир, 1987, 156 с.

49. Дубовицкий А. Я., A.A. Милютин. Задачи на экстремум при наличии ограничений. // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149. No.4. 759−762.

50. Жаутыков O.A., Жуковский В. И., С. Жаркынбаев. Дифференциальные игры нескольких лиц. Алма-Ата: Наука, 1988, 320 с.

51. Завалищин С. Т., А. Н. Сесекин. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991, 256.

52. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, М.- Наука, 1985.

53. Зеликина Л. Ф. Универсальные многообразия и теоремы о магистрали для некоторого класса задач оптимального управления. // Докл. АН СССР, 1975. Т, 224, No.l.

54. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 496 с.

55. Иванов А. Г. Задача о брахистохроне в центральном поле тяготения. // Сборник научных трудов Института математики и механики УрО РАН. Алгоритмы и программные средства паралелльных вычислений. 1998. No.2. 95−109.

56. Ильин A.M. Пограничный слой. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования./ Т.34. М.: ВИНИТИ, 1988.

57. Ильин A.M., Калашников A.C., О. А. Олейник. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. паук, 1962, Т.17, No.3 (105). 3−146.

58. Иоффе А. Д., В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974, 480 с.

59. Канторович Л. В., Г. П. Акилов. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

60. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966, 260 с.

61. Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во Уральской гос. академии путей сообщения, 1998, 222 с.

62. Ким A.B., Пименов В. Г. О применении i-гладкого анализа к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений. // Сборник научных трудов ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. 119−142. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

63. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

64. Кларк Ф., Ю. С. Ледяев. Новые формулы конечных приращений. // Докл. Российск. акад. наук, Т.331. No.3. 275−277.

65. Клейменов А. Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

66. Климушев А. И., H.H. Красовский. Равномерная асимптотическая устойчивость систем уравнений с малым параметром перед производными. //Прикл. матем. мех. 1962. Т.25. С.1011−1025.

67. Колмогоров А. Н., C.B. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 С.

68. Колокольцов В. Н., В. П. Маслов. Идемпотентный анализ и его применения в оптимальном управлении. М.- Наука, 1994.

69. Кононенко А. Ф. Структура оптимальной стратегии в динамических управляемых системах. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1980. Т.20, No.5. 1105−1116.

70. Короткий А. И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах. // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика. 1991. No.2. 154−164.

71. Красовский А. Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала. // Докл. АН СССР. 1980. Т.253. No.6. С.1303−1307.

72. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

73. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

74. Красовский H.H., А. И. Субботин. Альтернатива для игровой задачи сближения.// Прикл. матем. и мех. 1970. Т.34. С.1005−1022.

75. Красовский H.H., А. И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

76. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

77. Красовский H.H., Н. Ю. Лукоянов. Уравнение типа Гамильтона-Якоби в наследственных системах: Минимаксные решения. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.l. 110−130. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

78. Красовский H.H., В. М. Решетов. Задачи сближения и уклонения в системах с малым параметром перед производной. // Прикл. матем. мех. 1974. Т.38. No.5. С.771−779.

79. Красовский H.H., Т. Н. Решетова. О программном синтезе гарантирующего управления.// Проблемы управления и теории информации. 1988. Т.17. No.6. С.1−11.

80. Красовский H.H., В. Е. Третьяков. Седловая точка стохастической дифференциальной игры.// Докл. АН СССР, 1980. Т.254. No.3. С.534−539.

81. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973, 448 с.

82. Кружков С. Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.// Успехи мат. наук. 1965. Т.20. No.6. С.112−118.

83. Кружков С. Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений со многими независимыми переменными, 1. // Мат. сборник. 1966. Т.70. No.3. С.394−416.

84. Кружков С. Н., Н. С. Петросян. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для нелинейных уравнений первого порядка. // Успехи матем. наук, 1987. Т.42. 3−40.

85. Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

86. Кряжимский A.B. К теории позиционных дифференциальных игр сближения и уклонения. // Доклады АН СССР. Т.239. No.4. 779−782.

87. Кряжимский A.B., Ю. С. Осипов. О позиционном моделировании управления в динамических системах. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. No.2. С.51−60.

88. Кряжимский A.B., Ю. С. Осипов. Экстремальные задачи с отделимыми графиками. //Кибернетика и систем, агшлиз. 2002. Т.2. 32−55.

89. Кузнецов H.H., Рождественский Б. Л. Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. //Успехи мат.наук. 1959. Т.14. No.2(86). С.211−215.

90. Кумков С. С., B.C. Пацко. Максимальные стабильные мосты в контрольном примере Л. С. Понтрягина.// Вестник Удмуртского университета. (Математика, Механика) Ижевск. 2000. No.l. С. 92−103.

91. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, Т.2, 832 с.

92. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1979. 392 с.

93. Куржанский A.B., О. И. Никонов. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления. // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗЗ. No.5.

94. Куржанский A.B., И. Ф. Сивергина. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем. // Доклады Академии наук. 1998. Т.369. No.2. 161−166.

95. Куржанский A.B., Т. Ф. Филиппова. О методе сингулярных возмущений для дифференциальных включений. Докл. АН СССР. 1991. Т.321. No.3. С.454−459.

96. Ладыженская O.A., H.H. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

97. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Н. Н. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

98. Лахтин A.C., А. И. Субботин. Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка.// Мат. сб. 1998. Т.189. No.6. С.33−58.

99. Лахтин A.C., А. И. Субботин. Минимаксные и вязкостные решения разрывных уравнений с частными производными первого порядка.// Доклады РАН. 1998. Т.359. No. 4. С.452−455.

100. Леликова Е. Ф. Об асимптотике фундаментального решения параболического уравнения высокого порядка. // Доклады Акад. паук. 1995. Т.341. No.5. 532−537.

101. Ледяев Ю. С., Е. Ф. Мищенко. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр.// Труды МИ АН СССР. 1988. Т.85. С. 147−170.

102. Лейтман Дж.

Введение

в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968, 202 с.

103. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 336 с.

104. Липцер Р. Ш., А. Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974, 696.

105. Логинов М. И., Соболев О. Н., Г. С. Шелементьев.

Введение

в статистический анализ. Екатеринбург: Изд-во Уральского гос. университета, 1999,116 с.

106. Лукоянов Н. Ю. Минимаксные решения уравнений Гамильтона-Якоби для систем с наследственностью. // Доклады Академии наук. 2000. Т.371. No.2. 163−166.

107. Максимов В. И. Принцип экстремального сдвига в задаче нахождения решений операторных уравнений. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.l. 141−149. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

108. Малышев В. В., Кибзун А. И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987, 304.

109. Маслов В. П., С. Н. Самборский. Существование и единственность решений стационарных уравнений Гамильтона-Якоби и Беллмана. Новый подход.// Доклады РАН. 1992. Т.324. No.6. С.1143−1148.

110. Меликян A.A. Сингулярные характеристики уравнений в частных производных первого порядка. // Доклады РАН. 1996. Т.382. No.2. 203−217.

111. Меликян A.A. Уравнения распространения слабого разрыва решения вариационной задачи. / / Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.2. 446−459. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

112. Минченко Л. И., О. Ф. Борисенко. Дифференциальные свойства маргинальных функций и их приложения к задачам оптимизации. Минск: Навука и тэхника, 1992, 142 с.

113. Мищенко Е. Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. No.5. С.3−9.

114. Мищенко Е. Ф., Л. С. Понтрягин. Периодические решения систем почти разрывных дифференциальных уравнений. //Доклады АН СССР. 1955. Т.102. No.5. С.889−891.

115. Мищенко Е. Ф., Н. Х. Розов. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные клоебания. М.: Наука, 1975, 248 с.

116. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1971.

117. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

118. Незнахин A.A., В. Н. Ушаков. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения. // Журн. выч. мат. и мат. физики. 2001. Т.41. No.6. 895−908.

119. Никольский М. С. Об альтернированном интеграле Л. С. Понтрягина // Матем. сборник. 1981. Т.116. No.l. 136−144.

120. Никольский М. С., М. Абубакар. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван дер Поля. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т.6. No.l. 150−159. Екатеринбург. Изд-во УрО РАН.

121. Обэн Ж. П., И. Экланд. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512 с.

122. Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. // Успехи матем. наук. 1957. Т.12, No.3(75). С.3−73.

123. Олейник O.A. О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости». //Успехи мат. наук. 1959. Т. 14. No.2. С.159−164.

124. Олейник O.A., С. Н. Кружков. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными. // Успехи матем. наук, 1961. Т.16. No.5. С.115−155.

125. Осипов Ю. С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами.// Доклады АН СССР. 1975. Т.223. No.6. С.1314−1317.

126. Осипов Ю. С. Позиционное управление в параболических системах. // Прикл. матем. мех., 1977. Т.41. No.2.

127. Панасюк А. И., В. И. Панасюк. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. М.: Наука, 1986, 296 с.

128. Первозванский A.A., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 342 с.

129. Петров H.H. О существовании значения игры преследования. // Докл. АН СССР, 1970. Т.190. No.6. 621−624.

130. Петров H.H. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1997, 196 с.

131. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравений. М.: Наука, 1964, 272 с.

132. Петросян JI.A. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградского гос. университета, 1977, 222 с.

133. Петросян Л. А., В. В. Захаров. Математические модели в экологии. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского гос. университета. 1997. 254 с.

134. Половинкин Е. А. Элементы теории многозначных отбраэюений. М.: Изд-во МФТИ, 1982, 126 с.

135. Поляк Б. Т.

Введение

в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

136. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965, 332 с.

137. Понтрягин JI.С. О линейных дифференциальных играх. 1. 2.// Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. No.6. С.1278−1280.Докл. АН СССР. 1967. Т.175. No.4. С.764−766.

138. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР. 1985. Т.169. С.119−157.

139. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1961. 392 с.

140. Пшеничный Б. Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. No.2. С.285−287.

141. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М: Наука, 1980, 319 с.

142. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982, 144 с.

143. Рождественский Б. Л., Яненко H.H., Системы квазилинейных уравнений и их прилоэюения к газовой динамике. М.: Наука, 1978, 688 с.

144. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1959. Т.20. No.10−12.

145. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 472 с.

146. Сидоров А. Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоёв. // Докл. АН СССР. 1990. Т.313. No.2. 283−287.

147. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.

148. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959, 468 с.

149. Субботин А. И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр. // Докл. АН СССР. 1980. Т.254. No.2. С.293−297.

150. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Га-мильтона-Якоби. М.: Наука, 1991, 216 с.

151. Субботин А. И. Непрерывные и разрывные решения краевых задач для уравнений с частными производными первого порядка.// Доклады РАН. 1992. Т.323. No.l. С.30−34.

152. Субботин А. И. Минимаксные решения уравнений с частными производными первого порядка.// Успехи мат. наук. 1996. Т.51. No. 2(308). С.105−138.

153. Субботин А. И., H.H. Субботина. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры. // Доклады АН СССР. 1978. Т.243. No.4. С.829−865.

154. Субботин А. И., H.H. Субботина. Необходимые и достаточные условия для негладкой цены дифференциальной игры. // Сборник научных трудов. Задачи динамического управления. ИММ УНЦ АН СССЗ, 1979.

155. Субботин А. И., H.H. Субботина. Функция оптимального результата в задаче управления. Доклады АН СССР. 1982. Т.266. No.2. С.294−299.

156. Субботин А. И., H.H. Субботина. Свойства потенциала дифференциальной игры. // Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46. No.2. С.204−211.

157. Субботин А. И., H.H. Субботина. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1983. Т.2, С.24−32.

158. Субботин А. И., H.H. Субботина. Свойства дифференцируемости функции цены дифференциальной игры с интегрально-терминальной платой. Проблемы управления и теории информации, 1983, Т.12, No.3, С.153−166.

159. Субботин А. И., H.H. Субботина. Кусочно-гладкие решения уравнений с частными производными первого порядка. // Доклады РАН. 1993. Т.ЗЗЗ. No.6. С.705−707.

160. Субботин А. И., А. Г. Ченцов. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

161. Субботин А. И., А. Г. Ченцов. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Га-мильтона-Якоби.// Доклады РАН. 1996. Т.348. No.3 С.45−48.

162. Субботин А. И., Л. Г. Шагалова. Кусочно-линейное решение задачи Коши для уравнений Гамильтона-Якоби // Докл. АН. 1992. Т.325. No.5. С.932−936.

163. Субботин А. И., Тарасьев A.M., В. Н. Ушаков. Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона-Якоби. // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1993. No.l. 190−197.

164. Субботина H.H. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх. // Дифференц. уравнения, 1983. Т.19. No. ll, С.1377−1382.

165. Субботина H.H. Некоторые достаточные условия существования универсальных стратегий. //Сборник научных трудов Исследования задач минимаксного управления, (Субботин А.И. и B.C. Пацко редакторы), ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1985, С.72−81.

166. Субботина H.H. Инфинитезималъные свойства функции цены диффузионной дифференциальной игры. Свердловск, ИММ УНЦ АН СССР, 1985. Деп. в ВИНИТИ, No.7690-D19.ll.85. 43 с.

167. Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия оптимальности в терминах принципа максимума и супердифференциала функции цены. / Свердловск, ИММ УрО АН СССР, 1988. Деп. в ВИНИТИ, No. 2898-В.88, 18 с.

168. Субботина H.H. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. // Докл. АН СССР. 1991. Т.320. No.3. С.556−561.

169. Субботина H.H. Построение обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби- -Беллмана с помощью метода характеристик Коши. // Свердловск, ИММ УрО АН СССР, 1991. Деп. в ВИНИТИ No. 2571-В91. 53 С.

170. Субботина H.H. Унифицированные условия оптимальности в задачах управления. // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург: Инст. матем. и механ., УрО РАН. 1992. Т.1. С. 147−160.

171. Субботина H.H. Асимптотические свойства минимаксных решений уравнений Беллмана-Айзекса в дифференциальных играх с быстрыми и медленными движениями. Прикл. матем. мех. 1996. Т.60. No.6. С.883−890.

172. Субботина H.H. Асимптотики сингулярно возмущенных уравнений Гамильтона-Якоби. Прикл. матем. мех. 1999. Т.63. No.2. С.220−230.

173. Субботина H.H. Сингулярные аппроксимации минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби. // Труды Института математики и механики / Сборник научных трудов, 2000, Т.6, № 1, С.190−208, УрО РАН: Екатеринбург,.

174. Субботина H.H. Условия оптимальности обратных связей в задачах управления.// ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2002. Деп в ВИНИТИ 28.06.02, № 1212 В2002, 32 С.

175. Субботина H.H. Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых функций. // Доклады Академии наук. 2003. Т.389, No.2. С.1−4.

176. Субботина H.H., Ченцов А. Г. О существовании функции Беллмана в линейной дифференциальной игре. // Сборник научных трудов ИММ УНЦ АН СССР, 1979, Вып.26. С.80−86.

177. Субботина H.H., Субботин А. И., Третьяков В. Е. Стохастическое и детерминированное управление. Дифференциальные неравенства. // Пробл. управл. теор. мнформ., 1985. Т. 14. No.6. С. Р1-Р15.

178. Тарасьев A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби.// Прикл. матем. и мех. 1994. Т.58. No.2. С.22−36.

179. Тарасьев A.M., Успенский A.A., В. Н. Ушаков. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби.// Изв. РАН. Техн. Кибернетика. 1994. No.3. С.173−185.

180. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр перед производными. Матем. сборник. 1952. Т.31. No.3. С.575−586.

181. Тихонов A.H., A.A. Самарский. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка.// Доклады АН СССР 1954. Т.99. No.l. С.27−30.

182. Тонков E.JI. Некоторые вопросы управления периодическими движениями. //Динамика управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1979.

183. Третьяков В. Е. К теории стохастических дифференциальных игр. // Доклады АН СССР 1983. Т.269. No.3. С. 1049−1053.

184. Третьяков В. Е., Целищева И. В., Г. И. Шишкин. Оптимальное управление системами с неполной и неточной информацией. // Труды Института матем. мех. УрО РАН. Т.2. 176−187. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

185. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. JL: Машиностроение, 1976.

186. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974.

187. Ухоботов В. И. Синтез гарантированного управления на основе аппроксимационной схемы. // Труды Института математики и механики / Сборник научных трудов, 2000, Т.6, № 1, С.239−246, УрО РАН: Екатеринбург,.

188. Ушаков В. Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения. // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика. 1980. No.4. 29−36.

189. Ушаков В. Н. К вопросу стабильности в дифференциальных играх.// Позиционное управление с гарантированным результатом. Свердловск. УрО АН СССР. 1988. С. 101−109.

190. Ушаков В. Н., А. П. Хрипунов. О приближенном построении решений в игровых задачах управления. // Ппркл. матем. мех. 1997. Т.61. No.3. 413−421.

191. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования.// Вестник МГУ. Сер. мат., мех., физ., хим. 1959. № 2. С.25−32.

192. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 С.

193. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978, 316 с.

194. Фомин В. Н., Фрадков A. JL, В. А. Якубович. Адаптивное управление динамическбими объектами. М.: Наука, 1981, 447 е.

195. Хрусталев М. М. Необходимые и достаточные условия для задачи оптимального управления. Докл. АН СССР. 1973. Т.211. т. С.59−62.

196. Хрусталев М. М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана.//Доклады АН СССР. 1980. Т.254. С. 293−297.

197. Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени.// Мат. сб. 1976. Т.99. С.394−420.

198. Черноусько Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром. М.: Наука, 1980.

199. Черноусько Ф. Л., В. Б. Колмановский. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978, 352 с.

200. Черноусько Ф. Л., A.A. Меликян. Игровые задачи управления и поиска. М.:Наука, 1978. 270 с.

201. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Б. Н. Соколов. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

202. Чикрий A.A. Конфликтно-управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992, 384 с.

203. Чистяков C.B. О решениях игровых задач преследования.// Прикл. матем. и мех. 1977. Т.41. С.825−832.

204. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1772. Т.1. 824с.

205. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980, 576с.

206. Шориков А. Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах., Екатеринбург: Изд-во Уральского гос. университета. 1997, 248 с.

207. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир. 1974. 488с.

208. Ananiev B.I. On Minimax State Estimates for Multistage Statistically Uncertain Systems. // Probl. Contr. Inform. Theory. 1981. Vol.18. No.l. 27−41.

209. Aubin, J. P. (1991). Viability Theory. Birkhauser, Boston.

210. Aubin J. P. and A. Cellina. (1984). Differential Inclusions. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.

211. Aubin J. P. and H. Frankowska. Set Valued Analysis. Birkhauser, Boston,.

212. Artstein Z. and V. Gaitsgory. (1997). Tracking fast trajectories along a slow dynamicsA singular perturbations approach. // SI AM J. Contr. Optimiz. Vol. 35. 1487−1507.

213. Artstein Z. and V. Gaitsgory. (2000). The Value Function of Singularly Perturbed Control Systems. // Appl. Math.Optimiz. Vol.41. 425−445. New York: Springer Verlag.

214. Barabanov, A. E. and A. M. Ghulchak. (1996). H-infinity optimisation problem with sign-indefinite quadratic form. // Systems and Control Letters. 1996. Vol.29. 157−164.

215. Barabanov, N. E. and R. Ortega (2000) Necessary and sufficient conditions for passivity of the Lugre friction model. // IEEE Trans. Autom. Contr., 2000, Vol. 1.

216. Bardi, M. and I. Capuzzo-Dolcetta (1997). Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhauser: Boston.

217. Bardi, M. and L. C. Evans. (1984). On Hopf’s formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations. // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Appl, Vol.8. No.ll. 1373−1381.

218. Bardi, M. and M.Falcone. (1990). An approximation scheme for the minimum time function. // SIAM J. Control and Optim., Vol.28. 950−965.

219. Barles, G. and B. Perthame. (1988). Exit time problems in optimal control and vanishing viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations. // SIAM J. Control Optimiz., 26, 1133−1148.

220. Barron, E. N. and R. Jensen. (1986). The Pontryagin maximum principle from dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations. // Trans. Amer. Math. Society, Vol.298. No.2. 635−641.

221. Barron, E. N., Evans, L.C. and R. Jensen (1984). Viscosity solutions of Isaacs' equations and differential games with Lipschitz controls. J. Different. Equat., Vol.53(2), 213−233.

222. Basar, T. and P. Bernhard (1991). H°°-Optimal Control and related Minimax Design Problems, Birkhauser, Boston.

223. Bensoussan, A. and J. L. Lions (1982). Applications of variational inequalities in stochastic control North-Holland Publishing Company: Amsterdam-New York-Oxford.

224. Bensoussan A. (1988). Perturbation Methods in Optimal Control. Wiley-Gautier: New York, Chichester. 574 P.

225. Bellman, R. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press: Princeton: NJ, 210 P.

226. Bellman, R. and R. Kalaba. (1965). Dynamic Programming and modern control theory. Academic Press: New York.

227. Berkovitz, L. D. (1964). A variational approach to differential games. //Advances in Game Theory, / Ann. Math. Stud., 52. Princeton University Press: Princeton,.

228. Berkovitz, L. D. (1989). Optimal feedback controls. //SIAM J. Control Optimiz., 27, 991−1006.

229. Clarke, F.H. (1975). Generalized gradients and applications. Trans. Amer. Math. Soc., 205, 246−262.

230. Clarke, F.H., Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern and P.R. Wolenski (1997). Nonsmooth Analysis and Control Theory. Springer: New York.

231. Clarke F.H., Vinter R. (1987) The relationship between the maximum principle and dynamic programming. // S.I.A.M. J. Contr. Optimiz. No.5. P.1291−1311.

232. Conway E.D., Hopf E. (1964). Hamilton’s theory and generalized solutions of the Hamilton-Jacobi equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 13. (2), PP.939−986.

233. Crandall, M. G. (1972). A generalization of Peano’s existence theorem and flow invariance. // Proc. Amer. Math. Soc., Vol.36. No.l. 151−155.

234. Crandall, M. G. and P. L. Lions (1983). Viscosity solutions of Hamiltion-Jacobi equations. // Trans. A. M. S., 277, 1−42.

235. Crandall, M. G., L. C. Evans and P. L. Lions (1984). Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations. //Trans. A. M. S., 282, 487−502.

236. Crandall, M. G., Ishii, H. and P. L. Lions. (1992). A user’s quide to viscosity solutions. //Bulletin A.M.S. 27, PP. 1−67.

237. Demyanov, V.F. and A. M. Rubinov (1995). Constructive Nons-mooth Analysis. Peter LangFrankfurt.

238. Elliott R. (1987) Viscosity Solutions and Optimal Control. In: // Pitman Research Notes, Math. Ser.- 165. Boston: Longman Sci. Techn., 96 P.

239. Elliott R. J. and N. J. Kalton. (1972). The existence of value in differential games of pursuit and evasion. // J. Different. Equat., Vol.12/No.3. 504−523.

240. L. C. Evans., L. C. (1998). Partial Differential Equations. /Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. AMS: Providence, Rhode Island.

241. Fleming, W. H. (1964). The convergence problem for differential game, II. // Advance in the Game Theory. / Ann. Math. Stud., 52. P. 195−210.

242. Fleming, W. H. (1964). The Cauchy problem for degenerate parabolic equations. // J. Math. Mech. Vol.13, No.6, P. 987−1008.

243. Fleming, W. H. (1969). The Cauchy problem for a nonlinear first order differential equation.// J. Diff. Equations, 5, no.3, 515−550.

244. Fleming, W. H. and H. M. Soner (1993). Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. Springer-Verlag: New York.

245. Filippov, A.F. (1988). Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Sides. Kluwer Academic. Publisher: Dordrecht.

246. Friedman, A. (1971). Differential Games. Wiley Interscience: New York.

247. Gaitsgory V.G. (1993). Suboptimal Control of Singularly Perturbed Systems and Periodic Optimization. // IEEE Trans/ Au-tom Contr. Vol.38. No.6. 888−902.

248. Gaitsgory V.G. (1996). Limit Hamilton-Jacobi equations for singularly perturbed zero-sum differential games. // J. Math. Anal. Appl. Vol.202. 862−899.

249. Goritski, A.Yu. and E. Yu. Panov. Example of Nonunique-ness of Entropy Solutions in the Class of Locally Bounded Functions. //Russian J. of Math. Physics. 1999. Vol.6. No.4. 492−494. Moscow. MAIK: Nauka/Interperiodika.

250. Haddad, G. (1981). Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory. // Israel J. Math., Vol.39. 83−100.

251. Himmelberg C.J. (1975). Measurable relations. // Fundamenta mathematicae, Vol.LXXXII. No.l. P. 53−72.

252. Hopf E. (1965). Generalized solutions of nonlinear equations of first order. // J. Math. Mech., 14, 951−972.

253. Isaacs, R. (1965). Differential Games. Wiley: New York.

254. Ishii, H. and S. Koike. (1991). Remarks on elliptic singular perturbation problems. // Appl.Math.Opt. 1991. V.23. 1−75.

255. Isidori, A. (1995). Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag: New York, 3rd edition.

256. Kokotovic P.V. (1984). Applications of singular perturbations techniques to control problems,? ?SIAM J. Reviews, 26, (4), 501 510.

257. Krasovskii, A.N. and N. N. Krasovskii (1995). Control under Lack of Information. Boston: Birkhauser.

258. Krasovskii, N.N. and A.I. Subbotin (1988). Game-Theoretical Control Problems. Springer-Verlag: New York.

259. Krotov, V. F. (1993). Global methods in optimal control theory. In // Advances in Nonlinear Dynamics and Control: A Report from Russia, No. 17 in Progress in Systems and Control Theory, 76−121. Birkhauser, Boston.

260. Kryazhimskii A.V. and Yu.S. Osipov. (1995). On Differential-Evolutionary Games. // Proceed. Steklov Inst. Math., Vol.211. 234−261.

261. Kumkov S.I. and V.S. Patsko. (1995). Control of Informational Sets i a Pursuit Problem. // Annal Intern. Soc. Dynam. Games New Trends in Dynam. Games and Appl. / Vol.3. 191−206/ Birkhauser: Boston.

262. Kurzhanski, A.B., and P. Varaiya. (2002). On reachability under uncertainty. // SI AM J. Control. Optim., V.41. No.l. 181−216.

263. Lax, P. (1957). Hyperbolic systems of conservations laws. II. I? Comm. Pure Appl. Math., 10. P.537−566.

264. Leitman, G. (1995). One approach to the control of uncertain dynamical systems, Appl. Math. Comput., 70, 261−272.

265. Lions, P. L. (1982). Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. In: // Pitman Research Notes, Math. Ser., 69, Boston: Pitman, 318 P.

266. Lions, P. L. (1983). Optimal control of diffusion processes and Hamilton-Jacobi-Bellman equations, 2. // Communic Part. Differ. Equat., Vol.8. No.ll. P. 1229−1276.

267. Lions, P.L., P.E. Souganidis (1985). Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman’s and Isaacs’s equations./ / SI AM J. Control Optimiz., Vol.23. No.4. 566−583.

268. Malafeyev O.A. (2002). Perfect Equilibrium in Non-Cooperetive Differential Games, in // Proceedings of the X-th International Symposium ISDG on Dynamic Games and Applications. 2002. Vol.2. 492−494. St. Petersburg: St. Petersburg State University.

269. Melikyan, A.A. (1998). Generalized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Boston: Birkkauser.

270. Mirica. S. (1985). Extending Cauchy’s method of characteristics for Hamilton-Jacobi equations. // Stud. Cere. Mat. Vol.37. No.6 555−565.

271. O’Malley, R. (1974). Introduction to Singular Perturbations. Acad. Press: New York.

272. Ortega, R. Van der Schaft, A.J. and B. M. Maschke. Stabilization of port-controlled Hamiltonian systems via energy balancing, in // Stability and Stabilization of Nonlinear Systems, vol. 246. LNCIS. New York: Springer Verlag. 1999.

273. T. Parthasarathy T. and T. Raghavan. (1971). Some Topics in Two-Person Games, vol. 22 of Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics. // Amer. Elsevier: New York.

274. Pashkov A. G. and S. D. Terekhov. (1987). Differential game of approach with two pursuers and one evader. //J. Opt. Theory Appl, Vol.55. No.2. 303−311.

275. Patsko, V.S. and V.L. Turova. (2001). Level Sets of the Value Function in Differential Games with the Homicidal Chauffeur Dynamics. 11 Intern. Game Theory Rev. 2001. Vol.3. No.l. P.67−112.

276. Pervosvanski, A.A. and V.G. Gaitsgory. (1988). Theory of Suboptimal Solutions. Dordrecht: Kluwer Acad.

277. Rockafellar, R.T. and R. J-B. Wets (1998). Variational Analysis. Springer-Verlag: New York.

278. Rockafellar, R.T. and P. R. Wolenski (1998). Convexity and Duality in Hamilton-Jacobi Theory. Interim Report of the International Institute of Applied Systems Analysis. IR-98−057/ August. Austria, Laxenburg: II AS A, 1998.

279. Rowland, J. D. L. and R. B. Vinter (1991). Constructions of optimal feedback controls. //Systems Cont. Letters, 16, 357−367.

280. Roxin, E. (1969). The axiomatic approach in differential games. // J. Opt. Theory Appl, Vol.3. 153−163.

281. Souganidis, P. E. (1985). Max-min representations and product formulas for the viscosity solutions of Hamilton-J acobi equations with applications to differential games. // Nonlinear Analysis. Theory, Meth. Appl., Vol.9. No.3. 217−257.

282. Stoer, J., and C. Witzgall. (1970). Convexity and Optimization in finite Dimentions. I., New York: Springer-Verlag. 298 P.

283. Subbotin, A.I. (1995). Generalized Solutions of First-Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective. Birkhauser: Boston.

284. Subbotin, A.I., Taras’ev, A.M. and V.N. Ushakov. (1994). Generalized characteristics of Hamilton-Jacobi equations. // J. Comput. Systems Sci. Intern., 32, (2), 157−163.

285. Subbotina N.N. (1989). The maximum principle and the superdifferential of the value function. // Probl. Control Inform. Theory, 18, (3), 151−160.

286. Subbotina, N.N. (2000). Singular Approximations of Minimax and Viscosity Solytions to Hamilton-Jacobi Equations. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1, 2000, PP. S210-S227. MAIK «Nauka/Interperiodica» .

287. Subbotina, N.N. (2001). Asymptotics for singularly perturbed differential games. // Game Theory and Applications, VII, 175 196, Huntington, Nova Science Publishers, Inc., New York.

288. Subbotina, N. N., Subbotin, A. I. and V. E. Tret’jakov. (1985). Stochastic and deterministic control. Differential inequalities.// Probl. Control Inform. Theory, Vol. 14, No. 6, 405−419.

289. Subbotina, N. N., Subbotin, A. I. and V. E. Tret’jakov. (1987). Stochastic and deterministic control. Differential inequalities.// Lecture Notes Control Inform., Vol. 81. 728−737.

290. Ushakov V. N. (1998). Constructions of solutions in differential game of pursuit-evasion. Differential Inclusions and Optimal Control. // Lecture Notes in Nonlinear Analysis. 1998. Vol.2, 269−281.

291. Varaiya, P. (1967). On the existence of solutions to a differential game. // SIAM J. Control and Optim., Vol.5. No.l. 153−162.

292. Veliov, V. (1997). A generalization of the Tikhonov theorem for singularly perturbed differential inclusions. J Dynamic Cont. Systems, Vol.3, 291−319.

293. Veliov, V. (1997). Stability-Like Properties of Differential Inclusions. 11 Set-Valued Analysis. 1997. Vol.5. No.l. 73−88.

294. Zhou, X.-Y. (1990). Maximum principle, dynamic programming and their connection in deterministic controls.// J. Optim. Theory Appl, Vol.65, 363−373.