Численные методы решения интегральных уравнений в задачах электромагнитного зондирования неоднородных сред

Одним из активно развивающихся направлений современной прикладной геофизики является электромагнитное зондирование. В его основе лежит математическое моделирование электромагнитных процессов, происходящих в неоднородных средах. Решение вычислительных проблем, возникающих при численном моделировании таких процессов является сложной и актуальной задачей.

Методы электромагнитного зондирования различаются по типу используемого источника: это может быть либо естественное электромагнитное поле Земли, либо какие-нибудь искусственные источники. Традиционно искуствен-ные источники используются для проведения локального зондирования — когда расстояние между источником поля и областью наблюдения сравнительно невелико. Однако в последнее время все больший интерес вызывает применение мощных стационарных электромагнитных источников для выявления структур, расположенных на расстояниях порядка десятков и сотен километров от источника.

Особый практический интерес представляет вопрос о возможности использования стационарного источника, расположенного на суше, для зондирования структур, расположенных под морским дном. Измерения при этом проводятся на дне, а источником может выступать как специально изготовленная антенна или токовая петля, так и обычная линия электропередач или железная дорога, к которым подключается соответствующий передатчик. Подобные эксперименты уже проводятся, например, Полярным геофизическим институтом. Эти эксперименты, в частности, подтвердили практическую возможность измерения поля. Однако с прямым моделированием подобных задач и, тем более, с решением соответствующих обратных задач ситуация гораздо сложнее.

Основную трудность при моделировании удаленного морского зондирования составляют большой размер (крупномасштабность) модели и необходимость учета как распределения проводимости на берегу, на котором расположен источник, так и в море, где производятся измерения. Кроме того, необходимо учитывать следующие аспекты:

• Растекание тока по суше вблизи источника. Точное моделирование такого растекания в настоящее время не представляется возможным, однако для морских измерений это растекание необходимо учитывать, например, заменой реального источника неким эквивалентным диполем с неизвестным моментом.

• Влияние берегового эффекта, заключающегося в концентрации тока вдоль берега, которым невозможно пренебречь, если источник расположен на суше.

• В случае источника, расположенного на острове, возникает так называемый островной эффект, когда ток замыкается вокруг острова, образуя гигантскую токовую петлю.

Вычислительные аспекты электромагнитных методов геофизики базируются на математическом аппарате электродинамики. Этот аппарат включает в себя численные методы решения краевых задач для уравнений Максвелла конечно-разностными или конечно-элементными методами, или численное решение эквивалентных интегральных уравнений.

Метод интегральных уравнений электродинамики основан на концепции аномалии, расположенной в слоистой (многослойной) среде. При этом пространство моделируется слоистой средой, в которой электромагнитные характеристики каждого слоя — диэлектрическая проницаемость, проводимость и магнитная проницаемость являются постоянными. В некоторой области этого пространства расположена аномалия — тело, электромагнитные характеристики которого отличны от соответствующих характеристик объемлющего пространства. При этом интегральное уравнение пишется по аномалии, а его решение позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства. Вычислительные ресурсы, необходимые для решения такого интегрального уравнения, зависят от соотношения между геометрическими размерами аномалии и длиной электромагнитной волны в аномалии.

До недавнего времени метод интегральных уравнений практически не использовался для решения крупномасштабных задач в силу технических ограничений на размер матрицы системы линейных уравнений. Однако с появлением суперкомпьютеров, позволяющих обращать полные матрицы порядок которых составляет несколько миллионов, использование этого метода становится вполне реальным. В настоящее время метод интегральных уравнений является основным для решения прямых задач электромагнитного зондирования в следующих коллективах: группа под руководством д.ф.-м.н профессора В. И. Дмитриева в МГУ, группа под руководством академика РАН Е. П. Велихова в НИЦ «Курчатовский Институт» (при взаимодейстии с группой сотрудников ИФЗ под руководством д.ф.-м.н С. М. Коротаева).

Традиционный численный метод решения интегральных уравнений электродинамики — метод коллокаций [28, 50] и его развитие — метод сжимающих интегральных уравнений [32], являются эффективными при размерах аномалии порядка нескольких длин волн в этой аномалии. Однако для крупномасштабного моделирования — когда размеры аномалии составляют несколько десятков длин волн, использование этих методов приводит к необходимости решать системы линейных уравнений высоких (106−108) порядков.

Другим подходом к численному решению интегральных уравнений электродинамики является метод интегральных токов [6, 28]. Если требуется рассчитать электромагнитное поле в точках, удаленных от высокопроводящей аномалии, расположенной в изолирующей среде, то этот метод является существенно менее требовательным к вычислительным ресурсам, нежели метод ко л локаций. Это обстоятельство позволяет использовать данный метод для ряда задач крупномасштабного моделирования, но при расчетах поля внутри аномалии метод интегральных токов предъявляет примерно те же требования к вычислительным ресурсам, что и метод коллокаций.

В большинстве задач удаленного морского зондирования электромагни-ное поле необходимо рассчитывать на дне моря, т. е. внутри сильно проводящей крупномасшабной аномалии.

В некоторых задачах морского зондирования в качестве аномалии можно выбрать сушу, а не море, но в этом случае возникают сложности связаные с тем, что источник поля расположен в аномалии. В таких задачах правая часть интегрального уравнения содержит особенность, которая затрудняет решение методом коллокаций. При использовании метода интегральных токов такая особенность не создает проблем, но, поскольку в этом случае приходится рассчитывать поле внутри изолирующей аномалии, расположенной в проводящей среде, эффективность метода интегрального тока также не очень высока.

Другая вычислительная трудность, возникающая при обсчете задач морского зондирования, связанная больше не с проводимостью, а с геометрическими размерами моря, заключается в том, что даже при зондировании на низких частотах, когда длина волны велика, моделирование моря в виде трехмерной структуры все равно требует значительных вычислительных мощностей, доступных только на суперкомпьютерах. В ряде случаев можно понизить размерность решаемой задачи и перейти от трехмерной задачи к квази-трехмерной или двумерной, которые гораздо менее требовательны к ресурсам.

Таким образом, возникает задача разработки новых и адаптации старых численных методов решения интегральных уравнений электродинамики в. задачах удаленного морского электромагнитного зондирования.

В настоящей диссертации предложен и обоснован новый численный метод решения интегральных уравнений электродинамики, называемый модифицированным методом интегральных токов. Он основан на объединении базовых идей метода коллокаций и метода интегральных токов. Так же как и в методе интегральных токов, предлагается решать систему линейных уравнений не для электрического поля в каких-либо точках, а для интегральных характеристик этого поля. Однако, если в методе интегральных токов такими характеристиками являются интегралы от тока по подобластям, на которые разбивается аномалия, то в предлагаемом методе этими характеристиками являются интегральные средние от поля по этим подобластям. Гораздо более важным отличием метода, представленного в данной работе, от метода интегральных токов, которое и объединяет его с методом коллокаций, является то, что для алгебраизации интегрального уравнения точное решение заменяется кусочно-постоянной функцией. При этом, если в методе коллокаций эта функция определяется значениями в центрах подобластей, то в предлагаемом методе это интегральные средние по этим подобластям.

Еще одно практически важное отличие модифицированного метода интегральных токов заключается в том, что применение этого метода не требует вычисления интегралов в смысле главного значения, которые необходимо вычислять при использовании методов коллокаций или интегральных токов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В работе рассмотрены различные вычислительные аспекты решения задач электромагнитного удаленного морского зондирования методом интегральных уравнений.

Заключение

.

В диссертации рассмотрены вопросы численного решения интегральных уравнений электродинамики, используемых в задачах удаленного электромагнитного морского зондирования. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

• Разработан и исследован новый численный метод решения трехмерных сингулярных уравнений электродинамики, основанный па определении интегральных средних от точного решения. Для данного метода доказана сходимость и устойчивость.

• Проведена программная реализация разработанного метода. Для квазитрехмерной и осесимметрической задач морского электромагнитного зондирования проведено численное исследование разработанного метода, показавшее его высокую эффективность при исследовании высококонтрастных неоднородных сред.

• На основе проведенных расчетов была произведена оценка зоны берегового эффекта и обнаружен эффект роста горизонтальной компоненты электрического поля с увеличением глубины, вызванный подкачкой энергии под морским дном.